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1、分式恒等变形（竞赛部分）例题精讲一、化分式为部分分式的和【例1】 若，求、的值.【考点】化分式为部分分式和【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】，所以，所以【答案】【巩固】已知正整数满足，则的最小值是 【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】16【例2】 已知与的和等于，求，.【考点】化分式为部分分式和【难度】3星【题型】解答【关键词】06年，宁波市重点中学，自主招生试题【解析】所以，解得【答案】【例3】 若关于的恒等式中，为最简分式，且有，求.【考点】化分式为部分分式和【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】，所以，利用配方思想解得：或，【答案】【
2、例4】 将化为部分分式.【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】,故设.比较两边分子对应项的系数，得 解之得.【答案】【例5】 化为部分分式【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】设，通分后比较对应项的系数，得解得，.【答案】【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式：.【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】因为，所以我们假设其具有的形式.两边同时乘，得：.比较同次幂的系数可得解得，从而.【答案】【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：.【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】因
3、为，故可假设其具有的形式，则有： .比较和的系数，可得方程组从而因此【答案】【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：.【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】观察分母的结构，我们可以设.通分之后比较分子，可得：.令，得到，即；令，得到，即；令，得到,即；令，得到,即；令，得到，即；由此解得 从而【答案】二、分式的恒等证明【例8】 求证：【考点】分式恒等证明【难度】4星【题型】解答【关键词】1994年，广东潮州市初中数学竞赛【解析】略【答案】左边 右边。【例9】 已知：，求证：.【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】由得，故，【例
4、10】 若，求证：【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】【例11】 若，求证：.【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】解法1：因为，故，.则，注意到，故上式.解法2：因为，故，.则.解法3：由可得，则.点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用.三种解法的思想是一样的，但是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是“”在其中的使用，更是值得细细品味.当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题过于烦琐，有兴趣的学生可以尝试一下这种思路【巩固】已知，求证：.【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】解答【关键词】2
5、003年，第1届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试试题【解析】略【答案】，即，故，则，故.等式两边同时除以，可得，进而，则，故，从而，故，展开并化简，可得，即，从而，故.点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关键，就是拆分部分分式的时候，我们从左边的式子里面提出两个，从而让整个式子得到简化.【例12】 已知，求证：.【考点】分式恒等证明【难度】6星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】本题在形式上和上题如出一辙，我们不妨沿袭上面的解法 因为，故，则，同理，.从而.点评：我们把已知条件这一形式向要证明的结论作一个过渡：，而，故.点评：这一因子并不突兀，因为我们要在已知条件和要证结论之
6、间搭起桥梁，而乘上恰好可以达到这一目的. 在数学竞赛中，有一个技能无论怎么强调都不过分，它就是“恒等变形”.在我们上面所讲授的题目中，它是一个极其重要(甚至是不可或缺)的工具，多处展现了其高超的技巧性，而这种“技巧”有时是靠灵光突至，有时靠的是丰富的解题经验和优良的解题素养，有时靠的是观察的细致入微，希望大家平时能多加练习、多加积累.【例13】 已知，且。求证：（1）（2）【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】解答【关键词】武汉等五市初中数学竞赛试题【解析】略【答案】因为，所以，（1），其余类似可得，故（2），其余各式类似可得，【巩固】已知，求证：【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】解答
7、【关键词】【解析】略【答案】由已知条件得故。同理得故三、分式与数论【例14】 将写成两个因式的积，使它们的和为，求这两个式子。【考点】分式与数论综合【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】因为，且，所求的两个式子分别为。【答案】【例15】 求最大的正整数，使得能被整除。【考点】分式与数论综合【难度】6星【题型】解答【关键词】【解析】，所以整除必须且只需，整除900。又要取最大值，故。从而符合要求的正整数的最大值为890。【答案】890【巩固】在这2009个正整数中，使不是既约分式的共有多少个？【考点】分式与数论综合【难度】6星【题型】解答【关键词】【解析】分离分式的整数部分，将分子变形为，有
8、。要使不是既约分数，只要不是既约分数即可。注意到3为质数，所以共670个数因此，共670个数，使不是既约分数。【答案】670课后作业1. 若对于以外的一切数，均成立，求.【考点】化分式为部分分式和【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】所以，解得，所以【答案】2. 将下列分式写成部分分式的和的形式：.【考点】化分式为部分分式和【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】首先我们要仔细观察分母的结构，根据前面所提及的知识，此处可以设部分分式的和的形式为.通分之后，两边的分子应该相等.即：.令，得到；令，得到；令，得到；比较的系数，得到.于是:.【点评】请注意，除非万不得已，要尽量避免将右边的式子全部展开之后再与左边的式子比较系数，这种方法会占用大家不少时间，并且可能会造成错误.【答案】3. 已知、为三个不相等的实数，且，求证：.【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】由，得，故，同理可得，故4. 已知，求证：。【考点】分式恒等证明【难度】5星【题型】【关键词】【解析】【答案】， 将已知条件代入，得。 联立、，解得故3-2-4 分式的恒等变形 讲义教师版 page 11 of 11