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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文科)-、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.(1)【2015年湖北，文1, 5分】i为虚数单位，i607()(A) i(B) i(C)1(D) 1【答案】A【解析】i607 i4151 i3 i,故选a.(2)【2015年湖北，文2, 5分】我国古代数学名著数书九章有米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()(A) 134 石(B) 169 石(C) 338 石(D) 1365 石【答案】B【解
2、析】依题意，这批米内夹谷约为282541534169石，故选B.(3)【2015年湖北，文3, 5分】命题“ x0 (0,), ln(A)X0 (0, ), lnx0 r 1(B)(C) x (0,), Inx x 1(D)【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为X)1”的否定是()X0 (0,) , ln X0 X0 1x (0,) , ln x x 1x 0, ln x x 1 ,故选 C.(4)【2015年湖北，文4, 5分】已知变量x和y满足关系y0.1x 1 ,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()(A) x与y负相关，x与z负相关 (C) x与y正相关，
3、x与z负相关(B) x与y正相关，x与z正相关(D) x与y负相关，x与z正相关【答案】A【解析】因为变量x和y满足关系y0.1x 1,其中0.1 0,所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关,不妨设z ky b k 0 ,则将y 0.1x 1代入即可得到：z k 0.1x 1 b0.1kx k b ,所以x与z负相关,综上可知，故选 A.p： 1i12是异面直线；q： 1i2不相交，则()(5)【2015年湖北，文5, 5分】1i,12表示空间中的两条直线，若(A) p是q的充分条件，但不是 q的必要条件(B) p是q的必要条件，但不是 q的充分条件(C) p是q的充分必要条件(D) p既
4、不是q的充分条件，也不是 q的必要条件【答案】A【解析】若p： lj2是异面直线，由异面直线的定义知，1i,12不相交，所以q： h,l2不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q： 1i,12不相交，则1i,12可能平行，也可能异面，所以不能推出1i,12是异面直线，即p不是q的必要条件，故选 A. 2(6)【2015年湖北，文6, 5分】函数f(x) v;4|x| lg -一56的定义域为()x 3(A) (2, 3)(B) (2, 4(C) (2, 3)U (3, 4(D) ( 1,3)U(3, 6【答案】C2【解析】由函数 y f x的表达式可知，函数 f x的定义域应满足条件：4x
5、0, -一56 0,解之得x 32 x 2, x 2, x 3,即函数 f x 的定义域为(2, 3)U(3, 4 (2, 3)U(3, 4,故选 C.1, x 0(7)【2015年湖北，文7, 5分】设x R,定义符号函数sgnx 0, x 0,则()1, x 0(A) |x| x|sgnx|(B) |x| xsgn|x|(C) |x| |x|sgnx(D) |x| xsgnx【解析】对于选项 A,右边x sgnxx, x0, x0xx 0,而左边lx ,显然不正确；对于选项0x,x 0B,右边x sgnxx, x 0,x,而左边0x,x 0,显然不正确；对于选项C,右边x, x 0xsgn
6、xx, x0,xx, x而左边 xx,x 0 -小 _右 ,显然不正确;x, x 0x,x对于选项D,右边 x sgnx 0,x x,x而左边 xx, xx, x显然正确，故选D.(8)【2015年湖北，文8, 5分】在区间0, 1上随机取两个数x,y,记pi为事件的概率,P2为事件xy的概率，则(A)Pi1 P22(B)PiP2(C)P212 P1(D)【解析】由题意知，事件”的概率为Pi事件xy 1”的概率2So dx 22x112In 2 ，P2So21In 21In 2(9)【2015年湖北，文9, 5分】将离心率为-,故选B.20,的双曲线G的实半轴长a和虚半轴长b (ab)同时增加
7、m (m 0)个单位长度，得到离心率为 的双曲线(A)对任意的(C)对任意的【答案】Da, ba, b，002则(B)(D)当a b时,当a b时,b时,b时,0102【解析】依题意,01e2因为ab bm ab amb时,b时,a所以当a b时,(10)【2015年湖北,0i10,1,0,b 0,所以002；色,当a b时, 5分】已知集合aaD.22(x,y)x y 1,x,y Z,，所以0102.B (x,y)|x| 2, |y| 2, x,y Z,定义集合A B (x x2,y1 丫2)供,必)A,依呈)B,则A B中元素的个数为()(A) 77【答案】C【解析】因为集合A(B) 49
8、(C) 452x,y xy2 1,x, y Z ,所以集合A中有图中圆中的整点，集合B (x,y) |x| 2,|y| 2, x, y Z即图中正方形 ABCD中的整点，集合 A B (x1的元素可看作正方形 ABC1D1中的整点(除去四个顶点)x2,y1【答案】9 uuu uuu uuu uuu uuu【解析】因为OA AB , |OA 3 , OA OBuuuOAuuu OAuurOBuur 2OAuur uurOA OB(12)【2015年湖北，文12, 5分】若变量x,y满足约束条件4,2,则 3x3x y 0, 的最大值是.【答案】10【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平
