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1、课程信息年 级初三学 科数学版 本湘教版内容标题正弦、余弦和正切编稿老师阳矩红【本讲教育信息】一.教学内容：正弦、余弦和正切教学目标（一）知识与技能1 . 了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用 sinA、cosA、tanA表示直 角三角形两边之比。2 .熟记30、45、60角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角 三角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。3 . 了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。4 .会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。（二）过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的
2、乐趣。（三）情感态度与价值观体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习自信心。教学重点1 .正弦、余弦、正切的定义。2 .特殊角30、45、60的正弦值、余弦值、正切值。3 .互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。教教学难点1 .锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。2 .综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。主要内容1.正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在RtA ABC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做/ A的正弦。 目口 /A的对边记作 sin A,即 sin A =斜边A的余弦。(2)在RtAABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做/记作 cos A,即 cos A =/A的邻边 b
3、斜边A的正切。(3)在RtAABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做/ 目口 /A的对边 a记作 tan A,即 tan A = 一/A的邻边 b当锐角A确定后，这些比值都是固定值。2.特殊角30、ot45 、 60八30的正弦值、余弦值、45正切值。八060sin ：cos：tan：如图，在1232.33RtAABC 中,C = 90 , / A = 30.3k2kk3k设 BC = k,则 AB = 2k由勾股定理得AC 3k：s1r3* =BCAB 2k 2AC cos30 =ABBC t a i30=AC用同样的方法可求4560角的三角函数值。3 .互为余角的正弦、余弦之间的关系:aa由t
4、e乂知：sin A = , cos B =ccsinA = cosBIP si nA =cos90 - A）同理：cosA = sin（90 - A）语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。比如：sin60 = cos30cos52 =sin384 .同角的三角函数之间的关系：,22sinA cos A = 1si nA1t a nA =, tan A =；cos Atan（90 - A）5 . 090间正弦值、余弦值、正切值的变化规律：0 ： s i nA ： 1, 0 ： c o A 1在090间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小
5、）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。6 .会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。【典型例题】例 1.已知 ABC 中，AC = 7, BC = 24, AB =25,求 sinA, cosA , tanA, sinB , cosB , tanB分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断ABC是直角三角形。BC解：AC = 7, BC = 24, AB =25 _222_ 2AC BC 7724 =625AB2 =252 =625. .ABC为直角三角形, 由三角函数定义得：/ C=90. .AC2 BC2 = AB2. BC
6、24sin A =AB 25 AC 7cos A =二AB 25,a BCtan A =24AC13k13由互余角的关系得:s i nB=cos A725cos B = sin A2425tan B1_ 7tan A 24例2.已知RtABC中, A54AAsin A =，求 cos A, tan A 13分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一：如图.5解：: si nA =13.设BC=5k, AB = 13k由勾股定理得：AC = 12kA AC 12k12AB:cos A = 一BCt a nA = AC5k 512k12法二：解:.225s i n A cos A
7、 = 1, sin A = 13225212 2cos2 A =1 -sin2 A =1 -()2 =(一)21313又/A为锐角，-12c o sA =13cosA 0,a si nA tanA =- cosA_ J3一 1212135变式训练： 已知在RtABC中，/ C=90 , sin A =，周长为60cm,求斜13边c的长。提示：可引进参数法。例3.计算:1.。.(1) sin 30+ (sin 45+cos45 ) - sin 20- cos 202(2) sin2 60sin2 451 tan451，4 一。tan60 , cos30分析：略-11.2.22。2。解：(1)原式
8、=+ x(+)- (sin 20+ cos 20 )2222二一 12(2)原式=（涉噂211一1一 3v3 X 2=3 2 2_14 43213 2 31=43 12例4.已知锐角值满足2cos2 a +73since -1 = 0,求值的值。的值。分析：把条件式看作关于 sin “的一元二次方程，利用解方程求出sin a ,再确定 22解：. si na + cosa =1条件式子可化为：2 - 2cos2 ：;： : 3sin -3 = 0即 2si n 1,3si n -3=0得(2si n 一, 3) (sin 3) = 0: 0 :二 sin ： ： 1, sin 工工 J3w 0
