《特殊平行四边形拔高复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特殊平行四边形拔高复习.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章特殊平行四边形拔高复习一特殊平行四边形知识汇总矩形而义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2 .性质：(1)矩形的四个角都是直角(2)矩形的对角线相等(3)具备平行四边形的性质3 .判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)(2)对角线相等的平行四边形是矩形(3)有三个角是直角的四边形是矩形菱形1 .定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2 .性质：(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)具备平行四边形的性质3.判定：(1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(3)四边相等的四边形是菱形正方形1
2、.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2 .性质：(1)边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直(2)内角：四个角都是90 ;(3)对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组 对角；(4)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形(有四条对称轴)。(5)形状：正方形也属于长方形的一种。(6)正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。3.判定：(1)对角线相等的菱形是正方形。(2)有一个角为直角的菱形是正方形。(3)对角线互相垂直的矩形是正方形。(4) 一组邻边相等的矩形是正方形。(5) 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形(6)对
3、角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。(7)对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形。(8) 一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。(9)既是菱形又是矩形的四边形是正方形。二专题整合与拔高专题一特殊四边形的综合应用1、(2013?白银)如图，在 4ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过 A点作 BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD，连接BF.(1) BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当4ABC满足什么条件时，四边形 AFBD是矩形？并说明理由.考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)根据两直线平行，内错角相等求出/ AFE=
4、 / DCE,然后利用 角角边”证明4AEF 和4DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD ,再利用等量代换即可得证；(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知/ ADB=90由等腰三角形三 线合一的性质可知必须是 AB=AC .解答：解：(1) BD=CD .理由如下：. AF/BC,/ AFE= / DCE ,E是AD的中点，AE=DE , rZAFE=ZDCE 在 4AEF 和 4DEC 中，“NAEF 二/DEC,VAE=DEAEFA DEC (AAS), AF=CD , AF=BD , BD=
5、CD ;(2)当ABC满足：AB=AC时，四边形 AFBD是矩形. 理由如下：: AF/BD, AF=BD , 四边形AFBD是平行四边形， AB=AC , BD=CD , ./ ADB=90 , ?AFBD是矩形.173 D C点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.2、(13年山东青岛、21)已知：如图，在矩形 ABCD中，M、N分别是边 AD、BC的中点，E、 F分别是线段BM、CM的中点(1)求证： ABMA DCM(2)判断四边形 MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD: AB
6、=时，四边形 MENF是正方形(只写结论，不需证明)解析：(1)因为四边形 ABCD是矩形，所以，ZA= Z D= 90。，AB= DG 又 MA= MD所以， ABMA DCM(2)四边形MENF是菱形；理由：因为 CE= EM, CN=NB,所以，FN/ MB,同理可得：EN/ MC,所以，四边形MENF为平行四边形，又 ABMA DCMI-I二一 .1肛.=三 MR. /=更MW = HF，耳赤西边形9在R?,造荽彩(3) 2: 13. (2012珠海，18, 7分)如图，把正方形 ABCD绕点C按顺时针方向旋转 45得到正方形 A BCD(此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长
