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1、09高考数列压轴题选讲曾宪强1、已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， -得. ，设，则由得随的增大而减小时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即. 2、设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上 （）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，），（，）；（），（，），(，），（，）；（），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求
2、的值；（）设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）因为点在函数的图象上，故，所以令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以由此猜想：用数学归纳法证明如下： 当时，有上面的求解知，猜想成立 假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到， 故，两式相减，得，所以由归纳假设得，故这说明时，猜想也成立由知，对一切，成立 （）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），. 每一次循
3、环记为一组由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 又=22，所以=2010.（）因为，故，所以又，故对一切都成立，就是对一切都成立设，则只需即可由于，所以，故是单调递减，于是令，即 ，解得，或综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是3、已知点列满足：，其中
4、，又已知，.(1)若，求的表达式；(2)已知点B，记，且成立，试求a的取值范围；(3)设（2）中的数列的前n项和为，试求： 。解：（1），. （2），. 要使成立，只要，即为所求.（3） ， ，4、已知在上有定义，且满足时有 若数列满足 。 （1）求的值，并证明在上为奇函数； （2）探索 的关系式，并求的表达式；（3）是否存在自然数m，使得对于任意的，有恒成立？若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由。 5、数列满足（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，证明解：()方法一：，所以 所以是首项为，公差为的等差数列 所以，所以 方法二：，猜测 下用数学归纳法进行证明当时，由题目已知可知，
5、命题成立； 假设当()时成立，即，那么当，也就是说，当时命题也成立 综上所述，数列的通项公式为 （）设 则 函数为上的减函数，所以，即从而 6、已知二次函数同时满足：不等式0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立，设数列的前项和（1）求函数的表达式；(2) 设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数；（3）设数列满足：，试探究数列是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由解（）不等式0的解集有且只有一个元素解得或当时函数在递增，不满足条件当时函数在（，）上递减，满足条件综上得，即.（）由（）知当时，当时由题设可得，都满足当
6、时，即当时，数列递增，由，可知满足数列的变号数为.（）,由（）可得：当时数列递增，当时，最小, 又，数列存在最小项或,由（）可得：对于函数函数在上为增函数，当时数列递增，当时，最小，又，数列存在最小项7、已知数列的前n项和满足：（a为常数，且） （）求的通项公式；（）设，若数列为等比数列，求a的值；（）在满足条件（）的情形下，设，数列的前n项和为Tn .求证：解：（）当时，即是等比数列 ； （）由（）知，若为等比数列， 则有而故，解得， 再将代入得成立， 所以 （III）证明：由（）知，所以， 由得所以， 从而即 8、已知数列的前n项和为，点在曲线上且. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数列是等差数列； （3）求证：.解：(1) 数列是等差数列，首项公差d=4 (2)由得 若为等差数列，则(3)9、已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有，； 若，且，则有（1）求的值；（2）试求的最大值；（3）设数列的前项和为，且满足， 求证：解：（1）令，则，又由题意，有 （2）任取 且，则00又f(x)为奇函数，f(x)+f(x)=0， ， b=0 ，又f(1)=1，a=1+c0，当x0时， a=2，b=0，c=1， (2)，x1(0，1)，xn+10(nN*)又矛盾，xn+1xn。 (3)0xk1， 15