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1、三角形的证明第3页共20页【知识点一：全等三角形的判定与性质】1 .判定和性质一般二角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS具备一般二角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2 .证题的思路：找夹角（SAS）已知两边找直角（HL ）找第三边（SSS）若边为角的对边，则找任意角（AAS ）找已知角的另一边（ SAS）已知一边一角边为角的邻边 找已知边的对角（ AAS ）找夹已知边的另一角（ ASA）已知两角找两角的夹边（ ASA） 找任意一边（AAS ）【典型例题】1 .用直尺和
2、圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明/ AOC=/ BOC的依据是（）dTA. SSSB. ASAC. AASD.角平分线上的点到角两边距离相等（2 .下列说法中，正确的是（）0 WSA.两腰对应相等的两个等腰三角形全等B.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等D.面积相等的两个三角形全等3 .如图， ABCAADE,若/ B=80, /C = 30, /DAC=35,则/ EAC的度数为（）rjXv.A. 40。B. 35。C. 30。D. 25。*E4 .已知：如图，在 MPN中，H是高MQ和NR的交点，且 MQ = NQ.求证：HN=PM.5
3、 .用三角板可按下面方法画角平分线：在已知/AOB的两边上，分别取 OM = ON (如图57),再分别过点 M、N作OA、OB的垂线，交点为 P,画射线OP,则OP平分/ AOB,请你说出其中的道理. EDB 9 EDC ,则/ C的度数为A. 15B. 20C, 253 .如图，已知 ABC的六个兀素，则下面甲cbA.甲和乙B.乙和丙4 .如图 49,已知 AABC AABC, AD、(1)请证明 AD = AD;(2)把上述结论用文字叙述出来；(3)你还能得出其他类似的结论吗？D . 30/ (7、乙、丙二个三角形中，和ABC全等的图形是 ()4 八 A 11AC.只有乙D,只有丙/AD
4、分别是AABC和MBC的角平分线.zR犷D，Cf2.如图，在 ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若 ADB0 支图57【巩固练习】1 .下列说法正确的是()A. 一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D. 一边长相等的两等腰直角三角形全等5.如图410,在 ABC中，/ ACB = 90, AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF, E、F为垂足.（1）当直线l不与底边 AB相交时，求证：EF = AE+BF.EF、 AE、（2）如图411,将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D,请你
5、探究直线l在如下位置时,BF之间的关系. ADBD; AD = BD; ADvBD.图 4-11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形 三线合一 ”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合; 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等.【典型例题】1 .等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（）A. 12B. 15C. 12 或 15D . 182 .等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（）A . 80 B . 80
6、 或 20 C . 80 或 50 D . 203.已知 ABC中，AB = AC=x, BC=6,则腰长x的取值范围是（）A. 0v xv 3B. x 34.如图，/ MON =43 ,点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使 AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个5.如图，在 ABC中，BO 平分/ ABC , CO平分/ ACB , DE过。且平行于BC ,已知 ADE的周长为10cm, BC的长为5cm,求 ABC的周长.【巩固练习】6、如下图，在 ABC中，/ B=90, M是AC上任意一点（M与A不重合）MD LBC,交/ A
7、BC的平分线于点 D,求证：MD = MA./DCF =110 且 AE=AF ,则/A 等于1 .如图，已知直线AB / CD ,A. 30B. 40C, 50D. 702.下列说法错误的是（）A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D.两个等边三角形全等D . 9)3.如图，是一个5X5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1 .点A和点B在小正方形的顶点上.点C也在小正方形的顶点上.若 ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A. 6B. 7C. 84.如图，在 ABC中，/ ABC和/ ACB
8、的 平分线交于点E ,过点E作MN / BC交AB于M ,交AC于N ,若BM +CN =9 ,则线段MN的长为（）第25页共20页5 .如图：E在 ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，作DG / AC交BC于G.求证：(1) GDFCEF;(2) ABC 是等腰三角形.DE 交 BC 于点 F , DF =EF , BD = CE ,过 DAl3 GA. 6B. 7C. 8D . 9【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于 60。的等腰三角形是等边三角形;三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都是60的三角形是等边三角形;有两个叫是60的三角形是等边三角形.性质：等边三
