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1、10N简记作lgN.以e（e是一个无理数，e=2.7182）对数及对数运算【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明5能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果ab=N(a0，且a1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a0且a1，N0，bR.2.对数logN
2、(a0，且a1)具有下列性质：a(1)0和负数没有对数，即N0；(2)1的对数为0，即log1=0；a(3)底的对数等于1，即loga=1.a3两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，log为底的对数叫做自然对数，logN简记作lnN.e4对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.要点二、对数的运算法则，已知logMlogN(a0且a1，M、N0)aa(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；log(MN)=logM+logNaaa推
3、广：log(NNN)=logN+logN+logNa12ka1a2ak(N、N、N12k0)(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；logaMN=logM-logNaa(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；logMa=alogMaa要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是logaM=.不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积
4、、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，logMaNlogNa要点三、对数公式1对数恒等式：ab=NalogaN=NlogaN=b2换底公式，同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a1M0的前提下有:(1)logM=logaanMn(nR)令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即(an)b=Mn，即b=loganMn，即:logaM=logMn.(2)logM=(c0,c1)，令logM=b，则有ab=M，则有logab=logM(c0,c1)logalogalogalogaanlogMc
5、aaccclogMlogM即bloga=logM，即b=c，即logM=c(c0,c1)ccacc当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:logb=1(a0,a1,b0,b1).ab【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：x=3；(4)53=125；(5)2-1=；(6)=9.(1)log16=4；(2)log27=-3；(3)log213【解析】运用对数的定义进行互化.311-223(3)=x；(4)log125=3；(5)log(1)24=16；(2)=27；(3)=-
6、1；(6)log9=-2.3221-331513【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)logx=-1612(2)log8=6(3)lg1000=x(4)-2lne2=xx1【答案】（1）；（2）2；（3）3；（4）-44【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.(1)x=(16)-12)2=(42-1=412(-)2=4-1=14；1111(2)x6=8，所以x=(x6)6=(8)6=(23)6=22=2；(4)由-2lne=x，得-=lne2，即e2=e2(3)10
7、x=1000=103，于是x=3；x22-x所以x=-4.【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：log4;log8;log32并比较222【答案】235【解析】log4=log22=2;22log8=log23=3;22log32=log25=522类型二、利用对数恒等式化简求值例2求值：71+log75【答案】35【解析】71+log75=77log75=75=35.【总结升华】对数恒等式alogaN=N中要注意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数.举一反三：【变式1】求alogablogbclogcN的值(a，b，cR+，且不等于1，N0)【答案】N【解
8、析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.alogablogbclogcN=(alogab)logbclogcN=(blogbc)logcN=clogcN=N.类型三、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068例3】例3.用logx,logy,logz表示下列各式aaazayz(1)logaxyx;(2)log(x3y5);(3)loga;(4)logax2y3z【解析】（1）logaxyz=logx+logy-logz；aaa（2）log(x3y5)=logx3+logy5=3logx+5logy；aaaaayz2（3）logax1=logx-log(yz)=logx-l
9、ogy-logz；aaaaa23（4）logax2y3z=loga(x2y)-loga311z=2logx+logy-logzaaa【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算举一反三：【变式1】求值(1)2log25+3log64-8log1(2)lg2lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2lg50+(lg2)25210【答案】（1）22；（2）1；（3）2【解析】(1)2log25+3log64-8log15210=2l
