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1、救灾时空投物资的降落伞的选择问题数学建模【摘 要】本文建立了一个救灾时关于空投物资所需降落伞的选择方案使得所需总费用最少的最优化模型。第一方面，先通过建立物体在空气阻力作用下下降过程的物理模型得出下降速度以及下降距离随时间变化的规律，以及根据图表二中的数据，利用线性拟合求出空气阻力系数k=2.9575。然后求出了五种降落伞在满足降落速度不超过20m/s前提下的最大负重质量。另一方面，本文利用已知的关于降落伞的信息得出了五种降落伞的造价。最后利用优化问题求解软件lingo对所建立的模型求解，求得所需最少费用为6350.4元，一共需要降落伞十个，其中半径为2m的1个，半径为2.5m的2个，半径为3
2、m的7个。关键字：线性整数规划、空气阻力系数、最大负重*作者：龙文高 学号：0807010208 邢素丹 学号：0807010219 李 敏 学号：0807010228问题重述：2008年，汶川大地震，现急需向灾区空投救灾物资共3000kg，因此选购一些降落伞。已知空投高度为500米，要求降落伞落地时的速度不能超过20米/秒，降落伞面为半径r的半球面，用每根长L共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处，如图：每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用c1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用c2由绳索总长度及单价3元/米 决定；固定费用c3为150元。降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降
3、落速度和伞面积的乘积成正比，为了确定阻力系数， 用半径r=3m，载重m=300kg的降落伞以500m高度作试验，测得各时刻t的高度x，见表2。需要解决的问题：试确定降落伞降落的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1 中选择）在满足空投的要求下，使总的费用最低。问题分析：问题的目的是要确定一个降落伞的选择方案，使得在满足救灾的前提下让所需的总费用最少。这显然是一个以各种降落伞的数量为决策变量，以总费用为目标进行规划的数学问题。为了确定目标函数和约束条件，需要求出每种降落伞的造价和最大负重量。由于不同的降落伞在空中承载一定质量的物资一定高度落下时末速度与降落伞和物资整体受到的重力和空气阻
4、力有关，而空气阻力与降落速度和伞面积成正比，因此不同的降落伞所能承受的最大物质重量是不同的，并且降落伞的半径有关。同时由于降落伞落地速度有限制，因此每种降落伞所能承载的物质重量是有限，因此求出每种降落伞的最大承载量是问题的关键。另外，降落伞的造价费用由伞面费用、绳索费用和固定费用构成，每种降落伞面用费用在图表1中已经给出，而固定费用均为200元，因此只要计算出绳索费用就可以得出每种降落伞的造价。模型假设：1、救灾物资可以任意分割。2、空投高度确定，均为500米，空投初速度为0。3、空投开始时降落伞已经打开。4、降落伞下降过程中忽略风力的影响，只受空气阻力和重力，且伞和物资整体受力均匀。5、空投
5、地点固定，空投处重力加速度为g=9.8m/s2。6、降落末速度不超过20m/s27、降落伞伞面和绳索的质量忽略不计8、降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比，比例系数是一个常数。9、绳索连接的载重m的物体的一端位于球心正下方球面处，而另一端均匀分布在伞的边缘。10、物体挂于降落伞上时不会脱落，不考虑因物资脱落而造成的损失。11、图表一、二中所列出的数据是比较准确的，且其物理背景和以上假设一致。符号说明：P(r)：半径为r的降落伞的造价C1(r)：伞面费用C2(r)：绳索费用C3：固定费用M(r)：每一个半径为r的降落伞的最大承载量k：空气阻力系数t：从空投开始计
6、时的时间H(t)：t时刻降落伞下降的距离m：降落伞负重质量S(r)：半径为r的降落伞伞面面积n(r)：所需半径为r的降落伞的数量模型建立：根据题目要求，通过问题的分析，我们知道此次建模的目的是要对各种降落伞的需求数量n(r)进行规划，使得总费用P最少，该问题是一个线性整数规划问题,因此需要建立数学规划模型，其中：决策变量：n（r）即半径为r的降落伞的数量，决策目标：目标是要使得最终费用最少，即Min P=约束条件： 为非负整数显然，为了求得该模型的解，必须得出五种降落伞的造价和最大负重。（i）计算每种降落伞的造价P(r)由题意容易得出：其中在图表一中已经提供，元而 （ii）计算每种降落伞在满足
7、救灾需求前提下的最大负重M(r)根据受力分析：降落伞和物资的整体只受重力和空气阻力f的作用，当空投物资质量为m时有： 而空气阻力的大小与伞面面积s和降落速度v成正比，即： 将带入有 又初值v(0)=0 m/s。则可以解出该微分方程，得到： 由此可得 式可以写成表达式 其中是一个关于t的正态分布函数，当取m=300kg，r=3m时，由图表二的数据可以知道当t达到一定值时，X近似地呈线性减少（也就是H线性增大），即v几乎恒定。可以根据图表二中的数据对式进行拟合，得出v,进而求出k的值由将式中的m看成是变量的话，有：因此当t确定时v是关于m的严格增函数由于允许的最大落地速度为20m/s,所以可以求得
