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1、阶段性测试题六（数歹U）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。第1卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. （20112012 重庆期末）已知正项等比数列an中，aia5=2,则a3=（）A. 2B. 2C. 4D. 2 2答案A解析a2= aQ= 2, = an0,，a3= g2.A. 8B.2.（文）（20112012 黄冈市期末）已知等比数列an的公比q=2,其前4项和$=60, 则a2等于（）6C. - 8D.一 6答案解析S4=aUL =150,
2、 1-qa1 = 4 - a2= a1 q = 8.（理）（20112012 宿州市质检）等比数列an中,比q的值为（A. 1B.C. 1D.a3 = 6,前三项和S3=4xdx,则公0121一1 或一 2用心爱心专心17答案C解析4=4xdx= 2x2| 0= 18,又 a3 = 6,0|a1 q2= 61 a1 + a2 = 12, i +2，7=1 或2. .993.（又）（20112012 河北五校联盟模拟）已知等差数列an中，a7+a9=16, S1=万,则a12的值是（）A. 15B. 30D. 64C. 31答案A匕7+ a9= 16解析由彳-99Sii =(2ai+14d=16
3、9911ai + 55d= 2, a12 = a+ 11d=15.2(理)(20112012 浙江宁波市期末)设等比数列an的前n项和为4,若a2011 = 3$010 +2012, a2010= 3S2009 + 2012,则公比 q=()A. 4B. 1 或 4C. 2D. 1 或 2答案A、a2011解析两式相减得a2011a2010= 3a2010,= 4.a20104. （20112012 河北衡水中学期末）等差数列an前n项和为Sn,满足S20=S40,则下列结论中正确的是（）A. S3。是Sn中的最大值B. 40是Sn中的最小值C. 40= 0D. S60= 0答案D解析.an为
4、等差数列，S20= S40, a21 + a22+ a40 = 0,Ss0= (a1 + a2+ + a20)+ (a21 + 维 + + a40)+ (a41 + a42+ a60)=3( a21 + a22 + a40)= 0.5.等差数列an的前n项和为S, S=15, S=18,在等比数列bn中，b3=a3, b5=a5,则b7的值为（）B.3D. 32A.3C. 2答案B解析在等差数列an中,ai= 45ai + 10d=15,由i，彳 1的 +36d=18,d= 2a3 = 3, a5= 2.b2 4 b3= 3, b5= 2,所以 b7 = =-.b336. （20112012
5、延边少M质检）已知数列an为等比数列,S是它白勺前n项和.若a2 a35= 2a1,且a4与2a7的等差中项为则9=()4A. 35B. 33C. 31D. 29答案C解析a2 , a3= 2a1,a1q3= 2a1, = a1 w0, ，a1q3=2,即 a4=2,又= a4+2a7=2x4521 q=2,a1= 16,Ss=16125i1-2= 31.7.（文）（20112012 平顶山、许昌、新乡二调）在等差数列an中，若 a + a3=4, a4+ a5=6,则 a9 + a10=()A. 9B. 10D. 11D. 12答案C解析,-an是等差数列，令bn= an+an + 1,则b
6、n也是等差数列，b2=a2+a3=4,b4，“1= a4+a5=6, . .公差 d = 2(也一比)=1, b9= a9+a10= b2 + 7d = 4 +7= 11,故选 C.2兀 一(理)(20112012 安徽东至县一模)已知数列an为等比数列，且a5 - a9= ,则3cos( a2 , a12)=()1 1A. 2B. - 233C.T。一w答案B一,一 2 兀解析,-an为等比数列，a2a12= a5a9=,37tcos( a2a12) = cos-3-= cos(兀)=一12.8.(20112012 辽宁本溪一中、 庄河高中联考）在等比数列an中，d + an=34, a2
7、- an1= 64,且前n项和S=62,则项数n等于（A.B. 5C. 6D. 7答案解析a an= a2 , an 1= 64,ai + an= 34aan= 64a1 = 2得 1-32a1=32或an=2,1q =16 或而.a1= 2, q0 1 = 16 时,2Xl16q 1-q解得n= 5,故选B.9.（20112012 成都双流中学月考，1)已知数列an, bn满足 a1 = 2, an+bn=1, bn+1tn1 a2b2012=(2011A.20122012B.20112012C.20132013D.2012答案解析1 an+ bn= 1)a1 = 2,tnb12上匚#3,1