7、线上)，A B交AD于点E,连结AA、CE.求证：(1) AADACDE(2)直线CE是线段AA的垂直平分线.【解析】(1)由题设可得 AD= DC, /ADA = Z CDE= 90 , DA = DE. .ADA 9 CDE.(2)证CE是/ACA的角平分线，由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA的垂直 平分线.【答案】(1)由正方形的性质及旋转，得AD= DC,/ADC=90 ,AC = A C, / DA E= 45 ,/ADA = / CDE= 90 , ./DEA = / DA E= 45 . .DA = DE. .ADA 9C CDE.(2)由正方形的性质及旋转 彳导CD
8、= CB , /CB E= Z CDE= 90 ,CE=CE, .,.RtACB，E RtACDE/. AG= A C,.直线 CE 是线段 AA的垂直平分线.【点评】本题要求综合应用正方形的性质，旋转变换，三角形全等的判定，等腰三角形的“三线合一 ”，线段垂直平分线的判定等知识解决问题是一道证线段垂直平分线的典型范例.第18题图专题二构造特殊四边形解决问题1.如图，RtAABC中，/ C=90,以斜边 AB为边向外作正方形 ABDE ,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知 AC=5, OC=6。力，则另一直角边 BC的长为 7 .考正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.占八
9、、专计算题；压轴题.题：分 过。作OF垂直于BC,再过 A作AM垂直于 OF,由四边形 ABDE为正方形，得到 OA=OB , / AOB 析： 为直角，可得出两个角互余，再由 AM垂直于MO,得到AAOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等， 再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出AAOM与ABOF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出 AM=OF ,OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到 ACFM 为矩形，根据矩形的对边相等可得出 AC=MF , AM=CF ,等量代换可得出 CF=OF ,即ACOF为等腰直 角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理
10、求出 OF与CF的长，根据OF-MF求出OM的长，即为FB 的长，由CF+FB即可求出 BC的长.解 解法一：如图1所示，过。作OFLBC ,过A作AM LOF, 答：.四边形ABDE为正方形， / AOB=90 , OA=OB , / AOM+ / BOF=90 ,又/ AMO=90 , .AOM+ / OAM=90 / BOF= / OAM ,在AAOM和ABOF中，/AMO/OFB= 90 NO 吐 NBOF, . AOM 9+ BOF (AAS ), AM=OF , OM=FB ,又/ ACB= / AMF= / CFM=90 , 四边形ACFM为矩形，AM=CF , AC=MF=5
11、, .OF=CF, . OCF为等腰直角三角形，,.OC=6 加， 根据勾股定理得：CF2+OF 2=OC 2,解得：CF=OF=6 ,FB=OM=OF FM=6 5=1, 则 BC=CF+BF=6+1=7 .故答案为：7.解法二：如图2所示，过点O作OM，CA ,交CA的延长线于点 M ;过点 O作ON BC于点N . 易证OMAAONB, OM=ON , MA=NB . .O点在/ ACB的平分线上， .A OCM为等腰直角三角形.,OC=6&,CM=ON=6 .MA=CM AC=6 5=1 ,BC=CN+NB=6+1=7 .故答案为：7.c v B2、（2013 聊城）如图，四边形 AB
12、CD 中，/A=/BCD=90, BC=CD , CEXAD ,垂足为 E:求证：AE=CE叵上考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质. 专题：证明题.分析：过点B作BFLCE于F,根据同角的余角相等求出/ BCF= ZD,再利用 角角边”证明 BCF和4CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形 AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF ,从而得证，解答：证明：如图，过点 B作BFLCE于F,. CEXAD , . D+/ DCE=90 , . / BCD=90 , ./ BCF+ Z DCE=90 , ./ BCF=Z D, rZBC?=ZD在BCF
13、和CDE 中，,/CED二NBFC二90。， gCD . BCFACDE (AAS), ，BF=CE ,又,. /A=90 , CE AD , BFXCE, 四边形AEFB是矩形， .AE=BF , .AE=CE .点评：本题考查了全等三角形的判定与性质, 出全等三角形与矩形是解题的关键.矩形的判定与性质， 难度中等，作辅助线构造专题三特殊四边形中的动态与变换1、（2013?内江）已知菱形 ABCD的两条对角线分别为 6和8, M、N分别是边BC、CD的 中点，P是对角线BD上一点，则 PM+PN的最小值=5 .考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质.分析：作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交
