几何.第4讲.几何综合(一).教师版.doc

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1、第四讲 几何综合（一）教学目标1. 熟练运用直线型面积的各种模型。2. 熟练掌握平面图形中的割补、旋转、平移、差不变等各种方法。3. 针对勾股定理、弦图等特定方法熟练应用。知识精讲板块一、割补思想【例 1】 如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【解析】 取AB、CD AE的中点，BC的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，由于取得点都是等分点，分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米，10个小等腰直角三角形的面积都是2平方厘米，可以看出长方形ABCD 的面积等于：74+102=48(平方厘米)【例 2】 如图，正

2、方形的边长是，分别是和的中点，求四边形的面积 【解析】 如图，利用割补法，原正方形面积等于个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是，而阴影部分面积等于个小正方形面积，所以也是【例 3】 如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长厘米、下底长厘米的等腰梯形(阴影部分).求这个梯形的面积.【解析】 因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积.可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑.将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形，图中阴影部分是边长厘米与边长厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的倍.所以所求梯形面积是【例 4】 用四个相同的等腰直角三角板，相互

3、重叠着拼成右上图所示的正方形，求阴影正方形的面积.【解析】 连接可知等腰三角形的面积为阴影正方形面积的四分之一，等腰三角形的面为：，所以阴影正方形的面积为：【巩固】在图中，三角形和是两个完全相同的等腰直角三角形，其中长厘米，长厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?图(a) 图(b)【解析】 方法一：如图(a)，将原题中图形分为个完全一样的小等腰三角形占有个小等腰三角形，其中阴影部分占有个小等腰三角形，(平方厘米)，所以阴影部分的面积为(平方厘米)方法二：如图(b)，连接，有四边形为正方形，易知(厘米)，所以(厘米)，于是. 而四边形为长方形，有(厘米)，(厘米)，所以阴影部分面积为与长方形的

4、面积和，即为(平方厘米)【例 5】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答. 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的，所以原题阴影部分占整个图形面积的. 拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的. 等分法将原图等分成个小三角形(见右

5、上图)，阴影部分占个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【例 6】 长方形的周长是厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形已知这四个正方形的面积之和为平方厘米，那么长方形的面积是多少平方厘米？【解析】 从图形我们可以看出，的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形周长的一半，可以看出若以和为边能构成大正方形(如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是平方厘米的一半这样我们容易求出：大正方形的边长为厘米，面积为：平方厘米

6、，正方形与正方形的面积之和为：(平方厘米)长方形与长方形的面积相等所以，长方形的面积为：(平方厘米)【例 7】 有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形求图中阴影部分的面积？【解析】 如下图左所示，S阴S阴如下图中所示，此时斜放的正方形面积为，阴阴如图右所示，此时外面正方形面积为，图中阴所以，图中阴影部分总面积为：阴阴【例 8】 如图(a)是常见的一副七巧板的图，图(b)是用这副七巧板的块板拼成的小房子图，那么，第块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第块板与第块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【解析】 设整个七巧板组成

7、的正方形的边长为，显然整幅图形的面积为，在图(a)中找出图(b)中相应的图形，有，有、五块图形的面积之和为，所以，所以第块板的面积等于整幅图面积的，第块板与第块板面积和为整幅图面积的【巩固】(2008年第六届“希望杯”五年级第二试)如图 ()，是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积为平方厘米的七巧板(图()拼成那么，长方形的面积是多少平方厘米？ 图a 图b【解析】 设右边的正方形的对角线长为，根据勾股定理，左边的长方形，宽等于右边的图形中正方形的边长和三角形的直角边长之和，长等于右边的图形中正方形的边长与三角形的直角边长及三角形的直角边长的倍之和从右图中可以看出，三角形的直角边长为，正方形的边

