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1、第六章 级 数 第六章 级 数本章主要知识点l 级数收敛定义及性质l 正项级数敛散判别方法l 一般项级数敛散判别方法l 幂级数 一、级数收敛的定义及性质 定义：收敛（有限）(+) 性质： 必要条件 与收敛，则收敛 收敛，发散，必发散 发散，发散，不能确定 收敛，当例6.1计算 解：例6.2计算（）解：所以 二、正项级数敛散性判别法1. 比值判别法如果例6.3解： 所以由比值判别法知原级数收敛。例6.4 解： 收敛例6.5判别级数的敛散性解：，收敛2. 比较判别法比较判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。 囿级数法：如果0（对充分大）成立且收敛，则收敛；如果，发散
2、，则发散。极限式：如果（有限数），同敛散；特别地，若且收敛，则收敛； 若且发散， 则发散。 等价无穷小式：，p1，收敛，发散。例6.6解：，而收敛，由比较判别法知收敛。例6.7解：，而收敛，由比较判别法知原级数收敛。例6.8已知收敛（），证明也收敛。证明：因为收敛，故，所以对充分大的n成立： ，因此， 收敛，由比较判别法知收敛。例6.9正项级数，收敛，证明：收敛。证明：， 由上题的结论可知，,收敛，收敛， 由比较判别法知：收敛。 例6.10解：因为，而发散，由比较判别法知发散。例6.11解：因为， ，所以原级数发散。例6.12解：，考虑极限，收敛，所以由比较判别法知原级数收敛例6.13解：收敛
3、，故由比较判别法知，原级数收敛。例6.14sin解：因为sin收敛，由比较判别法知收敛。三、一般项级数一般项级数有绝对收敛和条件收敛两个概念。定义1： 绝对收敛收敛。原级数绝对收敛必收敛。定义2：条件收敛发散，而收敛研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，若绝对发散则研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数（）。交错级数莱伯尼兹判别法：对于级数若 （1），即级数是交错的， （2）单调下降， （3）则收敛。例6.15 解：先考虑级数 因为 而收敛，所以收敛即原级数绝对收敛。例6.16解：对于，因为，所以发散，原级数绝对发散。而是交错级数，单调下降，且由莱伯尼判别法知，原级数是
4、条件收敛。例6.17研究级数敛散性解：（）=1，与同敛散，故当时，原级数绝对收敛；当时，原级数绝对发散；当时，不存在，所以原级数发散；当时， 为交错级数，且单调下降，且， 故由莱伯尼兹判别法知，原级数条件收敛。四、幂级数1收敛半径和收敛区间称为幂级数，对于幂级数首先是收敛半径和收敛区间的计算。收敛半径R：R=收敛区间:；对于和端点处特别考虑。例6.18求的收敛半径和收敛区间解：，当时，原级数=收敛；当时，原级数=收敛；所以，收敛区间为。例6.19求的收敛半径和收敛区间。解：令，原级数， ， 。 对于，原级数收敛；当时，原级数发散，故收敛区间为。2函数展开为幂级数 几个常用的幂级数形式（1） （
5、2） （3） （4）例6.201) 展开为的幂级数。2）展开为的幂级数。解：1）2） 例6.21展开为的幂级数。解： 。例6.22展开为x的幂级数解：例6.23已知求的幂级数展开式解：在区间上，两边积分，利用幂级数逐项可积性得，。例6.24求和函数。解：设，利用幂级数逐项可积性得，求导得：。例6.25求的和函数。解：令 ， ， 所以。单元练习题61是级数收敛 （ ）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件2正项级数收敛的( )是前n项部分和数列有界A必要条件 B充分条件C充要条件 D无关条件3下列级数中收敛的是( )A BC D4下列级数中条件收敛的是( )A BC D5下列级数中绝对收
6、敛的是( )A BC D6下列级数发散的是( )A BC D7幂级数的收敛域是（ ）A BC D8已知级数，当 时，级数绝对收敛；当 时，级数条件收敛；当 时，级数发散。9幂级数的和函数 ，= ， 。10判别下列级数的收敛性（1） （2），（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）11求下列幂级数的收敛半径和收敛域：（1） （2）（3） （4）12将展开为的幂级数。13将展开为的幂级数。14将函数（1）展开为的幂级数，（2）展开为的幂级数。15求的和函数。历年真考题1（2003）下列正确的是（ ）A. 收敛 B. 收敛C. 绝对收敛 D. 收敛2（2003）将函数展开成的幂级数
7、，并指出收敛区间（不考虑区间端点）。3（2004）幂级数的收敛区间为_。4（2004）把函数展开为的幂级数，并写出它的收敛区间。5（2005）设有正项级数（1）与（2），则下列说法中正确的是（）A若（1）发散则（2）必发散。 B.若（2）收敛，则（1）必收敛。C.若（1）发散，则（2）可能发散也可能收敛。D.（1），（2）敛散性一致。6（2005）幂级数的收敛域为_.7（2005）将函数展开为x的幂级数，并指出收敛区间。.章节测试题1级数的敛散性：当 时，级数绝对收敛；当 时，级数条件收敛；当 时，级数发散。2，展开为的幂级数为 。3下列级数条件收敛的是（ ） A B C D 4下列级数发散的
8、是（ ）A BC D5.()展开为 的幂函数是（ ）A B C D6的收敛半径（ ）A. 1 B 3 C D7在的和函数=（ ）A B C D8. 幂函数 的收敛半径是（ ）A 2 B C D 39下列级数中条件收敛的是（ ）A BC D10判断的敛散性。11求幂级数的收敛半径和收敛区间。12设，讨论为何值时，级数收敛。13展开为的幂级数，并求出收敛范围。14讨论在,和三种条件下的敛散性。单元练习题6答案12345678910（）绝对收敛。因为，而收敛。（）当时，发散；当时，收敛。（），而收敛，故原级数绝对收敛。（）发散。因为收敛，发散。（）收敛。，所以，而收敛，所以原级数收敛。（），所以原级
9、数收敛。（），所以原级数收敛。（），而收敛，所以原级数收敛（）发散，而为交错级数，且单调下降趋于零，故条件收敛。（10）而，故绝对发散。而为交错级数。且单调下降趋于0。故条件收敛。11（1）解：，当时，收敛；当时，收敛，收敛区间为（2）令收敛区间为（3）令，原级数当，原级数=，条件收敛收敛区间为（）令，原级数，。当发散；当，收敛，故的收敛区间为，相应的的收敛区间为。12解：令，积分得，13解：，。14（1）解：，。(2)解：，。15。本章测试答案1.；2. 34.5.6.7. 8. 9. B10解：，由于，故发散，即不绝对收敛。为交错级数且单调减少且趋于零，由莱伯尼兹法则知，原级数条件收敛。11令，当时，发散，所以原级数收敛区域为。12当时，故原级数发散，当时，条件收敛当时，对于，所以绝对收敛。13，分别将在区间上积分得：所以 14当时，发散；当时，发散；当时，而收敛，所以收敛。- 179 -