9、角形的三边相等，三个角都是60.【典型例题】1 .下列说法中不正确的是(A.有一腰长相等的两个等腰三角形全等B.有一边对应相等的两个等边三角形全等C.斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等2.如图，在等边 ABC中，/ BAD =20 , AE=AD ,贝U / CDE的度数是(A. 10B. 12.5C. 153、如右图，已知 ABC和4BDE都是等边三角形，求证： AE=CD.【变式练习】)1.下列命题：两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；一条线段可以
10、看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.其中错误的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 如图，AC=CD=DA = BC = DE .贝U / BAE 是 / BAC 的(A. 4倍B. 3倍C. 2倍D. 1倍3 .如图，等边 ABC的周长是9, D是AC边上的中点，E在BC的延长线上.若DE =DB ,则CE的长为4 .如图，等边 ABC中，点D、E分别为BC、CA上的 两点，且BD=CE,连接AD、BE交于F点，贝U / FAE + / AEF的度数A. 60B. 110C. 1205.如图，已知：Z MON =30 ,点Ai、A2、A3在射线 ON上，点Bi、B2、B3在射线
11、OM 上，A1B1A2、4A2B2A3、 A3B3A4均为等边三角形，若OAi=1 ,则4A6B6A7的边长为（A. 6B. 12C. 32D . 4个4 %儿D. 1356 .如图，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN, AM、BN交于点Q.(1)求证：/ BQM =60 ;（2）如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1 ）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，说明理由.B vC角形ABC和正三角形CDE ,7 .如图，C为线段BD上一点（不与点B, D重合），在BD同侧分别作正AD与BE交于一点F , AD与CE交于点H , BE与
12、AC交于点G.（1）求证：BE=AD;（2）求 / AFG 的度数；（3）求证：CG=CH.【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.【基础练习】1、否定 自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A. a、b、c都是奇数B. a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. a、b、c都是偶数D. a、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题 主角形的内角中至少有一个不大于60。时，反证假设正确的是（）A.假设三内角都不大于 60B.假设三内角都大于 60C.假设三内角
13、至多有一个大于 60。D.假设三内角至多有两个大于 60。3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 逆命题.互逆定理，其中一个定理称为如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个
14、定理，这两个定理称为 另一个定理的 逆定理.【典型例题】1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0,那么a=0, b=0;（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等3.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为（）A. 7B. 6C. 54.如图，矩形纸片ABCD中，AB =4 , AD =3 ,折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG ,则AG的长为（）A. 1B. 4
15、 C. 3 D. 2325.如图，在 ABC中，/ C=90 , / B=30 , AD 是/ BAC 的平分线，若CD =2 ,那么BD等于（）A. 6B. 4C. 3D. 26 .如图，在4X4正方形网格中，以格点为顶点的 ABC的面积等于3,则点A到边BC的距离为（）A. 33B. 2近C. 4D . 3AE,并延长7 .如图， ACB和 ECD都是等腰直角三角形，A, C, D三点在同一直线上，连接BD,AE交BD于F.（1）求证： ACE 9 BCD ;（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论.8 .如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个 ABC , ABC
16、的三个顶点均与小正方形的顶点重合.(1)在图中画 BCD ,使 BCD的面积= ABC的面积(点D在小正方形的顶点上)(2)请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长.9 .如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处；(1)求证：BE = BF ;(2)设AE = a, AB = b, BF =c,试猜想a , b , c之间的一种关系，并给予证明.【变式练习】利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是(A.已知斜边和一锐角B.已知一直角边和一锐角C.已知斜边和一直角边D.已知两个锐角10 在 Rt ABC 中，/ C=90 , AC =9
17、 , BC=12 ,则点 C 至 U AB 的距离是(A.36512B.253.3D .43.如图是一 直角三角形， 的面积是株美丽的勾股树其中所有的四边形都是正方形，所有的三角若正方形A、B、C、D的面积分别为2, 5, 1, 2,则最大的形都是正方形E11 已知 Rt ABC 中，/ C=90 ,且 BC= 1AB ,则 / A 等于(2A. 30B. 45C. 60D.不能确定m M、D分别为AB、MB的中点.3/ D12 已知：如图，在 4ABC 中，/A=30, Z ACB =90求证：CD AB .13 如图，在5 X5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1 , / BCD是不是直
18、角？请说明理由.14 正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)在图1中，画4ABC ,使4ABC的三边长分别为3、2衣、J5 ;(2)在图2中，画ADEF,使 DEF为钝角三角形且面积为2.【提高练习】1 .如图.矩形纸片ABCD中，已知AD =8 ,折叠纸片使AB边与对角线ACB落在点F处，折痕为AE ,且EF =3 .则AB的长为()A. 3B. 4C. 5重合，点2.如图，直线l上有三个正方形a, b, c,若a, c的面积分别为5和11 ,则b的面积为(A. 4B. 6C. 16n23453.张老师在一次 探究性学习”课中
