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1、精品资源3.1 二维形式的柯西不等式3.2 一般形式的柯西不等式更上一层楼欢迎下载基础巩固a2b21.已知a,b是给定的正数，则 a十一的最小值为()sin 一:： cos :A.a2+b2B.2ab C.(a+b)2 D.4ab思路分析：我们可利用平均不等式处理本题， 利用三角函数sin a ,cos a分别与CSC a ,sec a 的倒数关系去掉分母， 再利用平方关系1+tan 2a =sec2 a ,1+cot 2 a =csc2a变形，最后利用平 均不等式.如果利用柯西不等式处理起来更方便，我们可以依照二维形式的柯西不等式进行构造.2a2sinb2222=(sin a +COs a
2、)(cos 二2a 2 .sin -(sin a =(a+b) 2. 答案：Ca+cos asin -bcos m n.一一，一2.设x,y,m,n (0,+川，且 一十一二1，则x+y的最小值是()x yA.m+nB.4mn222m nC.( m . n)d.思路分析：很容易误选，原因就是没注意等号成立的条件.利用二维的柯西不等式及其等号成立的条件，直接从 x+y入手有点困难，所以把 x+y看成(x+y) T=(x+y) ( m +),进x y而可使条件、结论、选择支有机结合起来 答案：C1，一，一，3.设ab0,则 一1一 的最小值为 (a -b)b思路分析11C1.=(a-b)+ +b
3、33.(a -b)xMb，当 且仅当 (a -b)b(a -b)b(a - b)b1a-b=b=即a=2,b=1时等3成立.关键在把(a -b)b1a+拆分成(a-b)+(a - b)b1(a - b)b+b.答案：31114.右0V a,b,c 3=91 - a 1 -b 1 - c 1 - a 1 - b 1 - c 3-(a b c)由a2+b2+c2ab+bc+ca,在这不等式两边同时加上2(ab+bc+ca),可得(a+b+c) 23(ab+bc+ca),所以 a+b+c 3.不早993(3 , 3)丁S/ =.3-(a b c) 3- .32、3 这里，当且仅当 a=b=c=X3时
4、，S取得最小值.3答案：3(3 3)25 .已知 a,b C R,求证：a2+b22ab.证明：(a 2+b2) 2=(a2+b2)(b 2+a2) (ab+ba) 2=4(ab) 2, .a2+b22|ab| 2ab.6 .已知 a,b,c,x,y,z 6 R,求证：(a2+b2+c2)(x 2+y2+z2) (ax+by+cz) 2.思路分析：该不等式比二维形式的柯西不等式多了一对变量c、z,如果我们把Jb2 +c2 , Vy2 +z2看成一对，也一样可以应用柯西不等式来证明证明：(a 2+b2+c2)(x 2+y2+z2) a2+( Vb2 +c2 )2 x2+( Jy2 + z2 (|
5、a|x|+ Jb2 +c2 y y2 +z2 )2= (|ax+ |ax|+ %；(|by | + |cz |)2 2=|ax|+|by|+|cz|) 综合应用.一n n -17.设 x1,x 2,xnC R, 7E义 Sn= (xi +2y n值为.思路分析： 因为1 1 *(xi + n J ) 2yn xi2W +c2)(y2 + z2)2(ax+by+cz) 2.12),在x1+x2+xn = 1条件下，则 Sn的最小 xi/J .2， n-1 1、( 1 ) 乙(X + 一)id ynxi2=n.n -1 1 x 21/,n-112 1所以 $=乙(xi +2- 一) 一乙(xi +
6、2- *) ) i 1 nxin id nxn当x1=x2=xn= 1时，取到最小值 n. n答案：n2222 .：2 128.求证：y xi +X2 + y yi +y2 之 q(xi+y)+(X2 + y2).思路分析：有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的证明：( . Xi2X22y： y22)2=(xi2+x22)+(yi2+y22)+2 (Xi2yi2) *(yi2y22),由柯西不等式得(x 12+X2 2) (y i2+y22) (x iyi+x2y2)2.其中等号当且仅当 xi=ky
7、i, X2=ky2时成立.22 .,22、1 2V(Xi +X2 ),(yi + y2 ) X iyi+x2y2, ( .X；X22. y12 y22 )2(x i2+X22)+(y 2i+y22)+2(x iyi+x2y2)=(x i+yi)2+(x2+y2)2,Vxi2 +X22y： +y22 2V(Xi2 + y：) “x22 +.其中等号当且仅当 xi=kyi, X2=ky2时成立.9.已知 a Ji -b2 +b (sinx+cosx)(sin x cot x4)+(tanx+cotx)(sin x tan x cosx cot xsin x)tan x cosx cot x=4.要使上式等号成立，当且仅当sin x + tan x = cosx + cot x, (1)tan x + cosx = cot x + sin x,(2)-得至ij sinx-cosx=cosx-sinx ,即得 sinx=cosx. 因为 xC(0, ),所以当 x=时，f(x)=f( J )=4.所以 f(x) min=4.答案：B