8、长和三角形的直角边长均为，所以，长方形的面积为：(平方厘米)【巩固】如图，正方形硬纸片的每边长厘米，点、分别是、的中点，现沿图(a)中的虚线剪开，拼成图(b)所示的一座“小别墅”，则图(b)中阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】 对比两个图形易知，图(b)中阴影部分的面积是正方形面积的，即(平方厘米)【例 9】 (第五届“走进美妙的数学花园”决赛)一个长方形和一个等腰直角三角形如左下图放置，图中六块的面积分别为1，1，1，1，2，3大长方形的面积是 【解析】 (法一)易知，图中除了面积为3的长方形外，其他的三角形都是等腰直角三角形，其中如果将面积为2的等腰直角三角形沿高线切开后，就分为两个面积

9、为1的等腰直角三角形，此时就能看出图中大长方形除开面积为3的那部分后，剩下的那部分的长方形的长宽比为，宽恰好为面积为1的等腰直角三角形直角边长的两倍，所以这一部分的长方形的面积为，所以大长方形的面积为(法二)如右上图添加几条辅助线后便一目了然，大长方形面积为：【例 10】 （2008年“迎春杯”初试五年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，、这三块的面积分别是2、8、58，则、这两块的面积差是 【解析】 由于的面积是的4倍，所以可以把分成4倍的，而两个为一个方格，一个方格的面积为根据，则与一共是(格)，所以与是的长方形所以正方形边长是的直角边长的5倍，等腰直角三角形直角边长是的直角边长的

10、7倍，则的格数为8格，的格数为10格，、这两块的面积差是(格)，1格的面积为4，所以、这两块的面积差为（本题还有利用等腰直角三角形来解析）【巩固】(2008年“迎春杯”初试六年级)一个等腰直角三角形和一个正方形如左下图摆放，、这三块的面积比依次为那么，、这两块的面积比是 【解析】 如图右上图：， ，又，【例 11】 如图，请求出和的度数 【解析】 如图，将图形补全，下面是一个正方形，上面是一个正三角形由于是等腰三角形，所以(等腰三角形的性质)，又三角形内角和为，所以，得到，所以，点评：在初中求角度的几何问题中，“割补法”再一次展示了它的魅力这样一类问题意在培养学生熟练掌握和应用基本的几何定律，

11、以严谨的思维进行几何说明，为学习全等三角形和相似三角形的判定定理埋下伏笔【例 12】 如图，把边长为的等边三角形剪成部分，从三角形顶点往下处呈角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边三角形问：所有阴影部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍？【解析】 (法1)如图，将剪刀剪出的3条线分别向外延长，与原正三角形的边的延长线相交，形成3个顶角为的等腰三角形再将中间的小正三角形也分成3个顶角为的等腰三角形由于是一个等腰三角形的腰，也是一个等腰三角形的腰，而这两个等腰三角形是全等的，所以和相等，那么和也相等所以，中间的小正三角形所分成的3个顶角为的等腰三角形，与三个角上的小等腰三角形是全等的由于一个腰长为

12、，顶角为的等腰三角形和一个边长为的等边三角形的面积相等(设为)，所以中间小正三角形的面积为，而边长为的等边三角形的面积为，则阴影部分的面积为，所以阴影部分面积是空白小三角形面积的(倍)(法)将大三角形分成边长的小等边三角形即可求解 大三角形中包含个小等边三角形，空白三角形包含个小等边三角形所以阴影部分面积是空白小三角形面积的(倍)板块二、旋转平移思想【例 13】 已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？ 【解析】 图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半 (平方厘米)【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是，在里面画两条对角线、一个圆、两个

13、正方形，阴影的总面积为，最小的正方形的边长为多少厘米？【解析】 如右图所示，把、依次放到、的位置则的面积为所处的小正方形的面积为故小正方形的边长为【例 14】 如下图，六边形中，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米【例 15】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（

