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1、复化抛物线积分公式作者:日期：摘要短函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但 是,在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达 式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。 这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。价用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法， 但是考虑 到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来 提高数值积代数精度是不可取的。因此，提出类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干个小区间 ，在每
2、个小区间上采 用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函 数在整个区间上的近似值，这个就是复化数值积分的思想。本实验针对在每个小区间上利用抛物线积分公式，即阶数为2,进行实 验。关键词：龙格现象复化数值积分代数精度 复化抛物线积分公式1、实验目的1）通过本次实验体会并学习复化抛物线积分公式的优点。2）通过对复化抛物线积分公式进行编程实现，提高自己的编程能力3）用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。2、算法流程已知定积分的抛物线积分公式及其误差为? ?+ ?丁)+ ?(?)? ?(?)? ?+ 4?7?6(? ?5 , ?= -2880 ?(?，?(?根据数学知
3、识，我们知道积分区间可划分，且不改变积分值，即如下所示: ? K ?（?）?J J I y a?=1 ?-1针对上式，在每一个小区间上利用抛物线积分公式有?5/?(?)? ?1 ) + 4?.? 1) + ?) - - ?(?16-22880得到? K ?(?)?a?=1?-1? - 6不K?=1+1-2-?)-?52880?E ?(?=1其中？?m/2 = 2(?1 + ?) = a+ (k - 2)?,令?-i2 工?) + ?(?)?=i?=-(?2880(? ?4?夕)(?1) + ?/)(?2) + ? + ?伊)(?2880若？?(?)？?,则由介值定理推得?(? ?4 ,?=-
4、?(?,? (?2880设？ = ? 1号?|24(?|,得到误差限(?2 ?4,(?2 ?4(?2 ?51? = 1?(?| -?2 =?21 nL =2880 288042880?44由上式可以进行计算精度控制。这样就给出了 及其误差n+1点复化抛物线积分公式? ?(?)? + 4E ?7? i)?6?=i?-2?-1+ 22 ? + ?(?)?=i(? ?4 ,?= -百 ?(?=-(? ?5 , 嬴万?(?,? (?3、算法实例用复化抛物线积分公式计算积分4-?i +?解：具体程序如下?y 产?-i)+?*?的G?=i?=6? + 4三？吟)?=i2当？?作为积分的近似值时，其误差为#
5、 i n elude s tdafx.h # i n c lud e #include us i ng n a mesp ace std;co n s t int n um(1000);void m a in()doub 1 e a = 0;d oub1 e b=0 ;doub 1 e h=0;i n tn = 0;2nt i =0;0o u bl e S n = 0 ;0oub le F 1 = 0;d oub le F2=0;0ou ble xnum=0;0o u b 1 e y n urn =0 ;Gout 请输入积分上下限和等分数的一半end l;名out a ；?c outb;名ou
6、t n；)=(b-a)/(2*n );f o r(i=0;i 2 * n +1;i +)&? ?i= a + h*i;?i 1 =4/(1+x i *xi);?f o r(i=1 ; i 2*n;i+=2)? 1 = F 1+4*y i;for(i =2;i2 * n;i+=2)F2 =F2+ 2* y i;?Sn =h/3*(y0+y2* n + F1+F 2 );cout”积分结果为：Sn = Sne ndl ;运行结果:H3i nd owssysterrm d.exe情输入积分上下限和等分数的一半 樗输入积分下限酢0请输入积分上限b = 1请输入等分数的一半小5积分结果为工Sn=3.14159请按任意键继续. . .4、对结果进行分析加过用编程实现对上例的求解，可以看出结果较为准确，而且逼近效果 较好，但是由于复化抛物线积分公式的原理问题 ，所以本身存在误差，而 且由于在计算机上计算，会存在计算误差。5、参考文献1秦新强.数值逼近.西安：西安理工大学出版社，2010