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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文科)(选择题共60分)、选择题：本大题共 12小题，每小题5分,(1)【2015年福建，文1 (A) 3,-2【答案】A【解析】由已知得3 2i(2)【2015年福建，文5分】若1 i 2(B) 3,2共3i60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.a bi ( a,b R, i是虚数单位)(C)3,-3则a,b的值分别等于()(D)-1,4a bi ,故 a 3 ,5分】若集合M(A)0【答案】D【解析】由交集定义得(3)【2015年福建，文(A) y 4【答案】D【解析】函数y Jx和(4)【2015年福建，文 则输出y
2、的值为(A) 2【答案】C(B) 12,故选A.2 x 2 , N(C)0,1,2 , 0,1,2N等于(D)0,1I N 0,1 ,故选D.5分】下列函数为奇函数的是()(B) y ex(C)ex是非奇非偶函数；y cosx是偶函数;5分】)(B)阅读如图所示的程序框图,(C) 8【解析】该程序表示分段函数2,则f2(5)【2015年福建，文5,5分】若直线0,bcosx(D)阅读相应的程序.(D) 128若输入x的值为0过点1,1 ,则ab的最小值等于(A) 2【答案】C(B)(C) 4(D)【解析】由已知得1a，则a bb a,因此a 0,b 0 ,所以22时取等号，故选C.(6)【20
3、15年福建，文6为第四象限角，则tan的值等于(A) 5【答案】D(B)125(D)_512【解析】由sin ，且13(7)【2015年福建，文(A)32【答案】A为第四象限角,cos.1 sin2sinr5分】设a(B)1,21,1(C)r【解析】由已知得c1,2k 1,1 k1,k因为rc,则Zbr c,cos故选A.(8)【2015年福建，文8,5分】如图，矩形ABCD 中,占八、0,因此x e1,是奇函数，故选D.5.-,故选12D.则实数k的值等于(D)0,解得A在x轴上，点B的坐标为1,0 .且点C与点D在函数f x阴影部分的概率等于(1(A) 16【答案】Bx 11-x2)(B)
4、【解析】由已知得B 1,0 , C故该点取自阴影部分的概率等于0的图像上.若在矩形 ABCD内随机取一点，则该点取自 0(C)31 (D)22,2F 0,1，则矩形ABCD面积为3 2 6,阴影部分面积为1 一，故选B.4(9)【2015年福建，文9, 5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(A) 8 2/2(B) 11 2&(C) 14 272(D) 15【答案】C【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为的两底分别为1,2,直角腰长为1 ,斜腰为短.底面积为积为2 2 4 272 8 2展,所以该几何体的表面积为(10)【2015年福建，文10x y5分】变
5、量x, y满足约束条件 x 2ymx y11020的直四棱柱，且底面直角梯形1 ,，一-3 3,侧面积为则其表面2272 ,故选C.最大值为2,则实数(A) -2【答案】C【解析】将目标函数变形为m等于()(B) -1(C) 1(D) 20 ,若 z 2x0时，不满足题意;m 0y 2xz,当z取最大值，则直线纵截距最小,时，画出可行域，如图所示,其中B是最优解，代入目标函数得42m 1(11)【2015年福建，文11, 5分】已知椭圆22m 12m2m 12xE ： 2a-m- .显然O 2m 12,解得2 y2 b直线l :3x4y 0交椭圆E于A,B两点.若|AFBF1,占八、0,0不是
6、最优解，故只能B 上一2m 12mI2m 1故选C.的右焦点为F .短轴的一个端点为M到直线l的距离不小于-,则椭圆E的5离心率的取值范围是(A)0,(B)0，4(C)3彳,12(D)4，1【答案】A【解析】设左焦点为F ,连接AF1 , BF1则四边形BFiAF是平行四边形,故AFi心率的取值范围是0,b ,则也上故b 1 ,从而a2 c2 1 550,乎，故选A.0 c2BF|,所以 |AF1 |AF| 4 2a,3, 0 c V3,所以椭圆E的离(12)【2015年福建，文12, 5分】 对任意x 0- , ksinxcosx x”是k 1”的()2(A)充分而不必要条件(B)必要而不充
7、分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】Bkk【解析】当 k 1, ksinxcosx -sin 2x ,构造函数 f x -sin2x x,贝U f x kcos2x 1 0.故 f x 在221时，不等式 ksinxcosx x等故g x在x 0,-递增，故2x 0,-单调递增，故f x f2，-1价于-sin2x x ,构造函数 g x2 0 ,贝U ksinxcosx x;当 k221-sin2x x ,贝U g x cos2x 1 0 , 2 0,贝U sin xcosx x .综上所述, 2对任意x0,2,ksinxcosx x是k 1的必要不充分条件，故选 B.
