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1、二次根式中的经典题型例题精讲板块一 化简求值【例1】 已知，求的值.【考点】二次根式化简求值【难度】5级【题型】解答【关键词】【解析】，故 【答案】【例2】 已知，求代数式的值【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】20年，宁波市，中考【解析】【例3】 当，求代数式的值.【考点】二次根式化简求值【难度】4星【题型】河南省竞赛，第七届祖冲之杯数学竞赛【关键词】【解析】，【巩固】 已知：，求的值.【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】,，【答案】【巩固】 当时，求的值【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】【巩固】 先
2、化简，再求值.，其中.【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】2006年，江西省，中考【解析】原式当时，原式.【答案】【巩固】 化简二次根式已知，求的值.【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】.， 原式.【答案】【例4】 已知：，且，求的值.【考点】二次根式化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，原式【答案】【巩固】 已知，求下列各式的值.； .【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，.【答案】（1），（2）12【例5】 已知则的值为_【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】年，山东省初中
3、数学竞赛【解析】注意到，所以，【答案】5板块二 有理数无理数【例6】 已知、均为有理数，并满足等式，求、的值.【考点】简单数论【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由已知条件可得，所以，即，【答案】，【巩固】 已知、是有理数，且，求、的值【考点】简单数论【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】、为有理数，为无理数，则当且仅当时，由这一性质可解答本题已知等式可以变形为因为、是有理数，所以化简得解之得【答案】【例7】 已知，为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且满足，求的值.【考点】简单数论【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，即，为有理数，解得，【答案】【例8】 已知是有理数，满
4、足，则是一个（ ）A B C D.3【考点】简单数论【难度】5星【题型】选择【关键词】安徽省，竞赛【解析】将代入得，化简得，是有理数，解之，选（A）【答案】A板块三 估算整数部分、小数部分【例9】 设的整数部分是，小数部分是，试求的值。【考点】二次根式化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】1981年，北京市，初中数学竞赛【解析】，而，从而故【答案】10【巩固】 已知的整数部分为，小数部分为，求的值.【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】通过估算得知，.原式.【答案】【例10】 如果分别表示的整数和小数部分，求.【考点】二次根式化简求值【难度】4星【题型】解答【关
5、键词】上海市，初二数学竞赛题【解析】，.【答案】10【例11】 设的整数部分为，小数部分为，试求的值= .【考点】二次根式化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】宁波市，初中数学竞赛题【解析】，故，.【答案】6【巩固】 是的小数部分，求的值.【考点】二次根式化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，【答案】2板块四 提取公因式【例12】 【考点】二次根式的混合运算【难度】4星【题型】解答【关键词】天津市，竞赛题，提取公因式【解析】原式【答案】2001【巩固】 满足等式的正整数对的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【考点】二次根式的混合运算【难度】4星【题型】选择【关键词】提取公因
6、式【解析】显然所以，所以，正整数对或【答案】B【例13】 化简：=_【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯，培训试题【解析】【答案】【巩固】 化简_【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯，培训试题【解析】【答案】3333【例14】 化简并求值：，其中，【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原式【答案】4【巩固】 化简：【考点】二次根式的化简求值【难度】5星【题型】解答【关键词】五城市联赛【解析】【答案】【巩固】 化简=_.【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯【解
7、析】点评：本题为因式分解法化简根式【答案】【巩固】 ，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】第12届，希望杯，培训题【解析】略.【答案】【例15】 计算：.【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原式.【答案】【巩固】 化简：【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原式【答案】板块五 裂项【例16】 下列分母有理化计算. ，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：.【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】裂项【解析】原式【答案】2001【巩固】 计算：【考点】二次根式的化简求值【难度】4
8、星【题型】解答【关键词】全国数学联赛，裂项【解析】原式【答案】【例17】 化简：【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】裂项【解析】原式【答案】【巩固】 计算：【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】2006年，湖北，裂项【解析】原式中有规律：.原式，.【答案】【例18】 计算：【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】裂项【解析】原式【答案】【巩固】 计算：【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】天津市，初二数学竞赛，裂项【解析】原式【答案】【补充】已知对于正整数，若某个正整数满足，则=_【考点】二次根式的化简求值
