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1、3 .用公式法求解一元二次方程(一)白银市第二中学 刘尊斌一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(aw0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、 运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过规律的探求 、 勾股定理的探求 、 一次函数的图像中一次函数增减性的总结等章节的学习， 已经逐渐形成对于一些规律性的问题， 用公式加以归纳总结的数学建模意识，
2、并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化， 然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。 所以首先要夯实上节课的配方法， 在此基础上再进行一般规律性的探求推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。其中， 引导学生自主的探索， 正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。为此，本节课的教学目标是：在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探 求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。能够根据方程
3、的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观 察和总结的能力 .通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能 力。通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流, 进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节： 第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知;第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。第一环节；回忆巩固活动内容：用配方法解下列方程： 2x 2+3=7x(2)3x2+2x+1=0全班同学在练习本上运算，可找位同学上黑板演算由学生总结用配方法解方程的一般方法：第一题：2x2+3=7x解：将方程化
4、成一般形式：2x2-7x +3=02 73x - x = 0两边都除以一次项系数：222配方：加上再减去一次项系数一半的平方x2 -7x - (-)2 空-02416 2即:7 225y 一76二两边开平方取“土”得:写出方程的根第二题:3x2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:37 2(xqx 一一44x=44 4x1=3 , x2=251633配方：加上再减去一次项系数一半的平方(x1)2 .吏=0 318(x 1)2 -325182518：二0原方程无解活动目的：(1)进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法 作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程
5、的左边直接加上再减 去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式 保持一致。(2)选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方 程在实数范围内都有解。(3)教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习 .活动的实际效果：通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程， 由于是旧知 识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒 学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。第二环节探究新知(1)活动1:自主推导求根公式。提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a丰0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推
6、导过程中预见的问题在小范围内自 由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式 .解：两边都除以一次项系数：ax2 bx 二。a a问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a为配方:加上再减去次项系数一半的平方2 bb 2 b2cx2x ( )2 -2 - =0a2a 4aa即：（x a2 b2 -4ac n一 a=0b 2(x -)ab2 -4ac4a2问：现在可以两边开平方吗?答：不可以，因为不能保证 b2 -4ac 04a2 一问：什么情况下 b2 -4ac 04a2 一学生讨论后回答：a为. 4a20要使 b2 -4ac 04a2只要b2-4ac只即可当b2-4ac用时，两边开
7、平方取“土”得:bx r-b2 -4ac4a2x，b =_4a-a 2abb2 -4acx 二一a 2afb“b2 -4acx 二2a问：如果b2-4ac0时，两边才能开平方(3)两边开平方，忽略取“土” 。大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导 (2)活动2:归纳总结公式法定义和根的判别式。第三环节：巩固新知 活动内容：1、判断下列方程是否有解：(学生口答)(1) 2x2+3=7x(2) x2-7x=18(3) 3x2+2x+1=0 (4) 9x2+6x+1=0(5)16x 2+8x=3(6) 2x2-9x+8=0学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。问第(3)题的
8、判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷?2、上述方程如果有解，求出方程的解学生口述，教师板书第(1)题，第(4)题例：解方程2x 2+3=7x先将方程化成一般形式确定a,b,c的值判断方程是否有根写出方程的根解： 2x 2-7x+3=0a=2, b=-7, c=3v b2-4ac=(-7) 2-4 X2X3=250,2-b 二 b -4acx 二2a7 二 25 7 二52 24即 xi=3,x2=- 12问：与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷?例：解方程9x2+6x+1=0确定 a,b,c 的值 解：a=9, b=6, c=1判断方程是否有根 V b2-4ac=62-4
9、 x 9X 1=0-b 二.b2 -4acx =2a_ - 6 , , 0 2 9-6 .0二181=.3（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）3、课本随堂练习1、2.活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结.大 部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。第四环节：收获与感悟活动内容：提出问题：1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a半0）的求根公式是什么？2、如何判断一元二次方程根的情况？3、用公式法解方
10、程应注意的问题是什么？4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组问交流发言。活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发 展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的 一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能 力。第五环节：布置作业用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）1、课本 47 页 1,2 题。2、程解应用题（ 1） 已知长方形城门的高
11、比宽多 6 尺 8 寸 , 门的对角线长1 丈 , 那么 , 门的高和宽各是多少?（2）一张桌子长4米, 宽 2米, 台布的面积是桌面面积的 2倍, 铺在桌子上时,各边下垂的长度相同 , 求台布的长和宽四、教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。2、要为学生的终身学习奠基这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力 ；进一步发展学生合作交流的意识和能力帮助学生形成积极主动的求知态度.8