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1、18.1勾股定理第1课时勾股定理学习目标1 .经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程， 体会数形结合的思想；（重点）2 .掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.（重点）教学过程一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯 树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角 形.各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究a、b,斜边探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形.求证：a2+b2 = c2解析
2、：从整体上看，这两个正方形的边长都是a+b,因此它们的面积相等.我 们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理.证明：由图易知，这两个正方形的边长都是 a+b, .它们的面积相等.左11边的正万形面积可表小为a2+b2 + 2abx4,右边的正万形面积可表小为 c2+-ab X4； a2+b2+2abX4 = c2+2abX4,a2+b2 = c2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法， 建立相等关 系，从而验证勾股定理.变式训练：见学练优本课时练习”课后巩固提升”第 11题探究点二：勾股定理类型 直接利用勾股定理求长度BO 3cm, CD) AB如图，已知在
3、 ABC中，/AC况90 , AB= 5cm交AB于点D,求CD的长.11解析：先运用勾股定理求出AC的长，再根据Smbc= 2AB CD= AC - BC,求出CD的长.解：二.在AABC 中，/ACB= 90 , AB= 5cm, BO 3cm, .由勾股定理得AC2=AB2Bd = 5232=42,.AC= 4cm.又abc= 2AB CD= 2AC BC,CDAC- BC 4X3AB = 512- 125(cm),故 CD的长是5cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边 与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”
4、第 4题类型二利用勾股定理求面积如图，以RttAABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB= 3,则图中 ABE的面积为,阴影部分的面积为:11cC解析：因为 AE= BE, /E= 90 ,所以 Saabe= 2AE- BE= 2Am又因为 aE?+11119bE=aB,所以 2AE =aB,所以 Sk abe= . aB =3 RJ 理可得 S ahc+ S bcf4441c 11cle 1cMAd+BC2.又因为AC2+BC2 = AB2,所以阴影部分的面积为-AB2 + -AE2=AB2 444421c 99 9=2* 32=2.故分别填4, 2方法总结：求解与直角三角形
5、三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之 间的等量关系.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 7题类型三勾股定理与数轴如图所示,数轴上点A所表示白勺数为a,则a的值是（A.乖+1 B.延+1 C加1 D乖解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长， 再根据两点间的距离公式即可 求出A点的坐标.图中的直角三角形的两直角边为 1和2, ，斜边长为寸12 + 22= 乖， - 1到A的距离是 在.那么点A所表示白勺数为 力-1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式， 解答此题时要注意， 确定点A的符号后，
6、点A所表示的数是距离原点的距离.变式训练：见学练优本课时练习”课后巩固提升”第 4题类型四利用勾股定理证明等式求证:如图，已知AD是4ABC的中线.AE2 + AC2 = 2(AD2+CE2).解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AELBC交BC于点E.在4ABC 中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明.证明：如图，过点A作AEBC交BC于点E.在RtAABE、RtAACE和RtAADE 中，AB2 = AE2+BE2, AC2 = AW + C色 AE2 = AD2E, . AB2+AC2 = (AE2+B) + (Ag + CE?)=2(AD2-ED2)+ (DB DEI2+ (DC
7、+ DE2=2AD2 2ED2+ DB2-2DB DE + DW+DC2 + 2DCDE+ Dm=2AD2+DE2+DC2+2DE(DC DB),又: AD MAABC的中线，BD)= CD, a AE2 +AC2 = 2AD2 + 2DC2 = 2(AD2+ CD2).方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来. 一 般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题.类型五运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A；且BC= 3,则AM的长是()A. 1.5B. 2 C
8、. 2.25 D, 2.5解析：连接 BM, MB.设 AM = x,在 RtAABM 中，AB2+AM2=BM2 在 Rt MDB中，B M2=MD2+DB2. . MB=MB，. AB2 +AM2= BM2= B M2=MD2 + DB2,即 92 + x2=(9 x)2+(93)2,解得 x= 2,即 AM = 2.故选 B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为 x,然后用含有x的式子 表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.变式训练：见学练优本课时练习”课后巩固提升”第 10题类型六分类讨论思想在勾股定理中的应用在4ABC中，AB= 20, AO 15, AD为