8、 b23a2=3 b3=r=423=4, b4=b31-a2=45a4= 观祭可见 an= , bn = ,5n+1 n+120124小.b2012= 齐彳W，故选20 13C.10.(文)(20112012 -山东苍山县期末）等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a7+a*B. 54D. 58= 12,则S3等于(A. 52C. 56答案A解析,-an为等差数列，a3+a?+a* = 3a7= 12,，a7= 4,aiai3 Sl3 13X2 a72= 52,故选A.（理）（20112012 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学联考）已知两. Ai 2n+ 1a? .个等差数列a
9、n和bn的前n项和分别是 A和且石=工二,则正等于（）Bn n 十 3b9A. 27B.419C.1213D.21答案B17 ada17 a9 2a9 & 十 &72角牛析 -=.用” b9 2b9 b1 + b17bdb172A7 2X17+1 _7= B7= 17+3 =4.11. (20112012 安徽六校教育研究会联考)数列明满足日=1, a2=1, an+2=(1 +2n 兀2n 兀 一,一,sin -） an+ 4cos ,贝U a9,胡。的大小关系为（）A. a9a10C.a9a10B. a9= a10D.大小关系不确定答案C解析a3= (1 + sin 25)d+4cos2=
10、 2, a，= (1 + sin 2 兀)a?+4cos2兀=5, a5=(1 + sin 2-2-) a3+ 4cos2-2-= 4,易知当 n=2k 1(kCN*)时，an=2k1,当 n=2k(kCN*)时，an= 1 + 4(k-1),a9= 2 1=16, a10= 1+4X(5 1)=17,a92 时，an=& 1=（ 2n2+3n） 2（n1）2 + 3（n1） =5 4n, n= 1时，a= S= 1 也满足，an= 5 4n.14 . （20112012 泉州五中模拟）在等比数列an中，3 = 1,公比q=2.若an=64,则n的值为.答案7解析an= ad 1 = 2n 1
11、 = 64,n = 7.15 .（文）（20112012 江苏无锡辅彳1中学模拟）等差数列an中，S0=120,那么a2 +a9的值是.答案24a1 a10斛析 810=2= 5（ %+ a9） = 120,a2 + a9 = 24.（理）（20112012 大庆铁人中学期末）在数列an中，若a1=2,且对任意的正整数 p,q都有ap+q= apaq,则a8的值为.答案256解析 由条件知 ai=2, a2= ai - ai=4, a3 = a2 - ai = 8,猜想 an=2n,则 a+q=2p+q =2p , 2 q= ap - aq成立,as= 28 = 256.点评 可直接计算得出，
12、a4= a2 , a2=16, as = a4 , & = 256.16 .已知等差数列an中，a2=5, a5=11,其前n项和为S,若等比数列bn满足bi =& , b2= S4,则 bn的前 n 项和 Tn= .答案4(3 n 1)a5 a2解析设an的公差为d,则d = =2,3又 a2= a1 + d = 5,a1 = 3, .S=3n+nX n1X2= n2+2n,b1 = S2 = 8, = &= 24, b2么比 q=m=3,= 4(3n-1).三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或，M算步骤.）17 .（本小题满分12分）（20112012 龙
13、文中学、程溪中学、芳城中学三校联考）等差数列an中，已知 a1=3, a4=12.（1）求数列an的通项公式；（2）若a2, a4分别为等比数列bn的第1项和第2项，试求数列bn的通项公式及前 n 项和S.解析（1）设数列an的公差为d,a1 = 3由已知有，31 + 3d= 12解得d=3.an=3+( n 1) X3= 3n.(2)由(1)得 a2 = 6, a4= 12,则 b=6, b2= 12,b2设bn的公比为q,则q= 2, b1从而 bn=6X2” 1 = 3X2”， 6 1 2n n所以数列bn的前n项和S=：-=6(2 -1).1 218.（本小题满分12分）（201120
14、12 黄冈期末）已知数列an中，a1 = 1,前n项和为3八. .一 .*、S 且 Si+i = 2$ + 1, ( n C N).求数列an的通项公式;、，1一一， ，12 - 一(2)设数列的前n项和为Tn,求满足不等式 Tn2 时，Sn=2 - S1+1,，S+i3s=2(ss 1),an + 1 = 2an.an+13an = 2，口 3又 a1 = 1,得 S2= 2a1 + 1 = aH- a2,3a2 3 a2 = -, 一=-. 2a1 23数列an是首项为1 ,公比为2的等比数列,-an=(|)n 1.3(2) .数列an是首项为1,公比为2的等比数列,-1 I、，, ，2,
