《高考数学讲义空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学讲义空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、板块一.点到平面的距离问题典例分析【例1】已知线段AB在平面a外，A、B两点到平面a的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面a的距离为（）A1B2C1或2D0或1【难度】4【解析】C；分线段AB两端点在平面a同侧和异侧两种情况解决BC34【例2】DABC的三个顶点A，到平面a的距离分别为2，且它们在平面a的同一侧，则DABC的重心到平面a的距离为_【难度】6【解析】3;【例3】如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E是AB的中点求E到平面ABCD11111111的距离D1C1A1EB1ODCAB【难度】6【解析】ABCD，且CD面ABCD11111111AB面ABCD，且点E在AB上，1
2、11111点E到平面ABCD的距离即为点A到平面ABCD的距离11111连结AD交AD于Q，则根据正方体性质可知，AO面ABCD11111点A到平面ABCD的距离为AO的长，即AO=21111121【例4】如图，在梯形ABCD中，ABCD，DAB=90o，AD=a，PD面ABCD，PD=a，求点D到平面PAB的距离PHDCAB【难度】6【解析】作DHPA交PA于HPD面ABCD，且AB面ABCDPDAB，又ADAB，且PDIAD=DAB面PADDH面PADDHAB，又DHPA，且ABIPA=ADH面PAB，点D到平面PAB的距离即为DH长在RtDPAD中，AD=PD=a，DH=2a2点D到平面
3、PAB的距离为2a2本题可用体积法，在此不在给出具体过程【例5】如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=1，若二面角C-AB-C的大小为60o，1111求点C到面ABC的距离.1A1C1B1EADCB【难度】6【解析】答案：34过C作CDAB，D为垂足，连结CD，则CDAB，CDC=60o111CD=3，则CD=3，CC=311222则CE为点C到平面ABC的距离，CM=22=3344在DCCD中，过C作CECD11331点C到平面ABC的距离为31【例6】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体PD=12AB中，E、F分别为棱AA、BB的11中点，G为棱AB上的一点，且AG=l(0l1)，则点
4、G到平面DEF的距离1111为（）3DA3B22C2l55A1D1GB1C1EFDABC即是A到DE的距离，DE=5，由三角形面积可得所求距离为2=5，故25l(0l1)，则点G到平面DEF的距离为（）【难度】6【解析】D；因为ABEF，G在AB上，1111所以G到平面DEF的距离即是A到面DEF的距离，1111111152选D【例7】（2007湖北文5）在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱AA、BB的中点，G为111111棱AB上的一点，且AG=11112C3DA3B22l55ACBED3即是A到DE的距离，DE=5，由三角形面积可得所求距离为2=5，故25【难度】6【解析
5、】D因为ABEF，G在AB上，1111所以G到平面DEF的距离即是A到面DEF的距离，1111111152选D【例8】（2007江苏14）正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是【难度】6【解析】设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，则23a=2，a=23设侧棱为b则b=22，斜高h=5由323面积法求A到侧面PBC的距离h=22325=655【例9】四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，且BCD=60o，PD平面ABCD，PD=a，E是PA中点求点E到平面PCD的距离PEDGAOCB【难度】6【解析】连结A
6、C，BD交于点O，连结EO，则EOPD又PD面PCD，EO面PCD，点E到面PCD的距离可转化为点O到面PCD的距离PD平面ABCD，面PCD平面ABCD过点O作OGCD交CD于点G，由面PCDI平面ABCD=CD知OG面PCD，则OG的长为点E到面PCD的距离在正DBCD中，BDC=60o,DO=1BD=a,224OG=DOsin60o=3a4本题可将点E到平面PCD的距离转化为，点B到平面PCD的距离的一半，则DBCD的过点B的中线为点B到平面PCD的距离【例10】如图，已知P为DABC外一点，PO平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，求证：O为DABC的垂心；若PA=PB=P
7、C，求证：O为DABC的外心若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求P点到平面ABC的距离PACOB【难度】8【解析】PAPB,PAPC，PA平面PBC，PABC又PO平面ABC，POBC，BC平面POA，BCAO，同理有ABCO，O为DABC的垂心PO平面ABC，POAO，POBO，POCO，PA=PB=PC，DPAODPBODPCO，OA=OB=OC，O为DABC的外心（法一）PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，AB=BC=CA=2a，DABC为正三角形，AO=3AB=6a，33PO=PA2-AO2=3a35因此点P到平面ABC的距离3a3（法二）PAPB,PA
8、PC，PA平面PBC，33VP-ABC11=SPO=V=SABCA-PBCPBCAP，又AB=BC=CA=2a，DABC为正三角形，SABC=133(2a)2=a2，222a2a2PO=a，即为所求求A点到平面ABD的距离A1B1C11333a22【例11】如右图，是一个边长为a的正方体ABCD-ABCD，1111求证：AC平面ABD；111D1CADBA1B1C1【难度】8【解析】连结AC，CC平面ABCD，CCBD11又四边形ABCD为正方形，ACBDBD平面ACCA，又AC平面ACCA，11111BDAC，1同理有，AD平面ABCD，ADAC，11111AC平面ABD；11法一：要求点到
9、平面的距离，可以用体积法，记A点到平面ABD的距离为d，1D1MADNBC6A1-ABD=SA-A1BD=S33V11AA=VABD1A1BDd，AB=AD=BD=2a，S11A1BD=133(2a)2=a2，222a2a2d=a，即为所求221333a22法二：记ACI平面ABD=M，连结AM交BD于N，连结AN,AC，11111AC平面ABD，AM的长即为所求的距离，且AMAN，111平面ABCD/平面ABCD，AC/AN，故有AN=1AC=2a，111111在RtDAAN中，AMAN，11AM=AA1AN=AN1a2a21a2+a223=a3连结AB，过点A作AB的垂线交BB于E，交AB
10、于F【例12】已知长方体ABCD-ABCD中，棱AB=AD=1，棱AA=211111求点A到平面ABD的距离1111111A1D1HOB1C1VA1-AB1D1=VA-A1B1D1，DAB1D1=AAS33DCAB求证：BD平面EAC；1求点D到平面ABD的距离11【难度】8【解析】（法一：等积法）设点A到平面ABD的距离为h11111hS1DA1B1D1在DABD中，由已知条件有AB=AD=5，BD=2111111SDAB1D1=1232(5)2-()2=222而AA=2，S1DA1B1D1=1112=2272=21h=AASSDA1B1D1=1233DAB1D12ACIAA=A（法二：直接
11、法）连结AC交BD于点O，则ACBD，11111111AA上底面ABCD，从而有AABD111111111111BD面AAO，又BD面ABD，1111111面AAO面ABD，且面AAOI面ABD=AO111111过A作AHAO交AO于H，则AH面ABD11111点A到平面ABD的距离即为AH长，1111在RtDAAO中，由已知可得AO=(5)2-(2)2=32，AO=2，而AA=21122212=2AH=122323ACBD2长方体中棱AB=AD=1，BDAC又DD底面ABCD，且AC底面ABCD，1ACDD，从而AC面BDD111AD面AABB，且AEAABB，111111AEAD，且AEAB111AE面ABD，且BD面ABD，11111D1C1A1B1EDFCAB22+1AEBD1又AEIAC=A，BD面EAC1ADAD，且AD面ABD111111AD面ABD11点D到平面ABD的距离可以转化为点A到面ABD的距离1111又AE面ABD11AF即为所求距离AF=21=25589