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1、三角函数图象综合问题选解关于三角函数的性质、最值、周期性、单调性、奇偶性、对称性问题都与三 角函数的图象有关，因此，迅速、熟练、准确地作出三角函数图象成为解题的关 键步骤，所以说，三角函数的综合问题，实质上就是三角函数的图象问题.下面 选解分析几例.A=2.4如图为函数y =f(x)=Asin( x+ )的一个周期的图象.写出y = f (x)的解析式；于直线x =2对称；求作y = f (x) + g(x)的图象.写y = g(x)的解析式，使得f (x)与g(x)的图象关解：由图知T= 5 3 = 2,所以周期T=8, 4. y =2sin(x+ ),4从图象可知，点(3, 0)是五个关键
2、点中的第三个关键点,一 3 +4- y =2sin(x+ 一).44设(x, y)是y = g(x)的图象上任一点，此点关于x = 2的对称点为(4-x, y)在 y =f(x)的图象上，即 y = 2sin (4 x)+整fy44理得：y =2sin( x).这就是所要求的y = g( x)的表达式. y = f (x) + g(x)=2sin(x+ )+ 2sin(x).=2?2$的4乂.(图象如右图).s(cm)例2已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离随时问t(s)的变化规律为s = 4sin(2t+ -), t 0, + ).用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并
3、回答下列问题：小球在开始振动(t = 0)时，离开平衡位置的位移是多少？小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少?经过多少时间，小球往返振动一次?解：作图的步骤如下:因为t1 =/3222T=5=所以 t2 = 11H=1=464 12t3 = t2 + =元+ ： = W，t4 = t3 + 7 4 124 34=+3_7_4- 12 t5=t4 + T4=12 + 4= 6列表求值2t十 一 302322t6123712564sin(2t+ -)040一 40描点连线，得s = 4sin(2t+ )在一个周期内的简图.如图所示.3由于t的实际意义是时间，即tR,所以，把
4、区间,0上的一段曲线用6虚线画出.上图中用实线表示的部分，才是实践中s = 4sin(2t+ -),在一个周期3内的简图.问题的回答如下：将 t = 0 代入 s =4sin(2t+ ),得 s = 4sin=23 =3. 46(cm),即小球开始振动时的位移是2 3 cm.并由图知这段位移是在平衡位置的上方.由图知，小球上升到最高点、下降到最低点时，离开平衡位置的位移都是4cm. . 2由于这个函数的周期T=-=,所以小球往复振动一次所需要的时间为2=3. 14s,反映在图象上，正弦型曲线在每一个长度为的区间上，都要完整的重复变化一次.评析：在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦函数y
5、=Asin( x+ ) 来表示振动的位移y随时间x的变化规律.例 3 已知函数 f (x) =4sin2 x + Jcos2 x + 1 .讨论函数的奇偶性；判断函数的最小正周期，并(用反证法)证明你的结论;求函数的单调区间；作出函数在0, 2 内的图象.解：f (x) = |sinx|+ |cosx|+ 1,定义域为 R.(l)v f( x) = f (x) , . f (x)为偶函数. f(x -)=|sin(x+ -)|+ |cos(x+ -)|=f(x), - =-.假设f(x)的最小正周期为T,且0TT)| 十 |cos(x+ T)|=|sinx|十 |cosx 忖 x R 恒成立令
6、 x = 0,得 |sinT|十|cosT|=1.-0T , . sinT + cosT=1 ( sinT +cosT)2 =1sin2T=0 与 T (0, 万)矛盾，；f (x)的最小正周期T=.当 x 0,万时，f(x)=2sin(x+-) + 1,.当x 0,时，f(x)单调递增；当x -,一时，f(x)单调递减. 442kkk故f(x)的递增区间是一，+ -,而递减区间+ -, 22424”-(k Z);图象如图所示.评析：从图象中可以直观地分析出函数的单调区间、 最小正周期、奇偶性等 结论，并可以对照验证前面的结论.例 4 方程 sinx+ J3 cosx = m在0,上有两个解，求实数m的取值范围.解：方程可化为m= sin(x+),根据此方程对应23的图象可知,y尸sin(x+ ), y2 =在同一坐标系中有两个不同的交点，满足 立工1,即V3&m2为所求. 22评析：对于简单的三角方程，可以通过三角函数图象把问题简化.