15、，数列/是首项为1,公比为3的等比数歹U，2 n113Tn =-21-3=31 -(3)n 3又: $ = 2 (|)n-2,.不等式TnTo化为31 (刍上一-， Sn 十 233 n2即得(TW， 33n= 1 或 n= 2.0,且19.(本小题满分12分)(20112012 绥化市一模)已知等差数列a的公差大于1 bn*a3, a5是万程x214x + 45=0的两个根，数列bn前n项和为3,且&=-2(nC N)求数列an , bn的通项公式;(2)若Cn= An bn,求数列 Cn的前n项和Tn.解析(1) .a3, a5是方程x2 14x + 45=0的两根，且数列an的公差d0,
16、a5 a3.a3=5, a5=9,么差 d=。=2.an= a5 +( n 5) d = 2n 1.又当 n=1 时，有 b1= S = -t,，b1 =鼻,23t 1-1当 n 2 时，有 bn= Sn Sn1 = 2( bn1 bn),bn 1E =3(n2)-，数列5是首项b1 = 1,公比q = 1的等比数列J, 33bn= b1qn 11 3n.(2)由(1)知,2n-1cn= anbn=3n)2n- 1.=31 + 32+33+ F11 3 52n 3 2n-13T+”一十 二+飞小 2T 12222n-1一信3Tn=3+ 3n_ 3，+111112n-1=3+2(32+33+9)
17、一 丁 ,口n + 1整理得=1飞20.(本小题满分12分)(20112012 泉州五中模拟)设数列 an满足条件: =0, a3= 7,数列 an+1 an( n e N)无等差数列.设Cn=an + 1an,求数列Cn的通项公式;(2)若 bn=2” Cn,求 Sn=b1+b2+ bn； 数列an的最小值是第几项？并求出该项的值.解析(1) = an+1 3为等差数列，Cn=an + 1 an,，Cn为等差数歹U,首项 C1 = a2 a1 = - 8,公差 d=C2 C1= 7( 8) =1,，Cn=C1 + (n1)d= 8+(n 1) T = n 9.(2) bn=(n9) 2 nS
18、=(8) 2 1 + (7) 22+ (n 9) 2n2S= ( 8) 2 2+ ( 7) 2 3+ (n 9) 2 s$=( 8) 2 1 + 22+ 23+ 2n (n9) 2 n+1S=(9) 2 1+21+22+23+-+ 2n -(n-9) -2 n+1n+ 1. S=20+(n10) 2(3) an= (an an i) + (an-1 an 2)+ (a3 a2) + (a2 ai) + ain-112_ 192-+17,=(8)+ ( 7)+ + (n- 10) +8 = -2-( 8) + (n 10) +8= 2(n1)( n18) + 8121= 2(n - 19n+18
19、) + 8=2(n一当 n = 9 或 n=10 时，最小值 a9= a1o= 一 28.21.(本小题3t分 12分)(20112012 滨州市质检)已知等差数列an, a3=5, az+a = 16.(1)求数列an的通项公式；2 一(2)设bn=,求数列 bn的刖n项和.anan+1解析(1)由已知a2+a7=16可得24+年=16,又因为 a3=5,所以 a3+a4+a5=21,所以a4=7,d= a4 a3= 2, an = 2n 1.211(2)由(1)可知 bn=-一7-T-anan+1 2n-12n+1设数列 bn的前n项和为S2222S=+ aa2 a2a3 a3a4anan
20、+112n+1)11111111s=(1-3) + (3-5) + (5-7) + (7-9)+- + (2n12n=1 - = -1 2n+1 2n+1.22.(本小题满分14分)(文)(20112012 南通市调研)已知数列an成等比数歹U,且 an0.(1)若 a2 - a1 = 8, a3= m当mi= 48时，求数列a的通项公式；若数列an是唯一的，求 m的值；(2)若 a2k + a2k 1 + + ak+1 (ak+ ak-H-+ a1)= 8, kCN,求 a2k+1 + a2k+2+ a3k的最小值.解析设公比为q,则由题意得q0.由aai=8, a3=m= 48 得，aiq
21、- ai = 8, aiq2= 48.解之得,a=8 2 - y/3 、q= 3十淄.或ai = 82 + *J3=3-y3.所以数列an的通项公式为an=8(2#)(3 +5)n i,或 an=8(2+m)(3 -3)n.要使满足条件的数列a是唯一的，即关于ai与q的方程组aiq - a = 8,2 有唯一正数解，aiq = m即方程8q2m什mi= 0有唯一解.2由 A = m32m= 0, a3=m0 得，m= 32,此时 q=2.经检验，当 m= 32时，数列an唯一，其通项公式是 an=2n+2(2)由 a2k + a2k-1 + ak+i ( ak+a-1 + ai) = 8, 得
22、 ai(qk- i)( qk i+qk 2+ + i) =8,且 qi.&k+i + a2k+2+ a3k= aiq2k(qkT+qk-2+ + i)2k)卜2) 3 2,8q k i广= 8(qT +广当且仅当 qk1 = ；7二，即 q= k/2, ai = 8(k/2i)时，q 一 i&k+i + a2k+2+ a3k的最小值为 32.bn+ bn+2(理)(20ii20i2青岛市模拟)设同时满足条件： 一2-bn+i；bnWMnCU, M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“嘉文”数列.已知数列 an的前n项和S满足：Sa, 一=式 ani)( a 为常数，且 aw 0, awi). a
