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1、应用数学习题集第三章积分及其应用一.选择题1若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)-G(x)dx是(C)。A、零；B、常数；C、一次函数；D、不一定。2已知在(a,b)内，f(x)=g(x)，那么(A)不一定成立。A、f(x)=g(x)；B、df(x)=dg(x)；C、f(x)-g(x)=C；D、df(x)dx=dg(x)dx。3已知在(a,b)内f(x)dx=g(x)dx，那么(A)不一定成立。A、f(x)=g(x)；B、df(x)=dg(x)；C、f(x)=g(x)；D、d4x的原函数是（D）。f(x)dx=dg(x)dx。A1；Bx2；C121x2；Dx2+C。25Sinx
2、的原函数是（D）。Acosx；Bcosx；Ccosx+C；Dcosx+C。6(lnx)dx=（B）。Alnx；Blnx+C；Clnxdx；D1x。7(tanx)dx=（B）。Atanx；Btanx+C；Ctanxdx；Dsec2x。8设F(x)是f(x)在某区间内的一个原函数，C是任意常数，则（C）也是f(x)的原函数。AF(Cx)；BF(C+x)；CF(x)-C；DCF(x)。9若F(x)=f(x)，则（B）成立。(02-03电大试题)F(x)dx=f(x)+C；B.A.f(x)dx=F(x)+C；C.F(x)dx=f(x)+C；D.f(x)dx=F(x)+C。10x21+x2。dx=（B）
3、Ax+arctanx+C；Bx-arctanx+C；C2x+arctanx+C；Dx2arctanx+C。11若f(x)dx=sinx+C，则f(x)=（2。B）1x1x1x1xAsin；B-sin；Ccos；D-cos。4242222212若bf(x)dx存在，则下列关系中错误的是（C）。aAbf(x)dx=-af(x)dx；Bbf(x)dx=bf(u)du；abaaCaf(x)dx=0；Daf(x)dx=0。-a13以下结论错误的是（A）。aA若af(x)dx=0，则f(x)必是奇函数；Bcf(t)dt+bf(t)dt=bf(t)dt；-aacaCbf(x)dx+af(x)dx=0；D若f
4、(x)是-a,a上的偶函数，则af(x)dx=2af(x)dx。ab-a014设f(x)dx=e-x+e，则xf(x)dx=(D)。A、e-x(1-x)+C；B、-e-x(x+1)+C；C、e-x(x-1)+C；D、e-x(x+1)+C。15设f(x)dx=F(x)+C，则e-xf(e-x)dx=(C)。16积分和式f(x)Dx决定于（C）所给的条件：A、F(ex)+C；B、F(e-x)+C；C、-F(e-x)+C；D、-F(ex)+C。niii=1A、f(x)和a,b；B、x取法与Dx分法；iiC、f(x)、a,b、x取法与Dx分法；D、f(x)和Dx分法。iii17设f(x)在a,b上连续
5、，则bf(x)dx=f(x)(b-a)中，x的取法为（B）：（积分中值定理）aA、axa；D、x0，且m11xdx=1，则m=e。18+111dx=。x4319+0dxp=。1+x2221若f(x)=xsintdt，则f(x)=2xsinx2。20+e-xdx=1。020三、解答题：1求不定积分1-e2x1+exdx。1-edx=dx=(1-ex)dx=x-ex+C。解：2x1+ex(1+ex)(1-ex)1+ex2求不定积分1+lnx+lnx2xdx。1+lnx+lndx=(1+lnx+ln2x)d(lnx)=lnx+ln2x+ln3x+C。解：2x11x233求不定积分amx+ndx。dx
6、=amx+nd(mx+n)=amx+n+C。解：amx+n1mmlna4求不定积分esinxcosxdx。解：esinxcosxdx=esinxd(sinx)=esinx+C。5求不定积分x2e-xdx。解：x2e-xdx=-x2d(e-x)=-(x2e-x-2xe-xdx)=-x2e-x-2xd(e-x)=-x2e-x-2(xe-x-e-xdx)=-x2e-x-2xe-x-2e-xd(-x)=-e-x(x2+2x+2)+C6求不定积分e-xcosxdx。解：e-xcosxdx=e-xd(sinx)=e-xsinx+e-xsinxdx=e-xsinx-e-xd(cosx)=e-xsinx-e-
7、xcosx-e-xcosxdx所以，e-xcosxdx=12e-x(sinx-cosx)+C。7计算不定积分xsin(1-x)dx。xsin(1-x)dx=解：xdcos(1-x)=xcos(1-x)-cos(1-x)dx=xcos(1-x)+cos(1-x)d(1-x)=xcos(1-x)+sin(1-x)+C。8如果函数f(x)的一个原函数是sinx，试求xf(x)dx。xsinxxcosx-sinx解：设函数f(x)的一个原函数是F(x)，则F(x)=，f(x)=。所以，xx2xf(x)dx=xf(x)-f(x)dx=xf(x)-F(x)+C=1(xcosx-2sinx)+C。x9计算函
8、数F(x)=sinx(1-t2)dt的导数。cosx解：F(x)=sinx(1-t2)dt=0(1-t2)dt+sinx(1-t2)dtcosxcosx0=-cosx(1-t2)dt+sinx(1-t2)dt00所以，F(x)=(1-cos2x)sinx+(1-sin2x)cosx=sin3x+cos3x。2arctantdt。10求极限limx01x2x01x2arctantdt型=lim解：limx0x2000x0arctanx22x2x=limarctanx=0。x011计算定积分|cosx|dx。解：|cosx|dx=cosxdx+pcosxdx=2cosxdx-pcosxdx000p
9、0ppp2pp221+lnxdx。12计算定积分e2=sinxp-sinxp=(1-0)-(0-1)=2。0p21x1+lnxdx=e(1+lnx)d(lnx)=lnx+1ln212解：e1x12e3x=。13计算定积分2x24-x2dx。0解：设x=2sint，则dx=2costdt。当x=0时，t=0；当x=2时，t=p2。于是x24-x2dx=2(2sint)24-(2sint)22costdtp200=16p20tcossin22tdt=4p20sin22tdt=4p201-cos4t2dt1=2(1-cos4t)dt=2t-sin4t2=p0pp20214计算定积分e1122x-1d
