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1、9.9 棱柱与棱锥（第五课时 ）教学目标（一）教学知识点1 .棱锥及其底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面.2 .棱锥的表示方法、分类.3 .棱锥的截面性质定理.4 .正棱锥的性质及其各元素间的关系式.（二）能力训练要求1 .使学生了解棱锥及其底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面的概念.2 .使学生掌握一般棱锥与正棱锥的区别与联系.3 .使学生掌握棱锥的截面性质定理.4 .使学生掌握正棱锥的性质及各元素间的关系式.（三）德育渗透目标1 .培养学生善于通过观察分析实物形状到归纳其性质的能力.2 .提高学生对事物的感性认识到理性认识的能力.3 .培养学生“理论源于实践，用于实践”的观点.教学重点1 .
2、棱锥的截面性质定理.2 .正棱锥的性质.教学难点培养学生善于比较，从比较中发现事物与事物的区别，将比较法作为一种重要的学习方法 .教学方法指导学生自学法在学生已经有了对生活中顶尖底平带棱的锥体的实物形状的感性认识后， 在前面学习棱柱的基础上，通过学生自己观察、归纳出能反映棱锥的特征定义.在教师的适当指导下，让学生发现棱锥的性质并利用空间直线和平面相应的位置关系及平面几何的知识 ,对其性质进行推理论证， 从而做到既对前面知识的复习巩固， 又有助于学生对棱锥性质的更深刻的认识，为学生能够对棱锥的有关问题处理自如奠定基础.教具准备多媒体课件一个：作P47图9-71 ,通过它直观形象的演示，帮助学生深
3、刻理解和掌握棱锥的定义及其性质投影片三张.第一张：课本P47 图 9-71 （记作 9.8.1 A）第二张：课本P49 棱锥的截面性质定理（记作9.8.1 B ）第三张：课本P48 例 1（记作 9.8.1 C）教学过程I .课题导入师 前面， 我们对棱柱的定义和性质已有一定的研究， 今天我们将继续学习与棱柱既有联系又有区别的另一种几何体棱锥， 希望大家用类比的思想、 比较的方法去学习这一节的内容 .n .讲授新课师生活中我们所见到的工人搭的帐篷，还有木塔等都给我们以顶尖底平带棱的锥体形象（打开多媒体课件与投影片9.8.1 A）,观察图形具有哪些特点.（学生观察、思考）生有一个面是多边形，其余
4、各面都是三角形师好.那么能说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？生甲不能.例如图中的几何体满足以上两个条件，但它不是棱锥师很好！对于一个定义即对一种事物的本质特征的描述，从教学角度来讲，要求前后条件既充分又必要，例如 ，对于“有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱 锥”，显然前者是后者的必要条件而非充分条件.故不能作为棱锥的定义.那么该如何用确切而简要的语言文字表述棱锥的定义呢？生有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体叫棱锥.师下面请大家互相用符号语言表达图中（9.8.1 A）棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面，并对其文字语言加以推敲理
5、解.（学生互相提问学习，教师查看）师如图中的棱锥可记作：棱锥S ABCDE或棱锥S AC,即可以用表示棱锥的顶点和底面各顶点，或用底面的一条对角线端点的字母表示.另外，按棱锥底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 .请同学们继续观察、归纳棱锥具有的性质.（学生观察、思考，教师可点拨）师在棱柱中有平行于底面的截面与底面全等这一性质，那么在棱锥中还有没有这一结论了呢？生没有.师大家猜想对于棱锥来说，平行于底面的截面与底面有什么关系？生相似.师继续猜想截面的面积与底面面积有何关系？所截得的棱锥的高与已知棱锥的高有什么关系？生截面面积与底面面积之比为它们相似比的平方，所截得的棱锥的高与已知棱锥
6、的高的比等于相似比.师至此，我们可以得到关于棱锥截面的性质了（打出投影片9.8.1 B）.我们怎样利用所学的理论知识进行推理论证以上这条性质呢？请一位同学叙述一下证明思路生由多边形相似的判定：对应边成比例， 对应角相等可判定两多边形相似，从而由 相似性质可得它们的面积比等于相似比的平方， 而对应线段成比例需由平面几何中三角形相 似得到.师思路清楚，即整个过程由面面平行性质定理过渡到线线平行再转化到平面三角形 中的线段成比例，从而使结论获解 .请同学们认真画图，写出已知、求证、证明过程 （学生做、教师巡视，请一位同学板演）师做完的同学请对照课本P48的推导过程，检查自己的证明过程是否严密.以上我