23、 i(i)求an的通项公式；2S i (2)设bn=i,若数列bn为等比数列，求a的值，并证明此时匚为“嘉又”数列.anbn.，一 一 .一 a解析(i)因为 S=(ai i),所以 ai = a,a i当n2时，an= S Sn i =7an an- ia- i a-i-an- = a,即an是以a为首项，a为公比的等差数列. an-1an = a - an i = an.(2)由(1)知,a,2 x an 一 Ia-1xa an若bn为等比数列，则有b2= b1 , bs,而 b1= 3,b2=3a+2,b3 =a3a2+2a+2故（3a+ 2)2=3 3a2+2a+2解得1a=- 3-一
24、 1，、r再将a=4代入得:3bn=3n,其为等比数列,1所以a=,成立, 3由于1bn+ 1 11,bnbn+ 2（或做差，因为220,所以一2_ 111,1bn=3nw3,故存在加3；bn_,1所以符合，故Q为“嘉文”数列.)V/ Fi. XI, 1/ V备选题库1. (20112012 浙江温州一测n 一 a7)已知数列an?两足 a1=5, anan+1 = 2 ,则一=( a3A. 2B. 4C.5D.2答案解析a1 = 5, anan+1 = 2 ,aa2= 2,2 a2=5,a2a3 = 2：a3= 10, a3a4= 23,4 ,a4=5,a4a5= 24,3=20,a5 a6
25、2 ,8 -a6=5,a6a7= 26,史=4,故选B. a3点评上述解答虽然也能够求得和值，但用时较多，如果注意观察，所给条件ananbn =+ 1=2” 对任意正整数 n 成立，an+ian+2=2n+1,，=2,因此一=2, =2,=4,就ana5a3a3简单多了.2. (20112012 广东韶关调研)设数列an是等差数列，ai+a2+a3=-24, ai9= 26,则数列an前20项和等于()A. 160B. 180C. 200D. 220答案B解析- a1+ a2+ a3= 24,，a2=8,2 u a1 + a20S20= 10( a2+ a19)= 10X( 8+ 26) =
26、180.3. (20112012 北京石景山区期末)对于给定数列cn,如果存在实常数 p、q,使得 cn+1=pcn + q对于任意nCN*都成立，我们称数列Cn是“K类数列”.(1)若an=2n, bn = 3-2n, nCN*,数列a、bn是否为“ K类数列”？若是指出它对应的实常数p、q,若不是，请说明理由；(2)证明：若数列an是“K类数列”，则数列an+an+1也是“ K类数列”；(3)若数列an满足 a1=2, an+an+1=3t 2n(nC N) , t 为常数，求数列an前 2012 项 的和.并判断an是否为“ K类数列”，说明理由.解析(1)因为 an=2n,则有 an+
27、1=an+2, nC N,故数列an是“ K类数列”，对应的实常数分别为1,2 ,因为 bn=3 2n,则有 bn+1=2bn, n N.故数列 bn是“ K类数列”，对应的实常数分别为2,0.(2)证明：若数列an是“K类数列”，则存在实常数 p、q, 使得an+1= pan + q对于任息n N都成立,且有an+2=pan+1+q对于任意nC N*都成立，* ,因此(an+1 + an+2) = p( an+an+1) + 2q 对于任息 nC N都成立，故数列an+an+1也是“ K类数列”.对应的实常数分别为p,2q.(3)因为an+an+1= 3t - 2n(nN*),则有 a+a2
28、=3t- 2,a3+a4=3t 2 3,.2009.2011a2009_|_ a2010= 3t * 2,a2011+ a2012= 3t * 2,故数歹U an前2012项的和S2012 = (a1 + a2) + ( a3+ a4) + + (a2009 + a201。) + (生。11 + a2012) = 3t 2+ 3t 2 + 3t - 2 2009 + 3t - 2 2011= 2t(2 2121),若数列an是“K类数列”，则存在实常数p、q,使得an+1 = pan + q对于任意n C N*都成立，且有an+2= pan+i+q对于任息nC N都成立， *因此(an+1 + an+2) = p( an+an+i) + 2q 对于任息 nC N都成立，而 an+an+i=3t 2 (nC N),且 an+1 + an+ 2=3t ,2(neN),则有3t - 2n+1=3t p2n+2q对于任意nC N*都成立，可以得到 t(p2)=0, q= 0,当 p = 2, q=0 时，an+i=2an, an = 2，t = 1,经检验满足条件.当 t=0, q=0 时，an+i = an, an=2( -1)n 1, p=1 经检验满足条件. 因此当且仅当t = 1或t = 0时，数列an是“ K类数列”.对应的实常数分别为 2,0 或 1,0.用心 爱心 专心18