9、 BC边上的高，且 AD= 12,求4ABC的周长.解析：应考虑高AD在 ABC内和 ABC外的两种情形.解：当高AD在4ABC内部时，如图.在RtAABD中，由勾股定理，得BD2 = AE2-AD2 = 202-122=162, BD= 16.在 RtAACD中，由勾股定理，得 CD2= AC2AD2= 152122 = 81, a CD= 9.；BO BD+ CD= 25, .ABC 的周长为 25 + 20+15 = 60;当高AD在 ABC外部时，如图.同理可得BD= 16, CD= 9.BO BD- CD =7,.ABC的周长为7+ 20+15= 42.综上所述， ABC的周长为42
10、或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝 角三角形的情况.如在本例题中，易只考虑高AD在 ABC内的情形，忽视高AD 在 ABC外的情形.变式训练：见学练优本课时练习”课后巩固提升”第 8题第2课时勾股定理的应用学习目标1 .会用勾股定理解决一些简单的实际问题；（重点）2 .通过对实际问题的探讨，培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学过程一、情境导入一个门框的宽为1.5m,高为2m,如图所示，一块长3m,宽2.2m的薄木板 能否从门框内通过？为什么？二、合作探究探究点：勾股定理的应用类型 勾股定理的直接应用八 I ， |ij 少J / 7 5 , H J /
11、 | ， |/、八jq/JH AR/ I ， /I H 厂 4 IO J BC的长为13m,此人以0.5m每秒的速度收纯.问6秒后船向岸边移动了多少（假 设绳子是直的，结果保留根号）？解析：开始时，AO 5m, BO 13m,即可求得AB的值，6秒后根据BC, AC 长度即可求得AB的值，然后解答即可.解：在 RttAABC中，BC= 13m, AC= 5m,则 AB= RbC aC =12m, 6 秒后,B C= 10m,则 AB= bIB1 C2-AC2 = 543m,则船向岸边移动距离为(12 5y/3)m.方法总结：本题直接考查勾股定理在直角三角形中的运用，求出 6秒后AB 的长度是解
12、题的关键.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 2题类型二 利用勾股定理解决方位角问题一北D FSB如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东600 方向走了 100V3m到达B点，然后再沿北偏西300方向走了 100m到达目的地C 点，求出A、C两点之间的距离.解析：根据所走的方向可判断出 ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出 解.解：AD/ BE, ./AB/ DAB= 60 ./CB已 30 , /ABO 180 /ABE /CB已 180 60 30 = 90.在 RttA ABC 中，AB=100V3m, BO 100m, /.AO/AB2+BC2 = (
13、1003) 2+1002 = 200(m), A、C 两点之间的 距离为200m.见学练优本课时练习”课后巩固提升”第 1题利用勾股定理解决最短距离问题方法总结：先确定是直角三角形，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长.变式训练：【类型三】I.SJI 3长方体的长 BE= 15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上，且CM=5cm, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图所示，AM=W02+(20+5) 2 =5的 (cm);如图所示， AM = M202+ ( 10+ 5) 2 = 25(cm);如图所示，
14、AM = 4 (20+ 10) 2 + 52 = 5737(cm). FcmAScmAZScm, .第二种短些，止匕 时最短距离为25cm.答：需要爬行白最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况， 故对长方体相邻的两个面展 开时，考虑要全面，不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很 多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右 面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可.变式训练：见学练优本课时练习”课后巩固提升”第 8题类型四勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图,在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同
15、时发现地面上 C处有一筐水果，一只猴子从 D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在 A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经 过的路程都是15m,求树高AB.解析：RtzXABC中，/B= 90 ,则满足 AB2+Bd = AC2.设 BO am, AO bm , AD= xm,根据两只猴子经过的路程一样可得 10+a = x+ b= 15解方程组可以求 x的值，即可计算树高 AB= 10+x.解：RtzXABC 中，/B=90 ,设 BO am, AC= bm, AD=xm,贝 U 10+ a = x + b=15.；a=5, b=15 x.又在 RtAABC 中，由勾股定理得(10 + x)2+a2=b2, . . (10+ x)2 + 52=(15 x)2,解得 x= 2,即 AD= 2m,.AB= AD+DB= 2+10= 12(m).答：树高 AB 为 12m.方法总结： 勾股定理表达式中有三个量， 如果条件中只有一个已知量， 通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解变式训练： 见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 5 题