8、第n卷(非选择题共90分)、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.(13)【2015年福建，文13, 5分】某校高一年级有 900名学生，其中女生 400名，按男女比例用分层抽样的方 法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 .【答案】2525.C 75 ,则BC等于.-C-,则 BC ACsin A ,所以 sin Asin B【解析】由题意得抽样比例为2 ,故应抽取的男生人数为 500 900 2020(14)【2015年福建，文14, 5分】若 ABC中，AB * , A 45 , 【答案】.2【解析】由题意得 B 180 A
9、 C 60 .由正弦定理得A sin B3 二BC 一.3 2单调递(15)【2015年福建，文15, 5分】若函数f x 2|x a a R满足f 1 x增，则实数m的最小值等于【答案】12x 1 ,由复合函数单调性得f x在【解析】由f 1 x f 1 x得函数f x关于x 1对称，故a 1 ,则f x1, 递增，故m 1,所以实数m的最小值等于1.(16)【2015年福建，文16, 5分】若a,b是函数f x2x px q p 0,q 0的两个不同的零点，且a,b, 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q的值等于【答案】9【解析】由韦达定理得 a b p,
10、 ab q,则a 0,b 0 ,当a,b, 2适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故a b q 4, b 4,当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当 a是等差中项时，a4482a 2,解得a 1,b 4；当是等差中项时，a 2 ,解得a 4, b 1 ,综上所述，a b p 5, aaa所以p q 9 .三、解答题：本大题共 6题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(17)【2015年福建，文17,12分】等差数列an中，a24,包a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn 2an 2 n,求 b, b2 b3 L b。的值.6d,解得15a1d 4解：(
11、1)设等差数列an的公差为d .由已知得 _a1 3da1所以 an a1 n 1 d n 2 .(2)由(1)可得bn 2n n ,所以23102 22 L 21 2 3 L 102310bi b2 b3 L bi02 12223 L 21010_2 1 21 10101111211 255 211 53 2101 .(18)【2015年福建，文18, 12分】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全网传播 2015年某全国性大型活动的省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20名的 省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号分组频
12、数14,5225,6836,7747,83(1)现从融合指数在 4,5和7,8内的 省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有 1家的融合指数在7,8的概率;(2)根据分组统计表求这 解：解法一：(1)融合指数在7,8内的Bi , B2 .从融合指数在Ai , A3 , A2 , A3 ,20家省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.省级卫视新闻台”记为A, A2, A；融合指数在4,5内的 省级卫视新闻台”记为4,5和7,8内的 省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：A,4 ,Ai,Bi ,A2,B1中，至少有1家融合指数在 7,8内的基本事件是:,A2,B2A , A2A2,B
13、2 , A3,B1 , A3,B2 ,共9个.所以所求的概率 PA3,BiA, A3 ,9,A3,B2 , IA2,A3 , Ai,BiBi,B2 ,共10个.其I , A,B2 , A2,Bl ,(2)这20家 省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.52201085.5 -2076.5 7.52036.05 .20解法二：(1)融合指数在7,8内的 省级卫视新闻台”记为A, A2,A；融合指数在B1, B2.从融合指数在 4,5和Ai , A3 , A2 , A3 , A1, Bi ,7,8内的 省级卫视新闻台”中随机抽取4,5内的 省级卫视新闻台”记为2家的所有基本事件是：Ai,A2 ,
14、中，没有1家融合指数在 7,8A2,B1A2,B2 ,A3,BiA3,B2 ,Bl,B2，共10个.其内的基本事件是:B,B2 ,共1个.所以所求的概率 P1191 10 10(2)同解法一.(19)【2015年福建，文19, 12分】已知点F为抛物线且加3.2E : y 2px(1)(2)求抛物线E的方程；已知点G 1,0 ,延长AF交抛物线E于点B 切的圆，必与直线GB相切.证明：以点解：解法(1)由抛物线的定义得 AF 2.因为AF3,即2卫3,2所以抛物线E的方程为y2因为点A 2,m在抛物线E:2 Px上，所以m272,由抛物线的对称性，不妨设F为圆心且与直线GA相p 0的焦点，点A
