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1、第8节平面与平面垂直的判定与性质【基础知识】平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.ABAB性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.MNABABMNAB【规律技巧】判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a，a)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【典例讲解】【例1】如图，在四
2、棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：(1)CE平面PAD；(2)平面EFG平面EMN.法二连接CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD，又AFCD，1212所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD.又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义
3、；面面垂直的判定定理(a，a)(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【变式探究】在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF.【针对训练】1、设m,n是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是()A若m/,n,mn，则B若m/,n,mn，则/C若m/,n,m/n，则D若m/,n,m
4、/n，则/【答案】C【解析】此题只要举出反例即可，A,B中由n,mn可得n/,则,可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由n,m/n可得m，则有/,故C正确，D错误.3、如图，棱长为的正方体ABCDABCD中，P为线段AB上的动点，则下列结论错2、已知直线，m与平面，满足l，l/，m，m，则必有（）A且m/B./且C.m/且lmD.且lm【答案】D【解析】因为m，m，所以.因为l,所以l,又因为m,所以lm.11111误的是ADC1DPB平面DAP平面AAP1111CAPD的最大值为900DAPPD的最小值为2112【答案】C4、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，
5、D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F是B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.5、已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过AB1与BC1平行的平面交上底面A1B1C1的边A1C1于点D(1)确定D的位置，并证明你的结论；(2)证明：平面AB1D平面AA1D6、关于直线a，b，l及平面，下列命题中正
6、确的是()A若a，b，则abB若a，ba，则bC若a，b，且la，lb，则lD若a，a，则答案D7、已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn答案A解析mm或mmn，故A正确；n如图(1)，m，n满足n，但mn，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m，n，知D错8、设a、b为两条直线，、为两个平面，下列四个命题中真命题是()A若a、b与所成角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab【答案D9、如图，在三棱锥VC中，平面V平面C，V为等边三角形，CC且CC2，
7、分别为，V的中点（I）求证：V/平面C；（II）求证：平面C平面V；（III）求三棱锥VC的体积【解析】（）因为O,M分别为，V的中点，所以OM/VB.又因为VB平面C，所以VB/平面C.（）因为ACBC，O为的中点，所以OCAB.又因为平面V平面C，且OC平面C，所以OC平面V.所以平面C平面V.10、如图4，直三棱柱ABCABC的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC111的中点。（I）证明：平面AEF平面BBCC；11（II）若直线AC与平面AABB所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积。1111【解析】（I）如图，因为三棱柱ABCABC是直三棱柱，111所以AEBB，又E是正
8、三角形ABC的边BC的中点，1所以AEBC，因此AE平面BBCC，而AE平面AEF，11所以平面AEF平面BBCC。11【练习巩固】1.如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以选C.答案C2.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC9
9、0，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上C直线AC上B直线BC上DABC内部解析由BC1AC，又BAAC，则AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上答案A3如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是()A点H是1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45答案D4、如图，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其
10、中正确结论的序号是_5如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)6设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用代号表示)答案()7如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AC2BC，D是棱AA1的中点，CDB1D.V2(1)证明：CDB1C1；(2)平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比(2)解由(1)知B1C1CD，且B1C1C1C，C1CCDC，则B1C1平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，1则V1VB1CDA1C13S梯形CDA1C1B1C11311132B1C32B1C3.1V总VABCA1B1C12ACBCCC1B1C31，1V2V总V12B1C31V1，V故111.