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1、2021年中考数学三轮冲刺折叠问题解答题冲刺练习如图,四边形ABCD是矩形,把ACD沿AC折叠到ACD,AD与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长如图，将矩形ABCD沿DE折叠使点A落在点A处，然后将矩形展平，如图沿EF折叠使点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.(1)求证：EG=CH；(2)已知AF=，求AD和AB的长.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长；(2)求四边形ABCE的面积.阅读材料,在平面直角坐标系中,已知x轴上两点A（x1，0）
2、，B（x2，0）的距离记作AB=|x1x2|；若A,B是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离,如图,过A，B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在RtABQ中，AQ=|x1x2|，BQ=|y1y2|,AB2=AQ2+BQ2=|x1x2|+|y1y2|2=(x1x2)2+(y1y2)2，由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为：（1）AB= （2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1,3），B（2,1）之间的距离为 ；（3）根据阅读材料并利用平面内两点间
3、的距离公式，求代数式+的最小值（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，AOF=90 求证：BF=AE（2）如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，FOH=90，EF=4直接写出下列两题的答案：如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH= ；如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH= （用n的代数式表示）实验探究：(1)如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕E
4、F，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图，猜想MBN的度数是多少，并证明你的结论.(2)将图中的三角形纸片BMN剪下，如图，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，将矩形沿OB折叠，点A落在点D处，OD交CB于点E，点B的坐标（8，4）（1）求SOEB；（2）求点D的坐标；（3）如图，点Q在边OA上，OQ=5，点P是边CB上一个动点，其他条件不变，若OQP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标如图1，将ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对
5、称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰BED和等腰DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.（1）将ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段 ， ；S矩形AEFG：SABCD= .（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长.（3）如图4，四边形ABCD纸片满足ADBC，ADBC，ABBC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形
6、的示意图，并求出AD、BC的长.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=20cm，E是AD的中点动点P从A点出发，沿ABC路线以1cm/秒的速度运动，运动的时间为t秒将APE以EP为折痕折叠，点A的对应点记为M（1）如图（1），当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t；（2）如图（2），当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t；（3）直接写出点P在运动过程中线段BM长的最小值 如图，已知矩形OABC在坐标系中，A(0，4)，C(6,0)，直线y=x与AB交于D点，E为BC上一点. （1）如图1，若OCE沿OE翻折，当C恰好与D点重合时，求此时E点坐标； （2）如图2，
7、若OCE与BDE相似，求E点坐标； （3）如图,3，已知线段GH开始时在矩形OABC内壁与BC重合(不考虑厚度)，M为GH中点，将线段GH沿矩形内壁滑动，G在BC上滑动，H在CO上滑动，线段GH长度始终保持不变，当G与C点重合时，停止运动.在滑动的过程中，当DM长度最小值时，求此时M点坐标. 参考答案解：四边形ABCD为矩形，AB=DC=3，BC=AD=4，ADBC，B=90，ACD沿AC折叠到ACD，AD与BC交于点E，DAC=DAC，ADBC，DAC=ACB，DAC=ACB，AE=EC，设BE=x，则EC=4x，AE=4x，在RtABE中，AB2+BE2=AE2，32+x2=（4x）2，解