9、【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯，裂项【解析】 ，【答案】8【补充】定义，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】6星【题型】解答【关键词】裂项，立方差【解析】所以；以上各式分别相加，得.【答案】5【补充】 计算:【考点】二次根式的化简求值【难度】6星【题型】解答【关键词】第九届，华杯赛，裂项，配方【解析】因为所以所以原式【答案】板块六 互为倒数、化简求值【例19】 已知：，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】年，全国数学联赛【解析】，【答案】970【巩固】 已知：，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，【
10、答案】193【巩固】 已知：，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】天津市，竞赛题【解析】，【答案】194【例20】 设，为自然数，如果成立，求值.【考点】二次根式的化简求值【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】，得，得【答案】7板块七 换元【例21】 计算：+=_.【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯，换元法【解析】令，则原式【答案】0【例22】 计算：=_【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】换元法【解析】设，那么原式【答案】【巩固】 _【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】2
11、006年，希望杯，换元法【解析】令，则原式【答案】2005板块八 奇思妙想（补充专题教师选讲）【例23】 若，则的值为 .【考点】二次根式的化简求值【难度】5星【题型】填空【关键词】湖北省黄冈市，初中数学竞赛题【解析】，故原式.【答案】0【巩固】 已知，求的值。【考点】二次根式的化简求值【难度】5星【题型】解答【关键词】换元【解析】利用已知条件可得，然后再用“代换法”来求值 ，。两边平方，得，即。类似可得。【答案】【例24】 若，则的值是 .【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】希望杯，初二【解析】，.【答案】0【巩固】 当时，多项式的值为（ ）A B C D.【考点】二
12、次根式的化简求值【难度】4星【题型】选择【关键词】全国初中联赛题【解析】，即，【答案】【巩固】 如果，那么 .【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】第十届，希望杯，初二【解析】由题设得：，原式.【答案】4【例25】 若，则分式 .【考点】二次根式的化简求值【难度】5星【题型】填空【关键词】全国初中数学联赛题【解析】，.故原式.【答案】5【巩固】 已知，试求的值。【考点】二次根式的化简求值【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】因为，所以，所以，即。由综合大除法，得原式。【答案】5课后练习练习 1 先化简，再求值：，其中【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【
13、关键词】2008年，乌鲁木齐，中考【解析】原式，当时，原式【答案】练习 2 先化简，再求值.，其中，【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】2006年，南通，中考【解析】.当，时，原式.【答案】1练习 3 化简求值：，其中，【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原式，而，故原式【答案】练习 4 已知，求代数式的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，同号，又，则【答案】练习 5 设是一个无理数，且，满足，求【考点】简单数论【难度】4星【题型】解答【关键词】2002年，四川，竞赛题【解析】由可得，是一个无理数，所
14、以，则，所以【答案】练习 6 与的小数部分分别是和，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】天津市，初中数学竞赛【解析】，原式.【答案】8练习 7 已知是的整数部分，是的小数部分，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，的整数部分，的小数部分【答案】0练习 8 _【考点】二次根式的混合运算【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯，培训试题【解析】【答案】2002练习 9 观察下面的式子，根据你得到的规律回答： =_；=_；=_； ，求的值（要有过程）.【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】辽宁省初中数
15、学竞赛题【解析】为.【答案】练习 10 化简：【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原式【答案】练习 11 设，则_【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯【解析】点评：本题为裂项相消法化简根式【答案】练习 12 已知：，求的值.【考点】二次根式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】希望杯【解析】，【答案】98练习 13 代数式=_.【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】填空【关键词】第届，希望杯，培训题【解析】设，则原式【答案】练习 14 计算： .【考点】二次根式的化简求值【难度】【题型】【关键词】天津市，初二数学竞赛题【解析】设，则 ，【答案】1991练习 15 已知，求的值。【考点】二次根式的化简求值【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，所以，同理可得原式【答案】4-2-2 二次根式中的经典题型 讲义教师版 page 21 of 21