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1、第八篇立体几何第1讲 空间几何体及其表面积与体积基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、填空题1 .以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数是.2 .在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何 形体是出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边 三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四 面体.6 .如图所示，已知一个多面体的平面展开图
2、由一个边长为 1的正方形和4个边长为1的正 三角形组成，则该多面体的体积是，. .一 .， 9 兀一，一、.，7 . （2013天津卷）已知一个正万体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为-2,则正万体的棱长为8 .如图，在多面体 ABCDEF中，已知 ABCD是边长为1的正方形，且 ADE, BCF均为正三角形，EF/AB, EF = 2,则该多面体的体积为E汨B/A解答题B3 .在三棱锥S-ABC中，面SAB, SBC, SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且 AB=BC = CA=2,则三棱锥S-ABC的表面积是.4 .若圆锥的侧面积为2冗，底面面积为冗，则该圆锥的体积为.5 . （
3、2012新课标全国卷改编）平面a截球。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的 距离为亚，则此球的体积为.9 .如图，在三棱锥 P ABC 中，AC=BC = 2, /ACB=90, AP=BP = AB, PCXAC.P（1）求证：PCXAB;求点C到平面APB的距离.3.如图，已知正三棱柱 ABC AiBiCi的底面边长为2 cm、高为5 cm,则一质点自点 A出 发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 Ai的最短路线的长为 cm.10.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球, 并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.、解答题4.如
4、图 1,在直角梯形 ABCD 中，/ADC = 90, CD /AB, AB = 4, AD = CD = 2,(1)求证：BCL平面ACD;(2)求几何体D ABC的体积.ADC沿AC折起，使平面ADC,平面ABC,得到几何体D ABC,如图2所示.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1 .已知球的直径 SC= 4, A, B是该球球面上的两点， AB=g, /ASC= / BSC= 30, 则棱锥S- ABC的体积为.2 .(2014 南京,K拟)如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB= 1, BC = 2, AC =45, AAi = 3, M为线段BiB上的一动点，则
5、当AM+MC1最小时，4AMC1的面积为.第八篇立体几何第1讲 空间几何体及其表面积与体积参考答案基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、填空题1.解析 命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题题，因 这条腰必须是垂直于两底的腰.命题对.命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆 锥才行.答案1为坐 连接顶点和底面中心即为高，可求得高为 g 所以体积丫4乂於年呼二手. 22326答案噂7.解析 设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,由题意知启3=当，卡3=27,而R 3283444 4 9 43 bl. 、/由于 3a =4R , . a =R =x 口, = 3,a=/3.答案
6、a/38.解析 如图，分别过点A, B作EF的垂线，垂足分别为G, H,连接DG, CH,容易求2.解析 显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；正方体 ABCD AiBiCiDi中，三棱锥Di DBC满足条件.答案3.解析 设侧棱长为a,则42a = 2, a = 2,侧面积为3X2*a2 = 3,3底面积为22 = 43,表面积为3+ J3.答案 3+V3i3i 2 .2得 EG=HF = 2，AG=GD = BH = HC= 2 , Sagd = Szbhc = 22 Xi= 4 ， V= Ve-，cADG
7、 + Vf-BHC + VAGD - BHC = 2Ve- ADG + VAGD - BHC =.X-X-X2解答题9.（i）证明 取AB中点D,连接PD, CD.因为AP=BP,所以PDXAB,因为AC=BC,所以CDXAB.因为PDACD = D，所以AB,平面PCD.因为PC?平面PCD,所以PCXAB.(2)解设C到平面APB的距离为h,则由题意，得 AP = PB = AB =寸AC2 + BC2 = 2f2, 所以 PC=AP2-AC2 =2.一 , i3因为 CD=2AB=V2, PD=+PB=V6,出=2 & r = i,4 .解析 设圆锥的底面圆半径为r,高为h,母线长为I,
8、则j 2。、冗 r=乃 J = 2. h = 1|2- r2 = 2J22 i2 = 43. .,.圆锥的体积 V=:九 243=*冗答案3335 .解析 如图，设截面圆的圆心为 O , M为截面圆上任一点，则OO =2, O M =i, .OM = V（/22+i =6，即球的半径为色，V=3冗43）3 = 4437t.答案4屹冗 / 6解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 i,侧棱长为i,斜高10所以 PC2+CD2=PD2,所以 PCX CD.由(1)得 AB，平面 PCD,于是由 Vc-apb = Va-pdc + Vb-pdc,2.解析 如图，当 AM + MCi 最小时，BM
9、 = 1,所以 AM2=2, CiM2=8, AC2=14,得;h Saapb = ；AB SaPDC 33所以h=S APB故点C到平面APB的距离为2,3310.解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时, 水的深度为3r,水面半径BC的长为V3r,则容器内水的体积为AM2+MC2 AC21/ Lnc于是由余弦定理，得coszAMC1=2AM MC1=一2,所以sin以MC1= 2 , JV= V 圆锥一V球=L3r)2 3r 4 3=52/2沟=血答案V3将球取出后，设容器中水的深度为 h,3, 一 r 一，则水面圆的半径为 h,从而容器内水的体积为 3V
10、 = ： 乎h 2h = ：由3,由 V=V,得 h=折5r.3 ； 393.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为 N52+ 122= 13 cm.、填空题能力提升题组(建议用时：25分钟)1.解析 由题意知，如图所示，在棱锥 S- ABC中，MAC, 5BC都是有一个角为30的直角三角形，其中 AB=V3, SC= 4,所以 SA= SB= 273, AC=BC=2,作 BD1SC于D点，连接AD,易证SC,平面ABD,因止匕Vs-abc=：X乎X (J3)2X4 =血.答案 13,-二、解答题5,一4. (1)证明 在图中，可得 AC=BC = 2V2,_I-!OO从而 AC2+BC2 = AB2,故 ACLBC,又平面ADCL平面ABC,平面ADCA平面ABC = AC,BC?平面 ABC, BCL平面 ACD.(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 B ACD 的高，BC=2/2, Saacd=2, Vb acd=4saacd BC=、X 2X 2/2=?，由等体积性可知，几何体 D ABC的体积 333、,4 2答案 ,3