14、BD于P,连接MP ,此日MP+NP的值最小, 连接AC,求出OC、OB,根据勾股定理求出 BC长，证出MP+NP=QN=BC ,即可得 出答案.CB解：解答：作M关于BD的对称点 Q,连接NQ ,交BD于P,连接MP ,此日MP+NP的值最小, 连接AC, 四边形ABCD是菱形， ACXBD , / QBP=/MBP ,即Q在AB上，MQ BD,AC / MQ , M为BC中点， . Q为AB中点， N为CD中点，四边形 ABCD是菱形， BQ / CD, BQ=CN , 四边形BQNC是平行四边形， NQ=BC , 四边形ABCD是菱形， CO=AC=3 , BO=BD=4 ,在RtBOC
15、中，由勾股定理得： BC=5,即 NQ=5,MP+NP=QP+NP=QN=5 , 故答案为：5.点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定 理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.2. （2014?襄阳，第12题3分）如图，在矩形 ABCD中，点E, F分别在边AB, BC上，且 AE=：AB,将矩形?&直线 EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q, 对于下列名论： EF=2BE;PF=2PE;FQ=4EQ; PBF是等边三角形.其中正确的 是（）A.B.C.D.考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质分析：求出BE=2AE,
16、根据翻折的性质可得 PE=BE,再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出/ APE=30,然后求出/ AEP=60 ,再根据翻折的性质求出/ BEF=60 ,根据直角三角形两锐角互余求出/EFB=30 ,然后根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE,判断出正确；利用 30角的正切值求出PF=VSPE,判断出错误；求出 BE=2EQ, EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,判断出错误；求出/ PBF = Z PFB=60,然后得到 PBF是等边三角形，判断出正确.解答：解： AE=-AB, ,1BE=2AE,由翻折的性质得，PE=BE,APE=30,AEP=9
17、0 - 30 =60 , .Z BEF=1 (180 -Z AEP) =1 (180 -60) =60,22EFB=90 - 60 =30,EF=2BE,故正确； BE=PE,EF=2PE, EFPF,PF2PE,故错误；由翻折可知EFXPB, ./ EBQ=Z EFB=30 ,BE=2EQ, EF=2BE,FQ=3EQ,故错误；由翻折的性质，/ EFB = Z BFP=30, ./ BFP=30+30=60 ,/ PBF=90 - / EBQ=90 - 30 =60 , ./ PBF=Z PFB=60 , . PBF是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是.故选D.点评：本题考查了翻折变
18、换的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的 关键.3. (2014加州，第23题，10分)如图，已知 RtAABC中，/ ABC=90,先把 ABC绕点B顺时针旋转90至4口3后，再把 ABC沿射线平移至 FEG, DF、FG相交于点H.(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；(2)连结CG,求证：四边形 CBEG是正方形.(第5题图)考点：旋转的性质；正方形的判定；平移的性质分析：(1)根据旋转和平移可得/ DEB = /ACB, /GFE = /A,再根据/ ABC=90可得Z A+ / A
19、CB=90 ,进而得到/ DEB + /GFE=90 ,从而得到 DE、FG的位置关系是垂直；(2)根据旋转和平移找出对应线段和角，然后再证明是矩形，后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形.解答：(1)解：FGXED.理由如下： ABC绕点B顺时针旋转 90至4 DBE后，DEB=/ACB, 把 ABC沿射线平移至 FEG , ./ GFE=Z A, / ABC=90 , A+Z ACB=90 , ./ DEB+Z GFE=90 , ./ FHE=90 , FGXED;(2)证明：根据旋转和平移可得/ GEF=90, /CBE=90, CG / EB , CB=BE, CG / EB, ./
20、 BCG+ZCBE=90,/ BCG=90 , 四边形BCGE是矩形， CB=BE, 四边形CBEG是正方形.点评：此题主要考查了图形的旋转和平移，关键是掌握新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.4. （2012河南省）18. （9分）如图，在菱形 ABCD中，AB=2, / DAB=60,点E是 AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点 A重合），延长ME交射线CD于 点N,连接MD、AN。（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；当AM的值为时，四边形AMDN是菱形。专题四方
