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1、第十五讲公约数与公倍数进阶这一讲我们来继续学习有关约数与倍数更深入的知识首先来看一下最大公约数、最小公倍数与原数之间的关系两个数，如果它们的最大公约数是k那么可以假设这两个数分别为ka、kb，其中a、b互质kakba和b互质而它们的最小公倍数可以表示为kab通过观察，我们发现(ka)(kb)=k(kab)由此可得：两数的最大公约数乘以最小公倍数等于两数乘积注意，这个性质只在两个数的时候有效，如果数更多就不成立，同学们可以尝试举例说明性质虽然好用，但它要求给出最大公约数，最小公倍数和两数中的一个才行如果只给出最大公约数和最小公倍数，能不能把原来的两个数都求出来呢？例题1（1）两个自然数不成倍数关
2、系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216这两个数是多少？（2）若两个数的最大公约数是18，最小公倍数是1080这两个数有哪几组？分析最大公约数是18，说明两个数都是18的倍数，可以分别设为18a和18b，且a、b互质接下来，我们讨论一下a、b的取值练习1（1）两个互质的自然数的最小公倍数是432求这两个数（2）若两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45，最小公倍数是900求这两个数经过前面的例题，我们知道，如果知道两个数的最大公约数，就可以把这两个数表示出来比如说两数的最大公约数是12，那么这两个数都是12的倍数，可以设为12a和12b，而且a和b互质那么这两个数的最小公倍数、和、差以
3、及乘积就都可以用a和b表示出来了例题2两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数分析可以设两个数分别是13a和13b，且a、b互质练习2两个自然数的乘积是288，它们的最大公约数是6，求这两个数例题3两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？分析两个数的最大公约数是6，我们可以假设这两个数是6a，6b，它们的最小公倍数是6ab，那么可知6ab等于420那a，b可以取哪些值呢？相差18又怎么保障呢？练习3两个数的最大公约数是10，最小公倍数是300，如果这两个数相差70，那么较小的数是多少？约数与倍数的问题，最重要的就是
4、分析清楚数的构成，最常用的方法就是分解质因数，由此同学们可以看出分解质因数在数论问题中是多么的重要例题4甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126请问：甲数是多少？分析这道题只告诉了三个数中每两个数的最小公倍数，能否通过分解质因数，然后比较它们质因数的构成来求解呢？练习4c三个正整数a、b、，已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是525，28和300那么a的值是多少？例题5有4个不同的自然数，它们的和是1111它们的最大公约数最大是多少？分析这4个数的最大公约数和1111有什么关系呢？根据前面的题目可知，几个数的和，一定是这几个数的
5、最大公约数的倍数那么最大公约数可能是多少？之前在学习约数的时候，我们学习过如果知道约数个数怎么去反求原数有些题目里面，利用约数个数反求原数和利用公约数公倍数反求原数都会用到例题6甲、乙是两个不同的自然数它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数它们的最大公约数是12请问：甲、乙两数之和是多少？分析甲、乙只含有质因数2和3，且它们都是12的倍数，所以都是2a3b的形式并且它们都有12个约数，由约数个数公式可得(a+1)(b+1)=12所以要把12拆成两个大于1的数相乘，这只能是26或34我们可以把这样的数都写出来，从中选取符合题目要求的数亲和数你能看出220和284之间有什么关系吗？大数学家毕
6、达哥拉斯的回答是：220的约数除本身外为1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和为284；而284的约数除本身外为1，2，4，71，142，它们的和为220。这两个数，一个数的所有约数之和等于另一个数，我们称之为亲和数。这对特殊的数还带着神秘的色彩。很多人相信，刻着这两个数字的护身符能让佩带它的人们永葆完美的友情。假如其中一个人受到了伤害，即使只是被针扎了一下，远在地球另一边的伙伴也能感觉。在魔法、巫术、占星和算命等活动中，这对数扮演着重要的角色。奇怪的是，以后再没发现新的亲和数。直到1636年，伟大的法国数论专家费马才宣布17296与18416结成另一对亲和数。两
7、年后，法国数学家、哲学家笛卡儿发现了第三对。1747年，瑞士数学家欧拉系统研究了亲和数，推出了30对，然后又扩充到60多对。今天，我们已经知道900多对亲和数，这些数对都有相同的奇偶性。如果它们是奇数对，就都是3的倍数；如果是偶数对，它们的数字总和都是9的倍数。作业1.甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？作业2.已知两个不成倍数关系的自然数的积为240，最小公倍数为60，那么这两个数分别是多少？作业3.两个数不成倍数关系，它们的最大公约数是8，和是80那么这两个数分别是多少？作业4.有3个不同的自然数，它们的和是105，它们的最大公约数最大是多少？作业5
8、.甲、乙两数的最小公倍数是60，乙、丙两数的最小公倍数是70，甲、丙两数的最小公倍数是84，那么甲数是多少？第十五讲公约数与公倍数进阶a例题1.答案：（1）54和72；（2）18和1080，72和270，54和360，90和216详解：（1）设两个自然数分别是18a和18b，那么a和b互质这两个自然数的最小公倍数是18ab，那么有18ab=216，ab=12考虑到这两个数不成倍数关系，和b应该是3和4，两个自然数分别是54和72（2）设这两个自然数分别是18a和18b，然后按照第（1）中的方法来做即可例题2.答案：39和52详解：设这两个自然数分别是13a和13b，那么有13a13b=2028
9、可解出a和b应该是3和4，两个自然数分别是39和52例题3.答案：42详解：设这两个自然数分别是6a和6b，那么有6ab=420，6a-6b=18（不妨设a比b大）可解出a=10，b=7，较小的数是42例题4.答案：18详解：90=2325，105=357，126=2327首先可知这三个数的质因数只有2、3、5、7而且甲中没有7，没有5；乙中没有2，没有7，3最多有1个；丙中没有2，没有5，3最多有1个因为甲、乙的最小公倍数是90，而乙中没有2，最多有1个3，可以判断出甲中有1个2，2个3，甲是18例题5.答案：101详解：这四个数的和一定是它们最大公约数的倍数那么它们的最大公约数一定是111
10、1的约数，可能是1、11、101和1001又因为这四个数两两不同，它们的和至少是最大公约数的1+2+3+4=10倍最大公约数最大是101例题6.答案：204详解：最大公约数是12，则两数中质因数2和3的最低次方分别为2和1，又因为两数有12的约数，利用约数个数反求法可得两数分解质因数形式为2233=108，253=96练习1.答案：（1）16和27；（2）180和225（详解：1）可知两数乘积是432，只能是16和27；2）设两个自然数分别是45a和45b，然后列方程即可练习2.答案：6和48详解：设这两个数分别是6a和6b，然后列方程即可练习3.答案：30详解：设两个数分别是10a和10b，
11、然后列方程即可练习4.答案：7详解：参考例题4作业1.答案：32简答：乙数为428836=32作业2.答案：12和20简答：最大公约数是24060=4然后设两个数为4a和4b求解即可作业3.答案：24和56简答：设两个数分别为8a和8b，则有8a+8b=80，a+b=10又因为这两个数不成倍数关系，只能是24和56作业4.答案：15简答：要使3个数都不一样，那么它们的和至少是最大公约数的1+2+3=6倍，而105=715，最大公约数最大只能是15作业5.答案：12简答：甲、乙两数的最小公倍数是2235，乙、丙两数的最小公倍数是257，甲、丙两数的最小公倍数是2237对比三个条件，可知甲数为223=12