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1、第2章2.3.2 第1课时jG吕维1域考题、验能力I、轻巧夺冠!用心爱心专心-4 -（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题（每小题5分，共20分）1 .下列说法中，正确的是（）A.平面内与定点Fp, 0加定直线x=p的距离相等的点的轨迹是抛物线 2 2B.抛物线x2=2my的焦点坐标为（0, ；,准线方程为y=? X yC.准线方程为x=4的抛物线的标准方程为 y2=8xD.焦准距（焦点到准线的距离）为p（ p0）的抛物线的标准方程为y2= 2 px答案： B2 .边长为1的等边三角形 AOB O为原点，AHx轴，以O为顶点且过 A B的抛物线方B- y2=63xC.y2Y
2、d. y解析：当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2=2px（p0）.；A普14=p即 p=i23. y2=；i63x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为y2=-3x.答案： B3 .已知抛物线y2= 2px（p0）的焦点为F,直线y=2x交抛物线于 Q A两点，直线 AF交 抛物线于另一点 B,则tan / AO& （）A. 2B.4C.D.3解析：由匕:：2xpx得心“ f30，：吸-pj. ./AO& 2/AOF tan/AOF= 2,tan / AOB=2tan /AOF _ 1-tan2ZAOF答案： D4.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（aw 0）的焦点F,且和y轴
3、交于点A,若 OAFO为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）A. y2= 4 xB. y2= 8 xC. y2= 4xD. y2= 8x解析：y2=ax（aw。）的焦点坐标为ia, 0.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2aj回=4,2，解析:6,则抛物线a 1 | a| 令 x=0, y=- 2. -2X-4a2 = 64,. .a=8,所以抛物线方程为 y2=8x,故选B.答案： B二、填空题（每小题5分，共10分）5.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为解析：设P（m2, m）,准线为x=-1,顶点为（0,0）,4m2-；4） =m2 2+ m2, m
4、2=8-.Pl + 二8, - 4答案：8,T6.抛物线y2=2px（p0）上一点M的纵坐标为依/2,这点到准线的距离为 方程为.16点M的横坐标为一, P16 P ,- -p- + 2 = 6,解得 p=4或p=8,故抛物线方程为y2= 8x或y2= 16x.答案：y2=8x 或 y2=16x三、解答题（每小题10分，共20分）7 .若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且| AM =，万，| AF = 3,求此抛物线的标准方程及准线方程.解析： 设所求抛物线的标准方程为x2 = 2py（ p0）,设 7x0, yo),p.1 | AF| = 3,
5、yo+ 2=3, I AM = i7,x2+ 1 yo+ p 2= 172，x2=8 代入方程 x2=2py0得，8=2p132)解得p= 2或p= 4.，所求抛物线的标准方程为x2= 4y或x2= 8y,其准线方程为丫=一1或丫=一2.8.已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36,求弦所在的直线方程.解析：二焦点的弦长为36,弦所在的直线的斜率存在且不为零.故可设弦所在直线的斜率为k,且与抛物线交于 A(xi, yi), B(x2, y2)两点.2抛物线y=4x的焦点为F(1,0).，直线的方程为y=k(x1).整理得 k2x2(2k2+4)x+k2=0(kw0).y= k x-1由2y
6、=4x2k2+4xi + x2= .卜2.|AB = |AF+|BF=xi + x2+ 2 = 2 + 2. kp2k2+4, x/2又| AB = 36, . 一m一+2=36, -k= 4，所求直线方程为y=(x 1)或y=乎(x1).尖子生题库A B两点.9. (10分)已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于(1)若|AF|=4,求点A的坐标;(2)求线段AB的长的最小值.解析： 由y2 = 4x,得p= 2, 其准线方程为x=- 1,焦点F(1,0) 设 A(xi, yi), B(x2, y2).(1)由抛物线的定义可知.|AF=xi+p,从而 xi = 4-1 = 3.代入y2=4x,解得yi=2斓.点 A的坐标为(3,2。3)或(3, 243).(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-i).y=k x1与抛物线方程联立，得2y =4x消去 y,整理得 k2x2(2k2+4)x+k2=0, 因为直线与抛物线相交于A B两点，则kw。，并设其两根为 xi, x2,则 xi + x2= 2+ 7.由抛物线的定义可知,4 .| AB = xi+ x2+ p= 4 + r24, k当直线l的斜率不存在时，直线 l的方程为x=i,与抛物线交于 A(i,2) , B(i , 2),此时| AB = 4.所以|AB4,即线段AB的长的最小值为4.