21、法与技巧数形结合1 .如图（1）所示，在正方形 ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNXDM , 且交/ CBE的平分线于点 N.(1)求证：MD = MN.(2)若将上述条件中“ M是AB的中点”改为“ M是AB上任意一点”，其余条件不变，如 图(2)所示，则结论“ MD= MN还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.2.如图，在边长为 3的正方形 ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1 , / AEP=90 ,且EP交 正方形外角的平分线 CP于点P,交边CD于点F,(1)求证：AE=EP ;(2)在AB边上是否存在点 M,使得四边形 DMEP是平行四边形？若存
22、在，请给予证明；若不存在，请说明理由.考正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定.占八、分 (1)由正方形的性质可得：/ B=/C=90 ,由同角的余角相等，可证得：/ BAE= /CEF,根据同角 析：的正弦值相等即可解答；(2)在BA边上截取BK=BE，连接KE ,根据角角之间的关系得到/AKE= / ECP ,由AB=CB , BK=BE ,得AK=EC ,结合/ KAE= / CEP,证明AKEA ECP,于是结论得出；(3)作DM AE于AB交于点 M ,连接 ME、DP,易得出 DM II EP,由已知条件证明 AADMBAE ,进而证明MD=EP ,四边形DMEP是
23、平行四边形即可证出.解答： (1)证明：在 BA边上截取 BK=BE，连接KE, / B=90 , BK=BE , . BKE=45 , . . / AKE=135 ,CP 平分外角， ./ DCP=45 , .ECP=135 , . . / AKE= / ECP,AB=CB , BK=BE , AB BK=BC BE,即：AK=EC ,由第一问得/ KAE=/CEP, 在 AAKE 和 AECP 中，ZKAE-ZCEP, AK=EC , 、/AKE : N ECP A AKEECP (ASA),AE=EP ;(2)答：存在.证明：作 DM，AE交AB于点M , 则有：DM II EP,连接
24、ME、DP, ,.在 AADM 与 ABAE 中， /ADM =/BAE，AD二BA,lZBAD=ZABE占八、四边形DMEP为平行四边形.D此题考查了相似三角形的判定与性质,此题综口AE=EP , MD=EP , MD E EP .ADM 9+ BAE (ASA), MD=AE ,评：性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.分类讨论1. (2014/感，第9题3分)如图，正方形 OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D (5, 3)在边AB上，以C为中心，把 CDB旋转90,则旋转后点 D的对应点D的坐标是()OA xA.(2,10)B. ( 2,
25、0)C.(2,10)或(2,D.( 10,2)或(2,0)0)考点：坐标与图形变化-旋转.分析：分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可.解答：解：二.点D (5, 3)在边AB上，BC=5, BD=5- 3=2,若顺时针旋转，则点 D在x轴上，OD =2所以，D (- 2, 0),若逆时针旋转，则点 D到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,所以，D (2, 10),综上所述，点D的坐标为(2, 10)或(-2, 0).故选C.点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论.2. （2011 河南省）22. （10 分）如图，在 RtABC中，/ B=90 , BC
26、=5 73 , Z C=30 .点 D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点 A匀速运动，同时点 E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也 随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t0).过点D作DFLBC于点F,连接DE、EF.(1)求证：AE=DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t值；如果不能，说明理由.A(3)当t为何值时， DEF为直角三角形？请说明理由.类比、从特殊到一般思想1、(2013济宁)如图1,在正方形 ABCD中，E、F分别是边 AD、DC上的点，且AF BE.(1)求证：AF=BE
27、 ;(2)如图2,在正方形 ABCD中，M、N、P、Q分别是边 AB、BC、CD、DA上的点，且 MPXNQ. MP与NQ是否相等？并说明理由.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：(1)根据正方形的性质可得 AB=AD , /BAE=/D=90,再根据同角的余角相等求出 ZABE= / DAF ,然后利用 角边角”证明4ABE和 DAF全等，再根据全等三角形的证明即(2)过点A作AF / MP交CD于F,过点B作BE / NQ交AD于E,然后与(1)相同.解答：(1)证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD , Z BAE= Z D=90 , ./ DAF+ / B