7、们所证得的棱锥这一性质可以作为性质定理直接应用到今后的学习中去了.现在SA SB观察课本P48的推导过程可得 - = -SA SBSHSH油此可得棱锥的又一性质，怎样用文字语言表述？则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等当一个棱锥满足什么条件时就成为一个正棱生如果棱锥被平行于底面的平面所截，（教师板书这一性质）师课下，大家已对正棱锥进行了预习, 锥了呢？生底面是多边形，顶点在底面的射影是底面的中心（教师板书）师依据正棱锥的定义可直观地得到它的哪些性质呢？生乙正棱锥的侧棱相等；各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的斜高都相等；正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 正棱锥的高、侧
8、棱和侧棱在底 面内的射影也组成一个直角三角形 .师还发现其他性质了吗？生丙正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都 相等.师以上这些性质虽都可以直观、自然地观察得到，但课下还是应该利用所学理论知识进行推理论证的.下面我们结合图形，进一步探讨正棱锥中各元素间的关系，为研究方便可将课本P48图9-74正棱锥中棱锥 S OBM从整个图中拿出来研究.（教师画三棱锥 S-OBM）6观察图中三棱锥S- OBM的侧面三角形形状有何特点 .生全是直角三角形，因为可以证得/SOM=/SOB=/SMB = /OMB=90 .师若分别假设正棱锥的高SO=h,斜高SM=h,底面边长的一半 B
9、M = g,底面正多边2形外接圆半径 OB=R,内切圆半径 OM=r侧棱SB=l,侧面与底面的二面角/ SMO= “ ,侧棱与底面组成的角/ SBO=3, / BOM = 180 （n为底面正多边形的边数）.请试着通过解三角形 n得出以上各元素间的关系式 .（学生动手计算，教师巡视、指导）生h= h - r 2 =h - sin a =l sin 3 ,h =，h2 r22 a 2（2）cos：r=JU =2+（2）22sin180关系?师继续观察图形进行思考：怎样去比较/SBO与/ SBM、/ OBM与/ SBM的大小生在 SBO 与4SBM 中,sinSBOuSO.sinSBMuSM, S
10、BSB在 SOM 中,SMSO,.,.SM SO Sb sbsinSBMsinSBO.BM/ SBMC (0,1_),/sboc (0,1), ./ SBMZ SBO.另在 OBM -W SBM 中,cosOBM=BM,cosSBM=.SBOB,.1.BM、BMOB -SBcosOBM cosSBM,. /OBM” ),/ SBM (0,), ./ OBM/SBM.师以上关系式是在解决与正棱锥有关的问题中常常用到的，应引起大家的注意一起看一例题.(打出投影片9.8.1 C,读题)分析：此题可利用棱锥的截面性质定理、正棱锥的性质及平面几何中解三角形的知识综合解决.解：连结OM、OA,在 RtAS
11、OM 中，OM = 2 h2 . 棱锥S-ABC是正棱锥，.点O是正三角形 ABC的中心. AB=2AM=2 - OM tan60=243 vi2 -h2 ,Saabc=AB2=, 4 3(l2-h2)44=3 . 3 (l2-h2).依棱锥截面的T质，有 SBC =J_,S.ABC 43 3 ,2 . 2、Saa b c = (l -h ).出.课堂练习课本 P 461、2.1.下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；否则请举出反例(1)正棱锥的侧面是正三角形；(2)正棱锥的侧面是等腰三角形；(3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥；(4)正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等答案：(1) X反例
12、：底面边长与侧棱长不相等的正棱锥.(1) ，.由正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，可证出正棱锥顶点到底面 正多边形顶点的距离都相等 .(3) X .反例：底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面正多边形中心的棱锥(4) V .正棱锥的斜高及其在底面的射影的夹角，是侧面与底面所成二面角的平面角， 此角的正弦等于正棱锥的高与斜高之比，所以各侧面与底面所成的二面角的平面角都相等2.已知一个正六棱锥的高为 h,侧棱长为V,求它的底面边长和斜高.答案：J2 -h2 , 1 ,312 h2 .2iv .课时小结本节课我们讨论了棱锥及其有关概念，探讨了棱锥的截面性质定理，弄清楚了正棱锥的性质及其中各元素之间的关系式.要求大家对概念要逐字推敲 ，做到真正理解，要灵活地将棱锥截面性质定理与正棱锥的TIe质应用到计算证明中v .课后作业(一)课本 P52习题9.8的2、4.(二)1.预习内容(1)对正棱锥中各元素之间的关系式进一步深入巩固(2)正棱锥的侧面积、全面积公式 .(3)阅读P55的锥体体积公式的推导过程 .2.预习提纲(1)如何用“立体图形平面化”的思想推得正棱柱的侧面积(2)试体会棱锥体积公式与棱柱体积公式的联系与区别板书设计棱锥(一)1 .棱锥的定义2 .棱锥的性质3 .正棱锥的定义4 .正棱锥的性质学生板演练习小结