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1、 由数列递推公式求数列通项公式的几种方法摘 要:由数列递推公式求数列通项公式是近年来高考命题的热点之一,所以在教学中一定使学生掌握所给数列递推公式的类型以及相应的解法,提高学生的数学能力。关键词:数列递推公式 数列通项公式数学的抽象推理,能直接反映学生的个性思维品质,区分思维的严谨程度、深刻程度、灵敏程度的差异,从而有效区分学生的学习潜能。逻辑推理能力是数学考查的核心,高考中对逻辑推理能力的考查不断加强,特别是近几年来,对推理能力的考查主要放在数列题中,也是高考命题的热点之一。而该类题的第一问也是解题的入手点,往往是由数列的递推公式直接或间接的去求数列的通项公式,但这类问题的解法也是有规律可循
2、的。一般有以下几种方法:(1)数列递推公式形如a=a+f(n),其中f(n)的前n项的和可求。此类型的数列求通项公式时,常常是相邻两项作差,然后对差式求和,即累加法。这是求数列通项公式的一种重要方法。例1：在数列a中,a1=2,a=a+(1+),求通项公式a。解:a=a+(1+)=a+a-a=(n2)a-a=a-a=a3-a2=a2-a1=以上各式左右两边分别累加得:a-a=()= n当n=1时,a1=a1+1=2符合公式a=a1+n=2+n评注:求此类型数列的关键是f(n)的前n项的和可求,然后通过作差、累加就可解决问题。而此例中f(n)的通项公式为f(n)=(1+),由对数知识可很容易的求
3、出前n项的和,进而求得数列数列a的通项公式。(2)数列递推关系形如a=g(n)a,其中g(n)的前n项的积容易化简,此类型数列求通项公式一般采用累积法。例2:已知数列a中,a1=1,a=(n+1)a,求数列a的通项公式。解:a=(n+1)a,=n+1,=n=3,=2,a1=1。以上各式左右两边分别累乘得:a=n(n-1)(n-2)321当n=1时,a1=1符合公式。a=n(n-1)(n-2)321评注:求此类型数列的关键是g(n)的前n项的积容易化简,然后通过累积方法就可解决问题。而此例中g(n)的通项公式为g(n)=n,利用累积方法进而求得数列数列a的通项公式。(3)数列递推关系形如a=ca
4、+d(c、d为常数,且c1),求通项公式常用构造新数列a+x,其中x=。例3:已知在数列a中,a1=1,a=3a+2,求a的通项。解:c=3,d=2。 x=1。a+1=3(a+1)=3,又a1+1=2,a+1是以2为首项、以3为公比的等比数列。a+1=2,a=2-1。当n=1时,a1=1符合公式。a=2-1。评注:求这种类型的数列的通项公式关键一是要紧扣a=ca+d(c、d为常数,且c1)的类型,二是构造新数列a+x,其中x=。此例中,c=3,d=2,x=1,因此a+1易知为2为首项、以3为公比的等比数列,进而通过求a+x的通项公式来求得a的通项公式。(4)数列递推关系形如a=pa(p、r为常
5、数,且p0,a0),求a的通项是一般采用递推关系两边取对数的方法。例4:已知数列a满足a1=2,a=3a,求a的通项公式。解:a=3a lga=lg3+5lgalg a+=5(lga+)=5lg a+是以5为公比、以lg2+为首项的等比数列。lg a+=(lg2+)5,lg a=(lg2+)5-,a=当n=1时,a1=2符合公式。a的通项公式为a=评注:此种类型题,求a的通项是一般采用递推关系两边取对数的方法。在例4中,p=3,r=4,借助类型(3)的求解过程,易得到=5,进而运用等比数列通项公式可得lg a+=(lg 2+)5,然后将对数式化为指数式得:a=。(5)若a为周期数列,则周期为t
6、(t为正整数)时,a=a,可将a转化为,a1,a2,a来处理。例5:已知数列a满足a=a-a(n2),a1=a,a2=b。设s=a1+a2+a。则下列结论正确的是( )(a)a100=a-b,s100=50b(b)a100=a-b,s100=50a(c)a100=-b,s100=50a(d)a100=-a,s100=b-a解:a=a1-a(n2),a=a1-(a1-a)=a(n4),数列a是以4为周期的周期数列,a100=a254=a4=a1-a2=a-b;又a3=a1-a1=0,s100=a1+a2+a100=25(a1+a2+a3+a4)=50a。所以选b。此种类型题,从表面看上去好象比较难,但只要对下标数字做变换,就能发现其规律性(周期性),如上一题数列a是以4为周期的周期数列,然后只要求出前四项的和问题就解决了。