9、面区域如下图所示，然后 根据图彳t可得：目标函数z 3x y过点B 3,1取得最大值，即Zmax 3 3 1 10,故应填 10.(13)【2015年湖北，文13,5分】函数 f(x) 2sin xsin(x -1) x2的零点个数为yuuu 2OA32 9 .【解析】函数f x 2sin xsinx2的零点个数等价于方程2sinxsin x 一 2的根的个数，即函数2sin xsin x 一 2sin xcosx2sin 2 与 h xx2的、填空题：共 7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清,模棱两可均不得分.uuu umuuuuuu uuu(1
10、1)【2015年湖北，又11, 5分】已知向量 OA AB, |OA| 3,则OA OB额在区间 0.5,0.9内的购物者的人数为： 0.6 10000 6000.(15)【2015年湖北，文15, 5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到时测得公路北侧一山顶 D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30,则此山的高度CD【答案】100. 6【解析】依题意，BAC30 , ABC 105，在 ABC 中,所以 ACB 45，因为AB 600 ,由正弦定理可得由 ABC600因为 CBD 30sin 45BC 30072 ,所以 tan3
11、0 CDCD_BC 300.2BACBCsin30ACB180 ,300. 2CD 10076 m.(16)【2015年湖北，文16, 5分】如图，已知圆 C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴A处m,在 Rt BCD 中,图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数 与h x的图像有2个交点.(14)【2015年湖北，文14, 5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3, 0.9内，其频率分布直方图如图所示.(I)直方图中的 a ；(n)在这些购物者中，消费金额在区间0.5, 0.9内的购物者的
12、人数为 【答案】(I) 3; (n) 6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2 0.1 0.8 0.1 1.5 0.1 2 0.1 2.5 0.1 a 0.1 1,解之的a 3 .于是消费金额在区间 0.5,0.9内频率为0.2 0.1 0.8 0.1 2 0.1 3 0.1 0.6,所以消费金(I )圆(n)圆【答案】(I)C的标准方程为 C在点B处的切线在x轴上的截距为1 2 yV22 2；(n)1 亚交于两点A, B (B在A的上方)，且AB 2 .【解析】(I)设点C的坐标为(x。,),则由圆C与x轴相切于点T(1,0)知，点C的横坐标为1,即R 1,半(x(n)令 x
13、y0 .又因为AB 2 ,所以121)2 (y 旧 2 .0得：B(0, J2 1).设圆C在点12y2 ,即 y0B处的切线方程为J2r ,所以圆C的标准方程为y (72 1) kx ,则圆心C到其距离为:、.k20可彳导x夜，解之得k1 .即圆C在点B处的切线方程为y x (J2 1),是令172 1,即圆c在点b处的切线在x轴上的截距为1 J2.(17)【2015年湖北，文17, 5分】a为实数，函数f(x) |x2 ax|在区间0, 1上的最大值记为 g(a).时,【答案】2 2 2【解析】解法一：因为函数fg(a)的值最小.2x ax,所以分以下几种情况进行讨论：当在区间0,1上单调
14、递增,所以x max g a 1a2240时,22函数f x2时，此时所以f xmax2.22时,max2.综上可知, 4axax,2 2 时，g a 解法二：上单调递减,2,上单调递增,1g a M4所以g amax2，所以当2.22. 2综上所述，当 三、解答题：共5题,a 2.2共65分.2时，g a取到最小值解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.0, | | -)在某一个周期 2(I)请将(18)【2015年湖北，文18, 12分】某同学用 五点法”画函数f (x) Asin( xx0兀2兀3兀22支x兀35兀6Asin( x )0550内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表:表数
15、据补充完整，填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f (x)的解析式;(n)将y f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到 y g(x)的图象. 求y g(x)的图象离6原点。最近的对称中心.x0兀2兀3兀22支2,解：(I)根据表中已知数据，解得A 5,-.数据补全如下表:6x兀12兀37兀125兀613一兀12Asin( x )05050且函数表达式为f (x) 5sin(2 x / .(n)由(I)知 f(x) 5sin(2 x ,),因此 g(x) 5sin2( x ) 5sin(2 x 怖).因为y sin x的对称中心为(k兀0), k Z.令2x - kn,解得x ，k
16、Z. 6212即y g(x)图象的对称中心为(幺,，o, k Z ,其中离原点 。最近的对称中心为(,0). 21212(19)【2015年湖北，文19, 12分】设等差数列&的公差为d前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q.已知B 31, b2 2, q d , S10 100.(I)求数列an, bn的通项公式;(n)当 d1时，记cn3n求数列Cn的前n项和Tn .解：(I)由题意知:1031 a1d45d2100，即2a1 9d31d 220，解得a1anbn2n2n 1anbn知an2nbn2n 1,故2n 12n 1(20)解：(是Tn1由-可得1Tn2【2015年湖北，文20,7