9、 .2si n = 33sin 二2.3、一sin60 =，a为锐角2： = 60练习1求适合条件的锐角：(1) 2sin 二, = 1,则)=(2) 2 cos =庭,则 ot =(3) 2V3sin(a -10 )=3,则a =(4) 3 tan a = 3,则口 =答案：(1) 30(2) 30(3) 70(4) 30例 5.如图在 RtAABC 中，/ C = 90 , BC = 5, AC = 6。C(1)求 sinA , sinB 的值。(2)过点C作CD LAB于D,求cos/ACD的值。分析：(1)利用正弦定义来解决。.CD(2)求cos/ACD,在RtAACD中求较麻烦，但利
10、用互余角的关系将 AC/ACD转化为/ B则非常简便。解：(1)在 RtAABC 中，/ C=90 , BC = 5, AC = 6. AB2 - AC2 BC2 .AB = 62 52 = 61.八 BC 55 61 s i nA =AB 6161_ AC66、61s i nB =AB6161(2) / ACB = 90 ,A + Z B=905.6161又 CDAB 于 D, ./ ACD +/A = 90 . B = / ACDBC cos / ACD =cosB =AB1例 6.如图在 ABC 中，/ A = 30 , tanB = , BC = Y10,求AB的长。 3E分析：根据条
11、件知： ABC不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形。 解：过C点作CD LAB于D,设CD = x在 RtAACD 中，Z A = 30 .tai30。=-AD .ADx.3二3x在 RtzXBCD 中，tan B = CD =1BD 3BD = 3x.222又BC -CD BD. . ( 10)2 = x2 (3x)2x= 1. .AD = 3x = 3BD = 3x = 3. .AB = AD BD = 33【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、填空题：,1。,2。1 .求值：一 x sin 60 X cos45 =。2 22. 在 RtAABC 中，/ C=90 , a= 1,
12、 b = 2,则 cosA =3. tan10 - tan20 - tan30 - tan70 - tan80 =。4. AABC 中，/ C = 90，若 sin A =2 ,则 tanB =。35. j(cos45-1)2 -|tan60-sin30 | =。6. J3tan(80 口)= 1,贝Ua=o7. 在 RtA ABC 中，/ C= 90 , 3a = 45时,B. 90 C. 105sinA的值()D. 1207，一 2A.小于2B.大于红2C.小于学11.已知0 90 , sin豆=cos30 ，则豆=(C. 45D.无法确定A. 30B. 6012 .下列结论中不正确的是（
13、A. sin48 37 ： cos410 2022B. RtzXABC 中，/C=90 ,则 sin A + cos A = 1C. RtAABC 中，/ C=90 ，贝U tanB sin B = cosBbD. Rt ABC 中，/C=90 , AC = b,则 AB =sin B13 .如图CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角a （入 射角等于反射角），ACCD, BDLCD,垂足为 C、D,且 AC = 3, BD = 6, CD= 11,贝U On a =（ ）11A.314.如果/ A为锐角，且A. 0 A30C. 45:二 A :二 6015.如图
14、RtAABC 中, ( )4A.33B.11A 1 cos A = 一 ，49C. 一1111D.一9B.D./ ACB =90300600:二 A :二 45 A 90,CDXAB 于 D,若 AC = 4, BC = 3,贝U sin/ACD3B.44C.53D. 一5三、解答题:16.计算:(1) 、(1 -sin45 )2 -|2sin60-sin30 |(2) 1sin60 + cos45 +sin30 , cos30 222tan3021 - tan2 3017.如图 RtAABC 中，/ C=90 , b= 8, Z A 的平分线AD=0求/B及3值。18.如图在等腰 ABC中，
15、AB=AC,若AB=2BC,试求/ B的正弦值和正切值。19. RtAABC，、一 2中，/ C= 90 ,万程x 3sin A x + 3sin A -1 = 0有两个相等的实数根,斜边为c,方程2cx -2X+c = 0也有两个相等的实根，求这个直角三角形的三边的长。20.如图在ABC中，AD是BC边上的高,tanB= cos/ DAC 。(1)求证：AC = BD o12(2)右 sin C = BC 12 ,求 AD 的长。13学习永应不嗓，一一高尔基【试题答案】-、填空题：,31. 一82.2,55.33.3,5 4.25.6. 507. 308.23,12 8、3二、选择题:9.
16、C13. D10. B14. D11. B15. C12. C三、解答题:16.解:(1)(2)1、, 原式=一乂2M3-2 3.2、3+ -X21-()23 3 1= 十2217.解:在 RtAADC 中，AC = 8, AD16.3AC 8, 3又 cos / DAC =尸=AD 16 323 ./ DAC =30又AD平分/ BAC ./ BAC =60 , Z B = 30c= 16, a= 8318.解：如图，过A点作ADBC于DC. AB =AC , AB =2BC-1BD = CD = AB4设 BC =2a,贝UBD =a, AB = 4a在 RtAABD 中，AD =)AB2
17、 - BD2 = J(4a)2 - a2 = vT5a,c AD15a.15sin B =AB4a4t a rBADBD219.解：:万程x 3sinAx+3sin A -1 = 0有两个相等的头根(-3sir A)2 -4(3sln A -1) -0一 2一一9sin A -12sln A 4 =02(3si nA-2)2 =02 . sin A =3又 方程cx2 -2x+c = 0也有两个相等的实根22(-2)2 -4c2 =0c= 1 (负值舍去)C=90 , .在RtAABC 中.a sin A = c22a = c =332-a二一了20. ( 1)证明：在RtAABD 和 RtAADC 中,，tanB = BDAD cos / DAC =AC又 tanB = cos / DACAD ADBD ACBD=AC13k(2)在 RtAABC 中，由 sinC12一，设 AD = 12k,贝U AC13.CD = 5kBC= 12由(1)知，BD= AC = 13k,又 13k+5k =12,