8、得x=，即BE的长为解：(1)证明：由折叠知AEFGEF，BCEHCE，AE=AE=BC，AEF=BCE，AEFBCE，GEFHCE，EG=CH；(2)AF=FG=，FDG=45，FD=2，AD=2；AF=FG=HE=EB=，AE=AD=2，AB=AEEB=2=22.解：(1)设EF=x依题意知：CDECFE，DE=EF=x，CF=CD=6.在RtACD中，AC=10，AF=ACCF=4，AE=ADDE=8x.在RtAEF中，有AE2=AF2+EF2即(8x)2=42+x2解得x=3，即：EF=3.(2)由(1)知：AE=83=5，S梯形ABCE=(5+8)62=39.【解答】解：（1）AB2
9、=AQ2+BQ2=|x1x2|2+|y1y2|2=（x1x2）2+（y1y2）2，AB=故答案为（2）A（1，3），B（2，1），AB=5故答案为5（3）代数式+的最小值表示在x轴上找一点P（x，0），到A（0，2），B（3，1）的距离之和最小如图，作A关于x轴的对称点A，连接BA与x轴的交点即为所求的点P此时PA+PB最小，A（0，2），B（3，1），PA+PB=PA+PB=BA=3代数式+的最小值为3一 、综合题（1）证明：如图，四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=BCD=90，EAB+AEB=90EOB=AOF=90，FBC+AEB=90，EAB=FBC，在ABE和BCF中，EA
10、B=FBC,AB=BC,ABC=C，ABEBCF（ASA），AE=BF；（2）解：如图2，连接AE，过点N作NHAD于H，由折叠的性质得，AENM，DAE+AMN=90，MNH+AMN=90，DAE=MNH，在ADE和NHM中，DAE=MNH,AD=NH,MHN=D，ADENHM（ASA），AE=MN，DE=5，由勾股定理得，AE=13，MN=13；（3）解：如图3、4，过点F作FMAB于M，过点G作GNBC于N，FOH=90，MFE=NAH，又EMF=HNG=90，EFMHNG，GH:EF=GN:FM，图3，GN=2FM，GH=2EF=24=8，图4，GN=nFM，GH=nEF=4n故答案为
11、：8，4n解：(1)猜想：MBN=30.证明：如答图，连结AN，直线EF是AB的垂直平分线，NA=NB，由折叠可知BN=AB，AB=BN=AN，ABN是等边三角形，ABN=60，MBN=ABM=ABN=30.(2)结论：MN=BM.折纸方案：如答图，折叠BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连结OP.证明：由折叠可知MOPMNP，MN=OM，OMP=NMP=OMN=30=B，MOP=MNP=90，BOP=MOP=90，OP=OP，MOPBOP，MO=BO=BM，MN=BM.解：（1）由翻转变换的性质可知，DOB=AOB，BCOA，CBO=AOB，DOB=CBO，OE=BE，设BE=x，则
12、CE=8x，OE=BE=x，42+（8x）2=x2，x=5，即BE=5，SOEB=；（2）如图（1），作DGOA于G，交CB于F，则DFCB，OE=BE=5，CE=DE=3，由勾股定理得，DB=4，DEDB=BEDF，解得，DF=，由勾股定理得EF=，则CF=3+=，点D的坐标为（，）；（3）当OP=OQ时，CP=3，则点P的坐标为（3，4），当PO=PQ时，作PHOA于H，则OH=OQ=2.5，点P的坐标为（2.5，4），当QO=QP时，点P的坐标为（2，4）或（8，4），OQP是等腰三角形，点P的坐标为（3，4），（2.5，4）（2，4），（8，4）解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别
13、是线段AE、GF；由折叠的性质得：ABEAHE，四边形AHFG四边形DCFG，ABE的面积=AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，S矩形AEFG=SABCD，S矩形AEFG：SABCD=1：2；故答案为：AE，GF，1：2；（2）四边形EFGH是矩形，EF=5，EH=12，FEH=90，FH=13，由折叠的性质得：DH=NH，AH=HM，CF=FN，CF=AH，AD=DH+AH=HN+FN=FH=13；（3）有以下两种基本折法：折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，FMC=90，四边形EFMB是叠合正方形，
14、BM=FM=4，GM=CM=3，AD=BG=BMGM=1，BC=BM+CM=7；折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=四边形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MN=MC，GH=CD=5，四边形EMHG是叠合正方形，EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，B=90，FM=BM=3，设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，梯形ABCD的面积=（AD+BC）8=225，AD+BC=，BC=x，MC=BCBM=x3，MN=MC，3+x=x3，解得：x=，AD=，BC=.解：（1）如图1，作EFBC于F，AP=t，则PB=8t，PM=t，EF=AB=8，B=PME=EFM=90，PBMMFE，=，BM=t，在RtPBM中，PB2+BM2=PM2，（8t）2+（t）2=t2，解得：t=5；（2）由题意可知，APE=MPE，AEP=MEP，BCAD，MPE=AEP，四边形APME为菱形，AP=AE=10，在RtABP中，AB2+BP2=PA2，即82+（t8）2=102，解得：t1=2（不合题意），t2=14；（3）如图2，当点M在线段BE上时，BM最小，AB=8，AE=10，由勾股定理，BE=2，BM=210解：（1）E(6，2.5);（2）E(6,3)；(3)M（）.