8、 模型求解：（i）：计算P（r）由Matlab编程如下：C1=70 180 360 670 1000;C3=150;C2=3*16*sqrt(2)*r;for i=1:5 P(i)=C1(i)+C2(i)+C3;endP将结果列成表格为半径r22.533.54造价P(元)355.8499.7713.61057.61421.5（ii）计算M（r）根据图表二可以得到t(s)036912151821242730H（m）03075128183236285340392445499利用MATLAB中的scatter命令画出H的散点图程序如下：t=0:3:30;H=0 30 75 128 183 236 2
9、85 340 392 445 499;scatter(t,H,*)结果如下图：由图可以看出除了前面三个点，其它点基本上分布在一条直线上，故可以推出降落伞在下落过程的后阶段基本上是匀速的。我们从第四点开始（当t=9时）用最小二乘法进行线性拟合求出式中的v，程序如下：t=9:3:30;H=128 183 236 285 340 392 445 499;Y=polyfit(t,H,1);v=Y(1)结果为v= 17.5794又 其中m=300kg，r=3m，所以k= 2.9575由式可以求出M(r)用matlab编程如下：r=2 2.5 3 3.5 4;k=2.9575;s=2*pi*r.2;m=2
10、0*s*k/9.8;m结果用表格列出为半径22.533.54M(kg)151.6940237.0219341.3116464.5630606.7762(iii)求降落伞的最优化分配即模型的的最优解在lingo中输入：Model:Min=355.8*n1+499.7*n2+713.6*n3+1057.6*n4+1421.5*n5;x1*n1+x2*n2+x3*n3+x4*n4+x5*n5=3000;x1=151.6940;x2=237.0219;x3=341.3116;x4=464.5630;x5=606.7762;gin(n1);gin(n2);gin(n3);gin(n4);gin(n5);
11、end运行后得到以下结果：Local optimal solution found. Objective value: 6350.400 Extended solver steps: 57 Total solver iterations: 1225 Variable Value Reduced Cost N1 1.000000 355.8000 N2 2.000000 499.7000 N3 7.000000 713.6000 N4 0.000000 1057.600 N5 0.000000 1421.500 X1 145.8490 0.000000 X2 237.0219 0.000000
12、X3 340.0153 0.000000 X4 2.550292 0.000000 X5 2.560525 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 6350.400 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 5.844950 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 1.296293 0.000000 6 462.0127 0.000000 7 604.2157 0.000000结论：由上面的分析和求得的结果可知，当选择半径为2m的降落伞1个，半径为2.5的降落伞2个，半径为3的降落伞7个时，3000kg救
13、灾物资能被全部投放，且所需的总费用最低，为6350.4元。模型结果检验：从上面的求解过程我们可以知道，每种降落伞的造价P(r)是根据题目提供的数据可以直接精确地求得，因此P(r)的值不需要检验。但我们在求每种降落伞在降落速度不超过20m/s的前提下的最大负重时，关键是求得空气阻力系数k，而k我们是根据提供的数据的规律进行估计得出的，需要进一步检验。当m=300kg，r=3m时我们在H的散点图上画出用后面8个点拟合而成的直线：在matlab中输入以下程序：t=0:3:30;H=0 30 75 128 183 236 285 340 392 445 499;scatter(t,H,*)t=9:3:
14、30;H=128 183 236 285 340 392 445 499;xlabel(t/s),ylabel(H/m)holdY=polyfit(t,H,1);h1=polyval(Y,t);plot(t,h1)得到下面图形：由图可以看出，我们近似的把后面8点看成在一条直线上是合理的，其中误差在模型允许的范围内。 另外我们还需要检验M(r)和S(r)以及k的关系的正确性，由：知M(r)随S(r)的增大而增大，即降落伞的伞面面积和空气阻力系数越大，所降落伞能承受的最大负重也越大，这显然合乎常理。模型的评估和改进方向：参考文献：1 姜启源编 数学模型（第三版）高等教育出版社 2003.82 王家文编 matlab7.0编程基础 机械工业出版2005.73