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1、第6讲抛物线04. 限时规范训练阶梯训练能力提升3A级 基础演练（时间：30分钟 满分：55分）、选择题（每小题5分，共20分）（2011 辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A, B是该抛物线上的两点，| AF + | BF =3,则线段AB的中点到y轴的距离为)3A.4B.7D.4解析设 A(xiyi)B(x2,y2),由抛物线的定义，知 |AF + |BF=x1+x2+E=3, p答案2.5 x1+x2 = 2,AB的中点的横坐标为Xi + X2 54,（2013 东北三校联考）若抛物线y2= 2px（ p0）上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为B. 18C.
2、2 或 18D. 4 或 16px0+2=10,解析设P( xo, yo),则|y0| = 6,k y0= 2pxo,3.36=2pjop j 即 p2-20p+36=0,解得 p=2 或答案 C18.（2011 全国）已知抛物线 C： y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A, B两点，则cos / AFB=4A.53B.53C一54D- -5解析y2= 4x|y= 2x-4,得 x2-5x + 4=0x= 1 或 x=4.不妨设 A(4,4) , R1 , 2),则 I FA|=5, I 南=2Fa- Fb=(3,4) (ofA- fb -8-2)=-8, . cos Z AFB=
3、|FA| fb 545.故选口.答案 D2222.若抛物线 G ： x = 2py( p0)4.（2012 山东）已知双曲线 C：, 看=1（20, b0）的离心率为的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2,则抛物线G的方程为()A x22C. x = 8y2D. x = 16y解析=1的离心率为2,，=2, ac2 a2+b：021=、/3. x2= 2py的焦点坐标为a p ；.b2=1的渐近线方程为by= 土 -x ap2即y = J3x.由题意，得j 尸A/1+ V3=2,p= 8.故 C2： x2 = 16y,选 D.答案 D二、填空题（每小题5分，共10分）5. （2013 巫溪模拟）设
4、斜率为1的直线l过抛物线2y=ax（a0）的焦点F,且和y轴交于点A若 OAFO为坐标原点）的面积为8,则a的值为解析依题意，有Fa，0 ；：,直线为y=xa，所以ao,-a |- OA曲面积为a=8.解得a= 16,依题意，只能取 a= 16.答案 166. （2012 陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽解析 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2 = - 2py.由题意 A（2 , - 2）代入 x2= 2py,得 p =1,故 x2= 2y.设 B（x, -3）,代入 x2=- 2y 中， 得x=46,故水面宽为2乖米.27.
5、(12 分)已知抛物线 C： y =2px(p0)过点 A(1 , 2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OAO为坐标原点)的直线1,使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与1的距离等于 专?若存在，求出直线1的方程；若不存在，说明理由.解 将(1 , 2)代入 y2=2px,彳#( -2)2=2p - 1,所以p=2.故所求的抛物线 C的方程为y2 = 4x,其准线方程为x=- 1.(2)假设存在符合题意的直线1 ,其方程为y=-2x+t ,y=-2x+1,2由2得 y+2y 2t = 0.y =4x因为直线1与抛物线c有公共点， ,一 1所以 A =4+ 8
6、t 0,解得 t 2.另一方面，由直线 02 1的距离d11|1可得丫=二，解得t = 1.55;11 1、因为一1?| 2, +0 !； 1 |-2, +8 I,所以符合题意的直线1存在，其方程为 2x+y-1=0.2238. (13分)(2012 温州十校联考)已知椭圆，y2=1(ab0)的离心率为 手，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+ 2相切.(1)求a与b;(2)设该椭圆的左、右焦点分别为Fi, F2,直线1 1过F2且与x轴垂直，动直线1 2与y轴垂直，12交11于点P.求线段PF的垂直平分线与12的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型.解 由e=c=、/11| =坐，
7、得b=6 aaa又由原点到直线y = x+2的距离等于椭圆短半轴的长，得b= 则a=73.(2)法一 由 c=-a2 b =1,得 Fi( 1,0) , F2(1,0).设 Mx, y),则 R1 , y).由|MF| = |MP,得(x+1)2+y2=(x1)2,即y2=4x,所以所求的 M的轨迹方程为y2 =-4x,该曲线为抛物线.法二 因为点M在线段PF的垂直平分线上，所以|MF|=|MP,即M到Fi的距离等于 M2到l i的距离.此轨迹是以Fi( 1,0)为焦点，11 ： x= 1为准线的抛物线，轨迹方程为y=4x.B 级 能力突破( 时间：30 分钟 满分： 45 分)#一、选择题（
8、每小题5分，共10分）1. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A, B, C为该抛物线上三点，若 FA+FB+F 0,则|南+ |FB| + |fC|=（）.A. 9B. 6C. 4D. 3解析 设A：xi, yi）, B（x2, y。，C（x3, y3）,由于抛物线y2= 4x的焦点F的坐标为（1,0）, 由FA+FB+FC= o,可得 xi + x2+x3=3,又由抛物线的定义可得 |FA+|FB|+| FC =xi + x2+ x3+ 3= 6.答案 B2. （2013 洛阳统考）已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l : 2x-y+3 = 0和y 轴的距离之和的最小值是（）.A.
