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1、物理总复习：行星的运动与万有引力定律【考纲要求】1、了解开普勒关于行星运动的描述；2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；3、掌握万有引力定律并能应用；4、理解三种宇宙速度及其区别。【知识网络】【考点梳理】考点一、开普勒行星运动定律1、开普勒第一定律所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。2、开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。3、开普勒第三定律这所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用a
2、表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则a3T2=k（k是一个与行星无关的常量）。要点诠释：由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道a3T2=k，而k值只与太阳有关，与行星无关。开普勒定律的应用（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为r3T2=k；（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为r3T2=k，这时k由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时，a3T2=k中的k值是不同的。
3、（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。（例、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：）A所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处C离太阳越近的行星的运动周期越长D所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等【答案】D【解析】所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在一个焦点上，但并非在同一个椭圆上，故A、B错。由第三定律知离太阳越近的行星运动周期越小，故C错、D正确。考点二、万有引力定律1、公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平
4、方成反比。F=Gm1m2，G为万有引力常量，r27-1G=6.6110Nm2/g2k。2、适用条件：公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过r应是两球心间的距离。3、万有引力的特点（1）普适性：（2）相互性：（3）宏观性：要点诠释：重力和万有引力的联系和区别重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示，F产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心引力；二是产生物体的重力。由于F=mw2r，随纬度的增大而减小，所以向物体的重
5、力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；但F一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，向即GMmGM=mgg=常用来计算星球表面的重力加速度。2RR2在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即g=GM(R+h)2。r2例、对于质量为m和m的两个物体间的万有引力的表达式F=Gm1m2，下列说法正12确的是：（）A公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大Cm和m所受引力大小总是相等的12D两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力【答案】
6、AC【解析】由基本概念、万有引力定律及其适用条件逐项判断。引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确。万有引力表达式只适用于质点间的作用，当r趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，此时两物体间的作用力并非无穷大，故B错误。两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确、D错误。考点三、应用万有引力定律分析天体的运动1、基本方法把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。公式为F=GMmv24p2=m=mw2r=mr2rrT2=m(2pf)
7、2r测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由GMm解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。2、天体质量M、密度r的计算2p2=m()2rrT344p2rMM3pr3得M=r=GT2VGT2R3pR300(R为中心天体的半径）0GT2当卫星沿中心天体表面绕天体运动时，r=R，则r=3p0。3、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系（1）由GMmv2GM=m得v=，所以r越大，v越小；r2rr（2）由GMmr2=mw2r得w=GMr3，所以r越大，w越小；（3）由GMm2p4p2r32r得T=)=m(，所以r越大，T越大。r2TGM4、黄金代换式GM=gR2在地球表
8、面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般讨论和计算时，可以认为GMm=mg，且有GM=gR2。对其它行星也适用，不过g是行星表面的重力R2加速度，R是行星的半径，M是行星的质量。例、如图，卫星从远地点B向近地点A运动,则下列说法正确的是（）A.卫星的速度越来越大B.卫星的机械能越来越大C.卫星受到的万有引力越来越大D.卫星与地球连线单位时间扫过的面积越来越大【答案】ACB【解析】卫星从远地点B向近地点A运动，轨道半径变小，因此速度越来越大，A对。卫星与地球组成的系统，只有引力做功，机械能守恒，错。由万有引力公式，万有引力越来越大，C对。由开普勒第二定律知，在相等的时间内扫过相等的
9、面积，D错。故选AC。5、天体质量的几种计算方法（以地球质量M为例）（1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。由Gr得M=Mm4p24p2r3=m。r2TGT2（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r。由GMmv2v2r=m得M=。r2rG（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T。由G)及r=Mm2pvTv3T=mv(得M=。r2T2p2pG（4）若已知地球半径R及表面的重力加速度g。由GMmgR2=mg得M=。R2G【典型例题】类型一、天体质量、密度的计算（“例1、2015江苏卷）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg
10、b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径为约为120，该中心恒星与太阳的质量比A110B1C5D10【答案】B所以M恒=(51)3(地)2=（）3（）2=1。GMmm4p2r4p2r3=【解析】根据，得M=，r2T2GT2Tr1365MrT204日地51【点评】本题考查万有引力和天天运动知识，难度：容易。举一反三【变式1】已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度表达式为_。【答案】r=3g4pGR【解析】由地球表面物体重力近似等于万有引力GMm
11、gR2=mg得M=R2G【答案】（1）A；BC（2）周期T；物体的重力F（3）R=r=3p4MgR23g地球的体积V=pR3地球的密度r=43V4pGRGpR33【变式2】一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材料：A.精确秒表一个B.已知质量为m的物体一个C.弹簧测力计一个D.天平一台（附砝码）已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R和行星密度r。（已知万有引力常量为G）（1）两次测量所选用的器材分别为、（用序号表示）（2）两次测量的物理量分别是、（写出物理量名称和表示的字母）（3）用
12、该数据推出半径R、密度r的表达式：R=，r=。FT24p2mGT2【解析】靠近行星表面运动时，万有引力提供向心力，轨道半径为行星半径RGMm4p2=mR2T2R（1）在行星表面用弹簧测力计测出物体的重力为F，在行星表面物体重力近似等于万有引力GMmR2=F（2）由（1）、（2）得m4p2T2R=FFT2所以R=M=4p2mF3T416p4m3G又GMm4p3p=FM=rR3所以密度r=R23GT23p【总结升华】密度r=是推导出来的，当然具有普遍意义，可以得出结论：当卫星GT2绕行星表面附近（轨道半径等于行星的半径）运行时，行星的密度只与卫星的周期有关，与卫星周期的平方成反比。【变式3】相距甚
13、远的两颗行星A与B的表面附近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星A的周期为T，卫星b绕行星B的周期为T，这两颗行星的密度之比abr:r=_。AB3pr【答案】根据r=可知GT2r类型二、求行星表面的重力加速度A=BT2bT2a（1）根据在行星表面物体重力近似等于万有引力GMmR2=mg（例2、2016北京模拟）如图所示，一个质量均匀分布的星球，绕其中心轴PQ自转，AB与PQ是相互垂直的直径。星球在A点的重力加速度是P点的90%，星球自转的周期为T，万有引力常量为G，则星球的密度为（）A0.3pGT23p10p30pBCDGT23GT2GT2R2【答案】D【解析】因为两极处的万有引力等于重力：
14、G=GMmP，赤道处的向心力等于万有引力与物体在赤道处的重力差：GMmMm4p240p2R3-G90%=mR，解得：M=。R2R2T2GT2则星球的密度：r=M30p=。故选项ABC错，D正确。4pR3GT23故选D。举一反三【变式1】某行星的半径是地球半径的3倍，质量是地球质量的36倍。则该行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（）A4倍B6倍C1/4倍D12倍【答案】A【解析】根据mg=GMmM可知gR2R2=4gMR2361236gMR2139A正确。【解析】M【变式2】据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这
15、个行星表面的重量将变为960N，由此可推知该行星的半径与地球半径之比约为（）A.0.5B.2.C.3.2D.4【答案】B6.4mg9601.6R=求mg6001=?M1RmgMR21.66.4R2=由代入数据解得mgMR211R2RR=2B正确。【：行星的运动与万有引力定律例3】【变式3】1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球的半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为多少?【答案】g=1g400【解析】因为小行星密度与地球相同小行
16、星:r=地球:r=由密度公式r=MMMV44pR3pR33344MR3MMMR3=得出=pR3pR333又根据任何行星表面的重力近似等于万有引力(1)小行星:GMmMm=mg地球:GR2R22gMR=两式相比：(2)2gMR=mg把(1)代入(2)得gR161031=gR6400103400所以，这个小行星表面的重力加速度g=1g400（2）根据在行星表面物体的运动规律求该行星表面的重力加速度例3、在一个半径为R的星球表面，以初速度v竖直上抛一物体，不计其它阻力，上升02h2h2h的最大高度为h，则该星球的第一宇宙速度为_。【答案】v=R0【解析】一物体在行星表面以初速度v做竖直上抛运动，那就
17、根据竖直上抛运动求重力加0速度，第一宇宙速度为v=gR。v2v20由运动学公式或机械能守恒定律h=则g=02g2hv2RR0代入第一宇宙速度公式v=gR=v0【总结升华】物体在星球上做什么运动，与在地球上的运动规律一样，关键是求出星球表面的重力加速度，再代入计算公式。凡是公式中有重力加速度的，就是要求出的物理量，切记不能随意用地球的重力加速度。举一反三【变式1】宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（）A.2RhtB.2RhtC.RhtD.Rh2t【解析】物
18、体在月球上做自由落体运动h=1【答案】B2htg2求得g=2t2飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率就是第一宇宙速度所以v=gR=2hRt2=2hRt地球上：v=gt22【变式2】宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R:R=1：4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附星地近的重力加速度为g，空气阻力不计。则（）Ag:g=5：1Bg:g=5：2CM：M=1：20DM：M=1：80星地星地【答案】D，【解析】竖直上抛到最大高度的时间与落回的
19、时间相对（竖直上抛具有对称性）5t星球上：v=g00因为初速度相同，则g1=g5gMR21M42=又=gMR25M1所以M1=M80D正确。GMm2p=mw2Rw=M=pR3r类型三、与万有引力相关的临界问题【：行星的运动与万有引力定律例4】例4、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测的它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持位于赤道处的物体的稳定，不至因自转而瓦解。（星体可视为均匀球体，引力常量G=6.6710-11Nm2/kg2）【答案】r=1.271014kg【解析】考虑中子是赤道处一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体
20、所需的向心力时，中子星才不会瓦解。设中子星的密度为r，质量为M，半径为R，自转角速度为w，位于赤道处的小块物质质量为m，则有4R2T33p由以上各式得r=代入数据解得GT2r=1.271014kg.【总结升华】因“自转而瓦解”的意思是：万有引力不足以提供星球做匀速圆周运动所需的向心力，就是自转的最大角速度或最小周期。举一反三TP【变式】一个球形天体的自转周期为（s），在它两极处用弹簧秤称得某物体的重力为（N），在赤道处称得该物体的重力为0.9P（N）。则该天体的平均密度为_。【答案】r=30pGT2【解析】设被测物体的质量为m，天体的质量为M,半径为R,因在两极处时物体所受重力等于天体对物体的万有引力，故有F=GMmR2。在赤道上，物体因天体自转而绕天体的自转轴做匀速圆周运动，天体对物体的万有引力和弹簧秤对物体拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律GMmR22p-0.9P=mR()2T40p2R34可以求出天体的质量为M=又天体的体积V=pR3,GT23则天体的密度r=30pGT2