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1、-4 -4.5.3利用坐标计算数量积课前预习学学KEQIANYUX1DAOXUE回侍导航：学习目标重点难点1 .能记住在坐标表示的条件下，数量积的计算公式、模及夹角余弦的公式、 两向重垂苴的条件；2 .能够利用坐标运算解决各公式相应 的问题.重点：在坐标表小的条件下，数里积、 模、夹角、垂直条件等各公式的应用； 难点：坐标运算的综合问题；疑点：在坐标表小尔件卜两 向里共线 与垂直的条件.院)导引：设向量 u=(xi, yi) , v=(X2, y2),可得 坐标表示的数量积的计算公式：u v = (Xi, yi) (X2, y2)=xiX2+yiy2.(2)坐标计算向量的模的公式：| u| =
2、 Jxi2+ yi2.(3)坐标计算投影值的公式：(u) v=与甘=空当(丫不为0).|v| qXy2(4)坐标计算夹角余弦的公式:cosu, Vu vX1X2+ yiy2, , ,= I I ， ( u .|u|v|(Xi yi )( X2 + y2)v都不为0) .(5)坐标表示的垂直条件：u，v? u v = 0? XiX2 + yiy2= 0.预习交流i在坐.标表本条件下，两向量共线与两向量垂直的条件有何区别? 提示：对于两个非零向量a=(Xi, yi) , b=(X2, y2),有ab? a - b = 0? XiX2+yiy2=0；a/b? a b= I a| b| ? Xiy2-
3、X2yi= 0.预习交流2与向量a= (x, y)垂直的所有单位向量怎样表示？上ii提不： 2 22( - y, x)和下二(y, x).x + yyx +y：在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个 备忘吧！我的学困点我的学疑点课堂合作探究KETA IGHEZUOTANJIU年颊导学：一、数量积的坐标运算活就与探究已知 a= (2,3) , b=(-i,i) , c = (0, 4),求：(i)( a+b) (a 2b)； (2)| a+2b| ； (3)( a-b) c.思路分析：按照平面向量数量积的运算法则进行计算.解：. a+b = (2,3) +( 1,1)
4、=(1,4), a2b=(2,3) 2( 1,1) =(4,1),.(a+b) (a 2b) =(1,4)(4,1) = 8.(2) -. a+2b=(2,3) +2( 1,1) =(0,5),.I a+2b| = 102+ 52 = 5.(3)( a-b) c = (3,2)(0, 4) = 8.F迁移应用已知向量 a = ( 1,2) , b= (3,2).(1)求 a ( ab) ； (2)求(a+ b) - (2 a- b)；(3)若 c=(2,1)，求(a b)c, a(b c).解：(1) -. a=(-1,2) , b=(3,2) , a-b=(-4,0).a (a-b) = (
5、-1,2) ( 4,0)=(1) X( 4) +2X0= 4.(2) . a+b=( 1,2) + (3,2) = (2,4), 2a b=2( - 1,2) - (3,2) = (-2,4) -(3,2) =(-5,2), .(a+b) (2ab) =(2,4)(5,2)= 2X( 5) +4X2=- 2.(3)( a b)c=( -1,2) - (3,2)(2,1)=(-1X3+2X2)(2,1) = (2,1), a(b c)=(-1,2)(3,2)(2,1)=(1,2)(3 X2+2X1)= 8( -1,2) =(8,16).3师点津在进行数量积的坐标运算时，一方面要熟记运算的法则，计
6、算要准确；另一方面还要注意运用运算律，以简化运算过程.二、向量的共线与垂直问题*活动与株究已知向量 a = (1,1) , b=(2 , - 3).(1)若入a2b与a垂直，求入的值；(2)若a2kb与a+b平行，求k的值.思路分析：先求出 入a2b, a-2kb, a+b的坐标，再根据两向量平行与垂直的条件建 立关于入,，k的方程求解.解：(1) a=(1,1) , b=(2, 3),入 a 2b=(入，入)一 (4 , - 6) = (入 - 4,入 +6).( X a-2b) a, . .(入 a2b) a=0.入-4+ 入 +6=0.入=1.(2) a-2kb= (1,1) (4 k,