10、og52+3log26-80=4+18-0=22.52(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】（1）已知2x=5y=10，则x+yxy=故56=23+ab，又12=34=2a4=2a+2，从而56=2()=122+a故log56=log12=3+ab2+a（2）已知log3=a,3b=7，求log562123+ab【答案】（1
11、）1；（2）2+a【解析】（1）2x=5y=10，x=log10，y=log10，25x+y11=+=lg5+lg2=lg10=1xyyx故答案为：1log3=a，2a=3，又3b=7，故7=(2a)b=2ab（2）2a+23+ab2+a1212类型四、换底公式的运用例4.已知log9=a,18b=5，求log451836a+b【答案】2-a【解析】3+ab3+ab2+a，log362log18-log92-a9lg362lg18-lg92lg18-alg182-a解法一：log9=a,18b=5，log5=b，1818log45log(95)log9+log5a+ba+b18181818于是
12、log45=18=36log36log(182)1+log22-a1818181+log189解法二：log9=a,18b=5，log5=b，1818log45log(95)log9+log5a+b181818于是log45=18=.3618log181818解法三：log9=a,18b=5，lg9=alg18,lg5=blg18，18lg45lg(95)lg9+lg5alg18+blg18a+blog45=36lg9解法四：log9=a，18a=9.18又18b=5,45=59=18b18a=18a+b令log45=x，则36x=45=18a+b，361818182即36x=()x=18a+
13、b,()x=18a+b,339xlog181829=a+b.a+ba+bx=log182-log92-a1818【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式（3）解决这类问题要注意隐含条件“loga=1”的灵活运用a举一反三：【变式1】求值：(1)(log3+log3)(log2+log2)；(2)log9log483985103【答案】（1）；（2）；（3）4925【解析】(1)(log3+log3)(log2+log2)483927132；(3)92-log35
14、.log8log9232624=(；log32log42log3log232+)(log2+)=(323log3log3log2535322+)(log2+)=log3log2=323(2)log9log82732=lg9lg322lg35lg210=；lg8lg273lg23lg392(-log35)25=3log331(3)法一：92-log35=312=31-log325=3252=1法二：92-log35=91-log9251929log925=325.259类型五、对数运算法则的应用例5.（2016春安徽桐城市月考）11（1）计算：()0.5+9-2-log32+1223-p0+lo
15、g3log4229（2）lg14-2lg73+lg7-lg18（3）log2(log232+log1+log436)342（4）若logx=log(x+2)，求x的值24【思路点拨】（1）（2）（3）利用指数与对数的运算法则即可得出；（4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出【答案】（1）3；（2）0；（3）3；（4）2511lg32lg2【解析】（1）原式=()20.5+32-log25+233-1+322lg22lg312(-)251=+-5+6-1+1=333（2）原式=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(322)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg
16、3-lg2=0+log262)=log2(5-log2+log26)=log28=3（3）原式=log2(5+log2-123344lgx（4）logx=log(x+2)，24lg(x+2)=，lg2lg4lgxlg(x+2)=lg22lg21lg711111lg7log7211x2=x+2，解得x=1或x=2，x0，x=2举一反三：【变式1】求值：7lg2()102【答案】2111【解析】7lg2()10=7log710()lg7-1=(7log72)log710()log710()-1=(2)log7102=2.2222277另解：设7lg2()lg10=m(m0).lg7lg2+lg()
17、lg10=lgm，2271lg2lg7+lglg=lgm，lg2lg7+(lg7-1)(-lg2)=lgm，1021lg7lg2=lgm，2=m，即7lg2()10=2.2a例6设函数f(x)=lg(ax)lgx2（1）当a=0.1，求f（1000）的值（2）若f（10）=10，求a的值；（【思路点拨】1）当a=0.1时，f(x)=lg(0.1x)lg110x2，把x=1000代入可求（2）由f(10)=lg(10a)lga100=(1+lga)(lga-2)=lg2a-lga-2=10，可求lga，进而可求a【答案】（1）14；（2）a=104或a=10-3【解析】（1）当a=0.1时，f(
18、x)=lg(0.1x)lg110x2f(1000)=lg100lg1107=2(-7)=-14a（2）f(10)=lg(10a)lg=(1+lga)(lga-2)=lg2a-lga-2=10100lg2a-lga-12=0(lga-4)(lga+3)=0lga=4或lga=-3a=104或a=10-3举一反三：【变式1】若a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根，求lg(ab)(logb+loga)的值ab【答案】12【解析】原方程可化为2(lgx)2-4lgx+1=0，设lgx=t，则原方程化为22t2-4t+1=0t+t=2,tt=11212由已知a,b是原方程的两个根，则t=lga,t=lgb，即lga+lgb=2,lgalgb=1212，lg(ab)(logb+loga)=(lga+lgb)+lgalgblgblgaab(lga+lgb)(lgb)2+(lga)2=lgalgb=(lga+lgb)(lgb+lga)2-2lgalgblgalgb=222-2112=122即lg(ab)(logb+loga)=12ab