10、x。解：设2x-1=t，则x=12(1+t2)，dx=tdt。当x=1时，t=0；当x=1时，t=1。于是2dx=1tetdt=tet-et=1。0112e2x-11015计算定积分1|x|exdx-1解：1|x|exdx=-0xexdx+1xexdx=-xex-ex+xe=2-2。e-1-100-1x-ex1016计算广义积分dx。11解：dx=+ln-2xd(lnx)=-ln-1x=-lim+1=1。xln2xlnbeeb+1+exln2x+e17计算广义积分：+-dxx2-2x+2。=+=1解：d(x-1)+dxd(x-1)-x2-2x+1-1+(x-1)2-1+(x-1)2+1d(x-
11、1)1+(x-1)2=arctan(x-1)|1+arctan(x-1)|+=p22p+=p-118计算广义积分：sinxxtdtdx。+-0sinxxtdtdx=1+x2sinxdx解：+-02-，由被积函数f(x)=x2sinx在(-,+)内是奇函数，可知，sinxxtdtdx=0。+-03411A=2(3x-x3)dx=2x3-x4=14019计算曲线y=x3与y=3x所围成的平面图形的面积。解：画草图：如右所示。因为曲线所围成图形关于原点成对称，所以只算第一象限面积即可。y=x3求交点：解方程组，可得曲线的三个交点为y=3xM(1,1)，O(0,0)，N(-1,-1)。算面积：取x为积
12、分变量，则曲线所围成的平面图形的面积为10420求由曲线y=x2和直线y=2x所围成的平面图形面积。y=x2解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得y=2x中心x=0x=21,2y1=0y2=4，从而得积分区间为0，2。所以，所求平面图形面积为：21A=(2x-x2)dx=x-x321030=43（平方单位）。21.求由曲线y=x2和y=x所围成的平面图形面积。y=x2解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得y=xx=0x=11,2y1=0y2=1，从而得积分区间为0，1。所以，所求平面图形面积为：2311(x-x2)dx=x2-x333A=100=13（平方单位）。22求由曲线y=x2和直线
13、y=2x+3所围成的平面图形面积。y=x2解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得y=2x+31,212x=-1x=3y=1y=9，从而得积分区间为-1，3。所以，所求平面图形面积为：A=(2x+3-x2)dx=x2+3x-x331-133-1=223（平方单位）。23求由曲线y=x2和直线y=-x+6所围成的平面图形面积。y=x2解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得y=-x+61,212x=-3x=2y=9y=4，从而得积分区间为-3，2。所以，所求平面图形面积为：12A=(-x+6-x2)dx=-x+6x-x3-323212-3=1316y=x+624.求由曲线y=x2和直线y=x+6
14、所围成的平面图形面积。y=x2解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得1,212x=-2x=3y=4y=9，从而得积分区间为-2，3。12A=(x+6-x2)dx=x+6x-x36单位）。所以，所求平面图形面积为：-223313-21=18（平方25.由曲线y=x2-2x+3和直线y=x+3所围成的平面图形面积。y=x2-2x+3解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得y=x+3x=0x=31,2y1=3y2=6，从而得积分区间为0，3。所以，所求平面图形面积为A=3(x+3-x2+2x-3)dx=3(3x-x2)dx0032=x-x3=2313092解：作图如右，以x为积分变量。解方程组26
15、.求由曲线y=x2和y=2-x2所围成的平面图形面积。y=x2y=2-x得1,212x=-1x=1y=1y=1，从而得积分区间为-1，1。所以，所求平面图形面积为：A=1-121(2-x2-x2)dx=2x-x33-1=83。27.求由直线y=0和曲线y=x2-1所围成的平面图形绕x轴一周旋转而成的旋转体体积。解：作图如右，以x为积分变量.y=x2-1x=-1x=1解方程组得1,2y=0y1=0y2=0，从而得积分区间为-1，1。)-1dx=p15(x-2x+1)dx=px-x3+x=p-115所以，所求旋转体体积：V=p1-1(x22104253211628.求由直线y=2x+3和曲线y=x
16、2所围成的平面图形绕x轴一周旋转而成的旋转体体积。解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得1,212y=2x+3y=1y=9所以，所求旋转体体积：y=x2x=-1x=3，从而得积分区间为-1，3。V=p3(-(x2dx=p2x+3)22)39(+12x+4x2.)-x4dx-1-1=p9x+6x2+x3-x5=56p（立方单位）41353-11329.求由直线y=-x+2和曲线y=x2所围成的平面图形绕x轴一周旋转体积。从而得积分区间为-2，1。y=x2x=-2x=1解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得1,2y=-x+2y1=4y2=1，(-x+2)-(x)dx=pV=p1221所以，所求旋转体体积：2-2-2(4-4x+x2)-x4dx=p4x-2x2+x3-x5=14p（立方单位）11351-22530求由曲线y=x2和x2+y2=2所围成的平面图形绕x轴一周旋转而成的旋转体体积。解：作图如右，以x为积分变量。解方程组得1,2x2+y2=212y=x2x=-1x=1y=1y=1所以，所求旋转体体积：，从而得积分区间为-1，1。)dx=p2x-1x-x5V=p1-12(-x2-x413351-1=4415p