19、，设计了如下数表：(1)请你分别观察a, b, c与n之间的关系，并用含自然数n (n 1)的代数式表示：a =, b=, c =;(2)猜想：以a, b, c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.4.如图，AC = BC=10cm, /B=15, AD BCA. 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 6 cma22 132 142 152 1b46810c22 + 132+142+152+15 .如图，在 ABC中，/ C=90 , / B=15 , AB的垂直平分线交AB于E ,交BC于 D , BD=8 ,则AC =6 .图1、图2分别是10 X8的网格，网格中每个小正方
20、形的边长均为1 , A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C (点C必须在小正方形的顶点上)，使 以A、B、C为顶点的三角形分别满 足以下要求：(1)在图1中画一个 ABC ,使 ABC为面积为5的直角三角形；(2)在图2中画一个 ABC ,使 ABC为钝角等腰三角形.7 .已知，如图， ABC为等边三角形，AE = CD, AD、BE相交于点P.(1)求证： AEB 9 CDA ;(2)求/ BPQ的度数；(3)若 BQ，AD 于 Q,PQ =6 , PE=2 ,求 BE 的长.【知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定
21、理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】1 .如图，在 Rt ABC中，/ C=90 , / B=30 . AB的垂直平分线A. AE=BEB. AC=BEC. CE=DE2.如图，在 ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1AB2的长为半径画弧两弧相交于点M, N,作直线MN ,交BC于周长为（A. 7若4ADC的周长为10 , AB =7 ,则 ABC的B. 14C. 17DE交AB于点D ,交BC于点E ,则下列结论不正确的是（3.A.条中线的交点B.三边垂直平分线的交点C.条高的交点D.三
22、条角平分线的交点4.如图，有A、B、C个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（A.在AC, BC两边高线的交点处B.在AC , BC两边中线的交点处C.在AC, BC两边垂直平分线的交点处D.在/A, Z B两内角平分线的交点处5.如图，AD为/ BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M ,交AC于N ,试说明MD / AC .6 .如图所示， ABC中，AB = AC , / BAC=120 , AC的垂直平分线EF交AC于点E,交 BC于点F.求证：BF=2C
23、F.7 .如图 所示，在 RtA ABC 中，/ ACB =90 , AC = BC , D为BC边上的 中点，CE，AD于点 E, BF / AC交CE的延长线于点F ,求证：AB垂直平分DF .【变式练习】1 .如图，在 Rt ABC中，/ B=90 , ED是 AC的 垂直平 分线，交AC于点D ,交BC于点E .已知/ BAE =10 ,则/ C的度数为（）A. 30B. 40C. 50D, 602.如图，在 ABC中，已知AC =29 , AB的垂直平分线交 AB于点D ,交AC于点E . BCE的周长等于50 ,则BC的长为（）A. 2lB. 22C. 23D . 243 .如图，
24、在 ABC中，DE垂直平分AB , FG 垂直平分 AC ,BC=13 cm,则AEG的周长为(A. 6.5 cmB. 13cmC. 26 cm4 .已知：如图， ABC的/ A / ABC ,边BC的垂直平分线DE分别交AC , BC于D,E,则AD +BD与BC的关系是(A.大于B.小于C.等于D5E5 .如图，A、B表示两个仓库，要在A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？你能画图说明吗？6 .如图，在 ABC 中，AB = AC , D是AB的中点，且 DE，AB , BCE的周长为8 cm,且 AC - BC =2 cm ,求AB、BC的长.【
25、提高练习】1 .如图，在 ABC中，DE垂直平分AB ,分另I交 AB、BC于D、E点.MN垂直平分AC ,分另交AC、BC于M、N点.(1)若/ BAC =100 ,求 / EAN 的度数；(2)若/ BAC =70 ,求 / EAN 的度数；(3)若/ BAC = a(aW90),直接写出用a表示/ EAN大小的代数式.2.如图2,点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，A. 50B. 65C. 55D. 703.如图3,在 ABC中，AB=a, AC = b, BC边上 的垂直平分线DEBC、BA分别于点D、E,则 AEC的周长等于（C. 2a+bD . a+2b4.如图有一块直角角
26、形纸片，/ ACB =90 ,两直角边AC =4 ,BC=8 ,线段DE垂直平分斜边AB ,则CD等于（A. 2B. 2.5C. 35.如图，/ ABC =50 ,AD垂直平分线段BC于点D, / ABC的平分线交AD于E,连接EC ;则/ AEC等于（A. 100B. 105C. 115D . 120交D3DPD，OA 于点 D ,)C. 5【知识点七：角平分线】角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】1 .如图，/ POA = / POB
27、 ,OD=12 , PD=5 ,贝U PE=(A. 13B. 122.三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A.三条中线交点B.三条角平分线交点C.三条高线交点D.三条高线所在直线的交点3.如图，Rt ABC中，/ C=90 , / ABC的 平分线BD交 AC于D ,若CD =3cm,则点D到AB的距离DE是（）A . 5 cmB. 4 cmC. 3 cmD . 2 cm4.如图，OP平分/ AOB , PA OA , PB OB ,垂足分别为 A ,下列结论中不一定成立的是（）A. PA=PBB. PO 平分/APBC . OA = OBD . AB 垂直平分 OP5.