7、 - 6k) = (1 -4k, 1 + 6k), a+b=(3 , - 2),且(a 2kb) /(a+b),1 . 2(14k) =3(1+6k).，k= 2.在ABC3, AB = 解：当A= 90时，2x 1 + 3X k = 0.(绍，AB AC2k=一13；=(1 , k),且 ABC勺一个内角为直角，求 k的值. =0,当 B= 90 时，AB BC =02X( 1)+3x( k-3) =0.BC = AC - AB =(1 -2, k-3) =( -1, k- 3), 11k=T当。=90 时，AC BC =01 + k(k-3) = 0.空；k=YW或孑. 2332(舜点津对
8、两个非零向量a, b, a=(xi,yi),b=(x2,y2),a，b?X1X2+yiy2=0；a/ b? xiy2X2yi=0.这两个结论不能记混.三、向量夹角的范围问题活初与探究已知向量a=(2,i) , b=(m,2),它们的夹角为 0 ,当m分别取什么实数时，0为 直 角；(2)锐角；(3)钝角.思路分析：当a与b的夹角是锐角时，必有 a-b0,但还应满足a与b不同向共线；当 a与b夹角是钝角时，必有 a bv 0,且a与b不能反向共线，由此可建立关于 m的不等式求 解.解：(法一)由 a=(2,i) , b=(m,2)得|a| =木，| b| =.+ 4, a - b= 2m2.(1
9、) 0 为直角？ 2m 2=0? m= i ；2m 20,(2) 9 为锐角？ ：?- i,且 4 ；2m2w 5 m+ 42m 2 i且mM 时，0为锐角；当rk i时，0为钝角.(法二)由于 a=(2,i) , b=(m,2),所以 a b=2m2.(i)当0为直角时，a - b= 0,即2m2=0,解得rtr i ；(2)当0为锐角时，a - b0,即2m20,解得m- i.但当a/b时，有2X2=ixm彳m m= 4,且这时a, b = 0 =0 ,不合要求.故m的取值范围是 m i且m 4.(3)当0为钝角时，a - b0,即2m20,解得 i,由(2)知当a/ b时，4,且a与b同
10、向，不可能反向共线.故m的取值范围是rk i.0叁庭用已知a= (x, 2), b= (i , 4),若a与b的夹角是钝角，则 x的范围是.答案：lx x8且xw 2)解析：因为a与b的夹角是钝角，所以 a - b0,即x-8 0.所以x8. i 一 、，, 又当a/b时，4x=- 2,得x= 2,且这时a与b反向共线，不合题意，所以x的取值范围是 仅x0或ab0,解答a与b的夹角是锐角或钝角的问题时，要特别注意 a与 b共线的情况.因为 a与b同向时，a-b0,但夹角为0；a与b反向时，a-bv0,但夹 角为i80 .曾曾检测： ：；：i .已知点 A(i,2),R2,3), q 2,5),
11、则AB AC 等于()A. - i B .0C. i D. 2答案：JTTT解析：AB =(i,i),AC=( 3,3),于是AB AC =0.2. (20ii广东中山模拟)已知向量a= (i , x) , b=( i, x),若a与b垂直，则| a| =()A. 1 B .2 C .4 D .也答案：D解析：依题意有 1 x( 1)+ x2= 0,于是 x= 1, | a| = 1 1 + x2 = 212.3.向量a=(2, 4)与b=( 1,2)的夹角的大小为()A.零角B.直角C.钝角D.平角答案：D解析：显然有a = 2b,所以a与b反向共线，夹角是 平角.4,设向量 a= (1,0
12、),A. | a| = | b| Bb= 2 1 j,则下列结论中正确的是ab等C. a b 与 b 垂直D . a / b答案：C解析：| a| =用12+ 02 = 1, | b| 2+ g j = 2；,111,.、，2 11a , b=1x2+0x2=2； (a b) - b=a - b | b| =-= 0,故 a b与 b 垂直.5.已知a=( 1,2) ,b=( 2, 1),则向量2a+b与a+2b的夹角的余弦值为 答案：45解析：a=( 1,2) , b=( -2, 1),.-2a+b=( -4,3) , a+2b=( -5,0),贝U(2a+b) (a+2b) = 20, |2a+b|=5, |a+2b| =5, .cos 0 =7207=4.5X5 5收获：用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部 分写卜来，并进行识记.知识精华技能要领