17、2312 -224L1221232n 12n 111*75L222n 21 Tn22n2n5_22n 372413分】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需.如图，在阳马P中，侧棱PD 底面ABCD,且PD CD ,点E是PC的中点，连接 DE, BD, BE .(I)证明：DE 平面PBC .试判断四面体 EBCD是否为鳖月需，若是，写出其每个面的直 角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(H)记阳马P ABCD的体积为2n 79I )因为所以所以PDBCDE底面ABCD,所以平面PCD . DEM,四面体EBCD的
18、体积为%,求V1的值.V2PD BC .由底面ABCD为长方形，有 BC CD ,而PDIABCDCD D ,2n 1 2n2n 32n 1平面PCD ,所以BC DE . 又因为PD CD，点E是PC的中点,PC.而PCI BC C,所以DE平面由BC 平面PCD , DE 平面PBC ,可知四面体 即四面体EBCD是一个鳖月需，其四个面的直角分别是PBC .EBCD的四个面都是直角三角形,BCD, BCE, DEC, DEB.(n)由已知， PD是阳马P ABCD的高，所以V11-Sabcd PD3由(I)知， DE是鳖月需D BCE的高， BC CE ,所以1-BC CD 3V2 S B
19、CE3PD ；在RtA PDC中，因为PDCD ,点E是PC的中点，所以DE CE1 _ _DE - BC CE DE .6小,1 _ _BC CD PD星 V13 1-BC CE DE 62CD PD 4.CE DEf(x)是奇函数，g(x)是偶函数,(21)【2015年湖北，文21, 14分】设函数f(x), g(x)的定义域均为R,且f (x) g(x) e(I )求 f (x)：,其中e为自然对数的底数.g(x)的解析式，并证明：当x 0时,(n)设 a 00时,ag(x)(1解：(I )由f (x) , g(x)的奇偶性及f(x)g(x)联立解得f(x)1 x2(eg(x)又由基本不
20、等式，有g(x)(n)由(i)得 f (x)g (x)1(e21 - 2(e12(e4)e4t) e1(e21 2(e当x 0时，工凶 xf(x)ag(x)(1bg(x)(1x设函数 h(x) f (x) cxg(x)由，有h (x) g(x)x 0时,(1)若 c 0, 即 f (x)(2)若 c 1 , 即 f (x)由, cxg(x) 由, cxg (x)得 (1 得 (1综合，得ag(x)(1xe , 1 x 2(e.exex e-x ex em ea)等价于f(x)b)等价于f(x)(1 c)x ,cg(x)h (x) c)x , h (x)f(x) 0 ,a)出 xg(x) 1；b
21、g(x) (1f(x)g(x)b) ).当 x 0 时，ex1(e21/ ：2(e1，故 f(x) 0.即 g(x) 1.x、 e )g(x)，x)f(x)，axg(x)bxg(x)cxf (x) (1 c) (10 ,故 h(x)在0, 故成立.0,故 h(x)在0,(1(1b)x.c)g(x) 1 cxf(x).)上为增函数，从而h(x)上为减函数，从而h(x)c)x ,故成立.f (x)a) bg(x) (1 b). x(22)【2015年湖北，文22, 14分】一种作图工具如图 1所示.O是滑槽AB的中点, 长卞f MN通过N处较链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN 子
22、D在滑槽AB内作往复运动时，带型,N绕O转动一周(D不动时，N也不动) 记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (I)求曲线C的方程；(n)设动直线I与两定直线|x 2y 0和l2：x 2y 0分别交于P, Q两点.若直线I总与曲线C有且只有一个公共点，试探究： OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若 不存在，说明理由.解：(I)设点 D(t, 0) (|t| 2), N(x0,y0), M(x,y),依题意,uuiruuiruuirMD 2DN ,且 | DN |uuir|ON| 1,h(0)h(0)短杆ON0,ON可绕O转动，1, MN 3
23、.当栓所以(t x, y)2(x0t, y。)，且(xc2x02t)2y02 y01,1.即 t x 2x02y0.2t, L且t(t2x0)0.由于当点D不动时,也不动,所以t不恒等于0于是t2x0,故xx04,y0代入x22y2 1,可得巳16即所求的曲线C的方程为(n)(1)当直线I的斜率不存在时，直线M处的笔尖画出的曲线工1x16S OPQ1- 4 4 8.2(2)当直线l的斜率存在时，设直线l ： y kx m (ky kx m,2,2x 4y 16,消去所以又由y,可得(1 2264 k my kx m, x 2y 0,.2、 2_.4k )x 8kmx一 .2, ,24(1 4k
24、 )(4 m2m可得P( ,1 2k24m16)m12k)16 0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,一 20,即m2m mQ(,)1 2k 1 2k由原点O到直线PQ的距离为dTV| xpxq | ,可得1SOPQ |PQ|21”12m2m- 22m1 2k 1 2k21 4k14k24 k21|m|xp xq21m|2 和 | PQ|1 k将代入得,S OPQ2m21 4k2k2S OPQ 8(k2一时，S OPQ41 ,则 0 144k2 1 2)4k 14k28(21 4k24k 128(1-4k8( 1-)8；12 、2) ,1 4k2,21 4k2 ,所以S opq28( 1 2) 8,1 4k当且仅当k 0时取等号.所以当k 0时，S opq的最小值为8.综合(1) (2)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，4OPQ的面积取得最小值 8.