28、如图，直线a、b、c,表示三条相互交叉的公路，现拟建一个 货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的 地址有（）B.四处D .无数处A.C.七处6.求作一点P,使PC = PD ,且点P至！J AC , AB的距离相等.（要求保留作图痕迹，不必写出作法）7.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）.设计了如下方案：（I）Z AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相 同的刻度与M、N重合，即PM = PN ,过角尺顶点P的射线OP就是/ AOB的平分线.（n ） / AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM =ON ,
29、将角尺的直角顶点P介于射线OA、 OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM =PN ,过角尺顶点P的射线OP就是/ AOB 的平分线.（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（I ） PM =PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM，OA , PN，OB .此方案是否可行？请 说明理由.8 .如图，AD为 ABC的角平分线，DE，AB, DF，AC ,垂足分别为E, F ,连接EF , EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论.9 .如图， ABC中，。是BC的中点，D是/ BAC 平分线上的一点，且DO
30、，BC ,过点D分别作 DM，AB于 M , DN，AC 于 N .求证：BM =CN .【变式练习】1 .如图，OP平分/ MON , PA，ON于点A,点 Q是射线 OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 42 .如图所示，点E是/ AOB的平分线上一点，EC OA , ED OB ,垂足分别是 C、D ,若 OE=4, /AOB =60,则 DE =.点P到直线li, 12的距离相等.(要求保留作图痕迹，不必写出作法)3 .如图，利用尺规求作所有点P,使点P同时满足下列两个条件：点P到A, B两点的距离相等；4 .已知：如图所示， ABC中，/ C
31、=90 , AD是/ BAC的平分线，DE，AB于E, F在 AC上，BD =DF .求证：CF=EB.5 .已知：如图，/ B= / C=90 , M是BC的中点，DM 平分/ ADC .(1)若连接AM ,则AM是否平分/ BAD ?请你证明你的结论；(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.【提高练习】1 .如图，/ AOB =30 , OP 平分/ AOB ,PC=6，那么PD等于（）A. 4B. 3C. 2PC / OB , PD OB ,2 .如图，在 ABC中，/ C=90 , / B=30 ,以A为圆心，任意长为半 径画弧 分别交AB、AC于点M和一八，一,1一什什、
32、N,再分别以M、N为圆心，大于一MN的长为半径回弧，两弧交于点P ,连结AP并延长交BC于点D ,2则下列说法中正确的个数是（）AD是/ BAC的平分线；/ ADC =60 ;点D在AB的中垂线上；Smac: Saabc=1 : 3.A. 1B. 2C. 3D . 43.如图，锐角三角形ABC中，BC AB AC ,小靖依下列方法作图：（1）作/ A的角平分线交BC于D点.（2）作AD的中垂线交AC于E点.(3)连接DE .根据他画的图形，判断下列关系何者正确？（A. DE ACB. DE / ABC. CD = DED . CD = BD4 .如下图左，在矩形ABCD中，点P在AB上，且PC平分/ ACB .若 PB=3 , AC =10 ,则 PAC的面积5.已知：如上图右，AB / CD ,。为/ BAC、/ ACD的平分线的交点，OE，AC于点E ,若两平行线间的距离为6,则OE = 6. 2011年4月21日是重庆一中80周年校庆日，学校准备进一步美化校园，在校内一块四边形草坪内 栽上一棵银杏树如图，要求银杏树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且P到点A、D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P （不写作法，保留作图痕迹）.