9、淄B./5C. 2D.怖1解析 由题意知，抛物线的焦点为 F（1,0）.设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定 义可知，点P到y轴的距离为|PF1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为 d+|PF1.易知d+|PF的最小值为点 F到直线l的距离，故 d+|PF的最小值为|2 +3|答案 D& 所以d+| PF 1的最小值为 1.7二、填空题（每小题5分，共10分）3. （2012 北京）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A B两点，其中点 A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60。，则4 OAF的面积为解析直线l的方程为y=V3（x-1）,即x = y
10、+1,代入抛物线方程得y2芋y 443%. 161=0,解得 yA=2= 2*（yB0，舍去），故 OAF勺面积为 2X1X23 = 73.答案 34. （2012 重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于 A, B两点，若|AB=2|,| AF| BF| ,则 |AF =解析 设过抛物线焦点的直线为y = kx-1）y或联立得y-kx 整理得，k2x2,21,2k+21_k + 225 ,口，2(k + 2) x + 4k = 0,Xi + X2 = k2, XiX2= 41AB| = xi + X2 +1 = k2F1 = y2 5付 ,k= 24,代入 k2x2(k2+2)x +
11、 ；k2= 0 得，12x213x+3= 0,解之得 Xi =；, X2 = 3,又434| AF0, ，丫1丫2=4,则 | PQ? = (X1 X2) 2+(y1 y2) 22 .2 .2 .2=X1 + X2+ y1 + y2 2( X1X2+ 皿16,入+；e 52当入+：=* 即入=1时，I PQ2有最大值112, | PQ的最大值为 理. 入 3393探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化 为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的 有界
12、性等求最值.6. (13分)(2012 新课标全国)设抛物线 C: x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l, A为C 上一点，已知以 F为圆心，FA为半径的圆F交l于B, D两点.(1)若/ BFD= 90 , ABD勺面积为4 国 求p的值及圆F的方程；(2)若A, B, F三点在同一直线 m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐 标原点到m n距离的比值.解(1)由已知可得 BFM等腰直角三角形，|BD=2p,圆F的半径|FA=V2p由抛物线定义可知 A到l的距离d=|FA= 42P. 1因为 ABD勺面积为4 6 所以2| BD d = 4 R1即2 2 p q2p= 4解得
13、p= 一 2(舍去)或p= 2.所以R0,1),圆F的方程为x2+(y1)2=8.(2)因为A, B, F三点在同一直线 m,所以AB为圆F的直径，/ ADB= 90。.1由抛物线定义知|AD=|FA=2|AB.所以/ABD= 30。，m的斜率为坐或坐.当m的斜率为 平时，由已知可设n： y = gx+b,代入x2=2py得x2Zpx 2Pb= 0.由于n与C只有一个公共点，故 A=4p2+8pb=0,3解得b= p.6因为m的纵截距b1 = p,第=3,2 | b|所以坐标原点到 m, n距离的比值为3.当m的斜率为一 半时，由图形对称性可知，坐标原点到m, n距离的比值为3.综上，坐标原点到m， n 距离的比值为 3.