14、阴影部分）有多大？ 【解析】 如图所示，将道路平移后的（16-2）（10-2）=112【例 16】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个请算出阴影部分的面积 【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为，所以阴影小三角形的顶角等于，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为平方厘米【例 17】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形已知甲三角形两条直角边分别为和，乙

15、三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积 【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和所以阴影部分面积为：【例 18】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点为中心转动一个正方形当厘米，厘米，厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确) 【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为厘米，所以重叠部分的面积为：(平方厘米)【例 19】 如图，在直角三角形中有一个正方

16、形，已知厘米，厘米，求阴影部分的面积 【解析】 绕点逆时针旋转，使与重合，则点落在边上的点处，且则阴影部分面积转化为直角三角形的面积，所以阴影部分的面积为平方厘米【例 20】 如图所示的四边形的面积等于多少？【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)【例 21】 如图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一

17、点，其中，求四边形的面积 【解析】 因为和都是直角，和为，所以和的和也为，可以旋转三角形，使和重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形，面积为平方厘米【例 22】 (2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，中，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积 【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置由于，所以而，所以，那么、三点在一条直线上由于，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为根据面积比例模型，的面积为【例 23】 如图，平面上是正方形，是等腰梯形，它的上底厘米，下底厘米求三角形的面积【解析】 如右图，作等腰梯形的两个高和，易知，将旋转到的位置则，三点在一条直线上，是的底边上的高所以

18、，三角形的面积为【例 24】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图，直角梯形中，将腰以为中心逆时针旋转至，连接、，则的面积是 【解析】 如图所示，将以为中心顺时针旋转，到的位置延长与交于由于是直角梯形，与垂直，则四边形是长方形，则由于与面积相等，而的底边，高，所以的面积为，那么的面积也为1【例 25】 如图，正方形和有一个公共点，试比较三角形和三角形的面积 【解析】 因为和是直角，所以和是互补角，将三角形顺时针旋转到达的位置，则、在同一条直线上，且，即是的中点，所以三角形和三角形面积相等，则三角形和三角形面积相等【例 26】 (2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边为斜边在正

19、方形内作直角三角形，、交于已知、的长分别为、，求三角形的面积 【解析】 如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()又因为是直角三角形，根据勾股定理，所以()那么()，所以()【例 27】 (2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知，则 【解析】 将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，所以是正方形三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：；所以【例 28】 (第八届华杯赛总决赛)如图所示的四边形中，厘米，连接对角线，求四边形的面积 【解析】 由，可得，将剪下来，翻转，再贴在

20、边上，即将点粘在点上，点粘在点上，如右上图所示则点在点的位置由于，所以、三点在同一条直线上由于，所以，即是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形的面积，所以四边形的面积为平方厘米【例 29】 如图，在中，求“？”的度数 【解析】 如图，由于，可以将移动到，由于，所以，又，而，所以四边形是等腰梯形，有，点评：通过构造全等三角形来转化课后练习练习1. 正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积 【解析】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小

21、三角形组成，所以现在的大图形的面积是：12=2(平方米)练习2. 第四届华杯复赛试题)如图，长方形的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形的面积？ 【解析】 利用”扩”的思想，将左图转化为右图，那么正方形IBEG的面积就等于长方形ABCD周长一半的平方，即(平方厘米)，长方形ABCD与DFGH是完全一样的，而正方形IADH与DCEF的和等于题目种已给的四个正方形面积的一半，所以长方形ABCD的面积为：(平方厘米)练习3. 两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.【解析】 阴影部分是一个高为厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形与三角形完全相同，都减去三角形后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形的面积.直角梯形的上底为(厘米)，面积为(厘米2).所以，阴影部分的面积是平方厘米。练习4. 如图所示，梯形中，平行于，又，试求梯形 的面积 【解析】 如右图，将沿平移至,连接,在三角形中，有，有，所以三角形为直角三角形由于，所以梯形的面积与三角形的面积相等，为2010年短期班 小学奥数六年级几何第4讲 教师版 page 14 of 14