15、 2,mF 1,0可得直线AF的方程为y2V2 x 1 .由解得x 2或x亚.又G 1,0，所以kGA产y2 y01得 2x2 5x2 0,所以kGA Kgb0 ,从而 AGF4x2 23kGB. 2 011 2BGF ,这表明点F到直线GA, GB的距离相等,故以F为圆心且与直线 GA相切的圆必与直线 GB相切.解法二：(1)同解法一.(2)设以点F为圆心且与直线 GA相切的圆的半径为r .因为点A 2,m在抛物线E : y2 4x上，所以m2J2,由抛物线的对称性，不妨设 A 2,2 & -由A 2,2 J2 , F 1,0可得直线AF的方程为y 2金x 1 .由y 2 2 x2y 4x5
16、x 21 一一 10,解得x 2或x ,，从而B -, 22加 .又 G 1,0 ,故直线GA的方程为22x 3y从而r又直线GB的方程为2 2x 3y所以点2 2 2 24,2s/8-9历.2 2 2.2F到直线GB的距离r !一, 1,8 94、2 r 17这表明以点F为圆心且与直线 GA相切的圆必与直线 GB相切.(20)【2015年福建，文20, 12分】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于AB的点,PO垂直于圆O所在的平面，且 PO OB 1 .(1)若D为线段AC的中点，求证 AC 平面PDO ;(2)求三棱锥P ABC体积的最大值；(3)若BC J2,点E在线段PB上，求CE
17、 OE的最小值.解：解法一：O所在的平面，所(1)在 AOC中，因为OA OC , D为AC的中点，所以 AC OD .又PO垂直于圆(2)以PO因为点AC .因为DO I PO O ,所以AC 平面PDO .C在圆O上，所以当CO AB时，C到AB的距离最大，且最大值为 1.(3)又AB2,所以 ABC面积的最大值为.又因为三棱锥P ABC的高PO 1,故三棱锥P ABC体积的最大值为13在 POB 中，PO OB 1 , POB 90,所以PB所以PB PC BC .在三棱锥 P ABC中，将侧面Ji2 i2 应.同理pc &BCP绕PB旋转至平面 BCP使之与平面 ABP共面，如图所示.
18、当 O, E, C又因为OP OBOC OE ECCP22C B ,所以OC垂直平分，亦即CE共线时，CE OE取得最小值.PB,即E为PB中点.从而OE的最小值为贬灰2解法二：(1) (2)同解法一.(3)在 POB 中，POOB所以PB PC BC ,所以POB 90 ,所以CPB 60 .在三棱锥OPB 45 , PB 七12 12 a .使之与平面 ABP共面，如图所示.当 O由余弦定理得:OC 2 1 2 2 1 /2 cos 45从而OC 23(21)2015年福建，文P ABC中，将侧面 BCP绕PB旋转至平面 BCP,共线时,601店F .所以ce OE的最小值为21, 12分
19、】已知函数f x 10V3sin -2CE OE取得最小值.所以在 OCP中,22 2. 2 22 .6x cos22“2 x10cos .2(1)求函数f x的最小正周期;(2)将函数f x的图象向右平移 一个单位长度，再向下平移6图象，且函数g x的最大值为2.(i)求函数g x的解析式；(ii)证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得gx0a 0)个单位长度后得到函数g x的0.解：(1) f x10 J3sin 2x cos- 10cos25 3sin x 5cos x 5 10sin x 56所以函数f x的最小正周期(2) (i)将f x的图象向右平移正整数xo ,使得10si
20、nxo 8 0,口口4.43即sin Xo一 .由一552知，存在00 ,使得sin由正弦函数的性质可知，当 x0,0时，均有sin x4* .因为ysinx的周期为2所以当x 2k 0,2kZ时，均有sin x因为对任意的整数 k , 2k2k 0所以对任意的正整数k,都存在正整数Xk 2k0,2k,使得sinxk亦即存在无穷多个互不相同的正整数小，使得g(22)【2015年福建，文22, 14分】已知函数fln x(1)(2)(3)求函数f 证明：当 确定实数x的单调递增区间;解：(1)x 1 时，f xk的所有可能取值,2x x 1x 1 x 1 ；使得存在x01,x00,时，x 02x
21、恒有解得0 x 0一个单位长度后得到 y 10sin x 5的图象，再向下平移 a (a 0)个单 6位长度后得到g x 10sin x 5 a的图象.又已知函数 g x的最大值为2,所以10 5 a 2,解 得 a 13 .所以 g x 10sin x 8 .(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数Xo,使得g %0,就是要证明存在无穷多个互不相同的的单调递增区间是(3)x 0,.则有F1,时，F x0,所以1, 由 当上单调递减，故当x 1时,x即当x 1时,(2)知，当k 1时，不存在x01满足题意.1时,对于,从而不存在1时，令Gx 0,x 0得,1解得Xi-x02x1满足题意.1 k x 1x2当x从而当1,x2 时,x1,x2时,x 0,G xx在1,X2内单调递增.0 ,即f x k x 1 ,综上，k的取值范围是,1 .