28、AF=90 , . AF BE, ./ ABE+ Z BAF=90 ,/ ABE= / DAF , 在 ABE 和 DAF 中,fZABE=ZDAF，AB = AD , ZBAE=ZDABEADAF （ASA）,，AF=BE ;(2)解：MP与NQ相等.理由如下：如图，过点 A作AF / MP交CD于F,过点 B作BE / NQ交AD于E, 则与(1)的情况完全相同.点评:相等,本题考查了正方形的性质,每一个角都是直角的性质,全等三角形的判定与性质， 主要利用了正方形的四条边都 同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2、(2013?绥化)已知，
29、在 4ABC中，/ BAC=90 , / ABC=45 ,点D为直线 BC上一动点(点D不与点B, C重合).以AD为边做正方形 ADEF,连接CF(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证 CF+CD=BC ;(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF, BC, CD三条线段之间的关系；(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点 A, F分别在直线BC的两侧，其 他条件不变；请直接写出CF, BC, CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为2v2对角线AE, DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.BD C B CDE图1图2郅考点：四边形综合题
30、.分析：(1)三角形ABC是等腰直角三角形，利用 SAS即可证明BADCAF,从而证 得CF=BD ,据此即可证得；(2)同(1)相同，利用 SAS即可证得BADCAF,从而证得BD=CF ,即可得 到 CF - CD=BC ;(3)首先证明BADCAF, 4FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可 求得DF的长，则OC即可求得.解答：证明：(1) BAC=90 , /ABC=45, ./ ACB= / ABC=45 ,AB=AC , 四边形ADEF是正方形，AD=AF , / DAF=90 , / BAD=90 / DAC , / CAF=90 / DAC ,/ BAD= / CAF ,
31、则在 ABAD和4CAF中， rAB=AC，ZBAD=ZCAF , 、AD 二 AF . BADA CAF (SAS), BD=CF , BD+CD=BC , CF+CD=BC ;(2) CF- CD=BC ;(3) CD - CF=BC/ BAC=90 , / ABC=45 , ./ ACB= / ABC=45 , AB=AC , 四边形ADEF是正方形， AD=AF , / DAF=90 , / BAD=90 - / BAF , / CAF=90 - / BAF ,/ BAD= / CAF , 在 ABAD 和 4CAF 中， rAB=AC /BAD :/CAF tAD=AF . BADA
32、 CAF (SAS), / ACF= / ABD , / ABC=45 , ./ ABD=135 , ./ ACF= / ABD=135 , ./ FCD=90 , . FCD是直角三角形. 正方形ADEF的边长为2、&且对角线AE、DF相交于点O.DF=&AD=4 , O 为 DF 中点.OC=-DF=2 .2点评：本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键.3、（2011牡丹江中考）已知：正方形 ABCD中，NMAN =45,2MAN绕点A顺时针旋 转，它的两边分别交 CB, DC （或它们的延长线）于点 M , N .当/MAN绕点A旋转到BM = DN时（
33、如图1）,易证BM + DN = MN .图2（1）当ZMAN绕点A旋转到BM D DN时（如图2）,线段BM , DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明.（2）当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段 BM , DN和MN之间又有怎样 的数量关系？请直接写出你的猜想方程思想1 .如图，四边形 ABCD为矩形纸片，把纸片 ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD= 6,则AF等于（）EBCAA. 4/3 B . 3y13 C . 4& D , 82、（2013达州）如图，折叠矢I形纸片 ABCD,使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分 别在AR BC上（含端点），且AB=6, BC=10O设AE=x,则x的取值范围是.答案：2WxW 6解析：如图，设 AG= v,则BG=6-y,在RtAGAE中，88x2 + y2= （6 y） 2,即 x = 36 T2 y （ （0 y -）,当 y=0 时，x取最大值为 6；当 y=33时,x取最小值2,故有2WxW617