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1、大学生数学竞赛(高等数学)第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限.解 因为（2分）；原式(2分)；(2分)2.证明广义积分不是绝对收敛的解 记，只要证明发散即可。（2分）因为。（2分）而发散，故由比较判别法发散。（2分）3.设函数由确定，求的极值。解 方程两边对求导，得 （1分）故，令，得或（2分）将代入所给方程得，将代入所给方程得，（2分）又，故为极大值，为极小值。（3分） 4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。解 设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为（2分）；令，由切
2、线方程得切线与轴交点的横坐标为。从而作图可知，所求平面图形的面积，故A点的坐标为。（4分）二、（满分12）计算定积分解 （4分） （2分）（4分） （2分）三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且。证明 ：级数收敛。解 由于在处可导必连续，由得 （2分） （2分）由洛必塔法则及定义 （3分）所以 （2分）由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛。（3分）四、（满分12分）设，证明解 因为，所以在上严格单调增，从而有反函数（2分）。设是的反函数，则 （3分）又，则，所以（3分） （2分）五、（满分14分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求
3、该最小值。解 记围成的立体为V，由高斯公式 （3分）为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域，即取 ，曲面 （3分） 为求最小值，作变换，则，从而 （4分）使用球坐标计算，得 （4分）六、（满分14分）设，其中为常数，曲线C为椭圆，取正向。求极限解 作变换（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法），曲线C变为平面上的椭圆（实现了简化积分曲线），也是取正向 （2分）而且（被积表达式没变，同样简单！）， （2分）曲线参数化，则有， （3分）令，则由于，从而。因此当时或时（2分） 而 （3分） 。故所求极限为 （2分）七（满分14分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。解 （1）记因为充分大时 （3分）所以，而收敛，故收敛（2分）（2）记 ，则= （2分）= （2分）= （2分）因为，所以，从而，故。因此。（也可由此用定义推知级数的收敛性）（3分）7