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1、向量在三角函数中的应用1.向量与三角函数的综合通常通过向量坐标表示的运算，利用解决向量平行、垂直、夹角、模等问题的同时，把问题转化为常见的三角问题（或向量在三角函数中的应用常常体现在向量的坐标中含有三角函数的形式，所求的问题为三角函数问题，研究问题时利用向量相等、共线或垂直，将问题转化为三角函数的关系式，再利用三角函数知识解决。）1.以下每题都要先简洁分析呀！2.向量的夹角在我们高一新教材中都是用角度表示的。3.最后的反思语言要再简洁些。4.在制作ppt之前再试讲模拟一下，从开始说话到结束，时长不超过15分钟，最好在10左右。拜托了！ ！2 .例1已知A,B,C是 ABC的三个内角,a (si
2、n B cosB,cosC),b (sin C,sin B cos B)0 ,求角A;(2)解析（1）1 ，求 tan2A.5(sin B cosB,cosC),b (sin C,sin B cosB)(sin B cosB) sin C cosC(sin B cosB) 0即 sin BsinC cosBsinC即 sin(CB) cos(CB)cosCsin B cosC cosB 0 0sin AcosA 0tan A解析（2）（法一）由(1)知sin Acos A两边平方得即2sin Acos A2425sin A 0, cos A 0sin AcosA即 sin AcosA2 sin
3、 Acos A 75由 sin A cosAsin AcosA得 sin A 3, cos A5tan A3一即 tan 2 A4247解析（法二） 由sin AcosAsin Asin A或.2 Asin A2 coscosAcosAsin Asin A0即tan AcosA即 tan 2 A247例2 在 ABC中，设向量a (cos , sin ),b(cos ,sin )其中0，右2ab a 2b ,求解析 2ab a 2b又 a即 4a2 b2 4ab a2 4b2即 5 4(cos cos sin sin )cos cos sin sin 00-2(cos , sin ), b(c
4、os ,sin )4a b5 4(cos cos sin sin )cos( ) 03 .反思 1.例1利用向量的数量积的坐标运算将向量问题转化为三角函数求角、求值问题2.利用a a2的坐标运算将问题转化为三角函数求角问题，解题过程中要注意角的范围.4.解决向量与三角函数的综合应用问题通常用到下面知识点：若 a (xi,yi),b (X2,y2)则r r1. a / b2. a b a b x1x2 y1y2 03. a|?a2. x12y；4. cos a,ba bxx2 丫也反馈练习1.设向量 a (4 cos ,sin ) , b (sin ,4 cos ),c (cos , 4 sin
5、 )1 .若a与b 2c垂直，求tan( )的值2 .求b c的最大值3 .若 tan tan 16,求证 ab解 1.由若a与b 2c垂直得a (b 2c) a b 2a c 0即 4sin( ) 8cos( ) 0则 tan( ) 22. b c (sincos ,4 cos 4sin ),2sincos22sin cos2216 cos 32 cos sin 16sin17 30 sincos3.4 cos 4 cos2.已知OP17sin 2由sina / bPQ15sin21时,sintan0tan(cos ,sin),OQ(1,32max4，216,sin sin 16cos co
6、ssin ,1 cos）其中0的取值范围及 PQ取得最大值时的值OP(cos ,sin ), OQ (1 sin ,1cos )PQ(1 sin cos ,1 cos sin,(1 sin cos )22(1 cos sin )2sin 21 sinPQ.6当且仅当sin23 ,k Z 时 PQ4max,6向量在平面图形中的应用1.向量在平面几何中常有证明线段相等、直线平行、三点共线、判断三角形的形状等应用2.例1在 ABC中，D,F分别为BC,AC的中点,-2 AE -AD, AB3解析由题意可得一 一 2 BE AE AB - AD 3a, ACAB又 BFAF，求证：B,E,F三点共线.
7、-(AB AC) AB 2BE3AC2 -AB33bABAB1b a 22 -BF3BEBF又BE,BF有公共点BB,E,F三点共线例2 已知a,b,c,满足a b c 0,且a与b夹角1350 ,b 与 c 夹角 1200 , |c 2,求 a,b解析a b c 0, a,b,c构成封闭的 ABC令 AB a,BC b,CAc又因为a与b夹角135 ,b与c夹角1200 B45, C 60,75由正弦定理可得-c- sin Bsin Aasin C可得b731, a已知OP1,OP2,OP3满足OPiOP2 OP3 O,且 OP1OP2OP31，判断ABC的形状解析0PlOP2 OP30,
8、OP1 OP2OP30片OP2OP30P1OP1OP22 .2OP1 OP2OP3OP20P31, OPi OP2OPi OP2 cos ROP21,cos P1OP2 2又P10P2(0,) 即 P1OP2 1200同理可得 P10P3P20P3 1200ABC为等边三角形3.反思1.例1利用向量共线定理若 a (x1,y1),b (X2A2),则ab a bxy2 X2y10证明三点共线2 .例2利用三个向量相加为零向量即三向量首尾相接构成一个封闭图形，从 而将问题转化为利用正余弦定理求边的问题3 .例3利用a Ma2及cos a,b 骷求角来判断三角形的形状a|b4 .用向量方法解决平面
9、几何问题的“三步曲”1 .建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面 几何问题转化为向量问题2 .通过向量运算，研究几何元素之间的平行、垂直和距离、夹角等问题。3 .把运算结果“翻译”成几何问题反馈练习1 .设两个非零向量 a与b不共线，若AB a b,BC 2a 8b,CD 3a 3b,求证：a,b,c三点共线解 AC AB BC CD 6a 6b, AB a bAC 6AB AB / AC 又 AB,AC 有公共点 AA,B,C三点共线0,2 .若M为 ABC所在平面内一点，且满足 (MB MC) (MB MC 2MA)判断ABC的形状解 (MB MC) (MB M
10、C 2MA) 0CB (AB AC) (AB AC) (ABAC) | AB 2_k 2AC 0,ABABC是等腰三角形3.设。为 ABC的外心，ODBC于D ,且AB 屈,AC1,求 AO (ABAC)1. a ba| b cos a, bCByy2的值 解 O是 ABC 的外心 AO (AB AC) (Ad DO) CB AD CB DO1 - -(AB AC) (AB AC)二 (|ab |ac|2) 1向量数量积的运算1.平面向量数量积的运算常有两种方法2. a (x1,y1),b (x2。？)则 a b -x2r r r2.例 1 已知向量 a (1,1),b (2,5), c (3
11、,x)rrr且满足条件(8a b) c 30 ,求x的值.rrr解析 由题意，(8ab)c308ab (6,3),(8a b) c 18 3x 30,x 4例2在边长为1的正三角形ABC中，uuiruur uur uurujir uuu设 BC 2BD , CA 3CE，求 AD BE .uuir uuu UULT UULT UULT UUU解析 方法(一)AD BE=(AC CD) (BC CE)uur i uuu uuir 1 uun=(AC CB) (BC CA)uur uuu =AC BC1 uuu uuu-CB CA-231 uuu uuir i uur uuu-CB BC -AC
12、CA解析 方法(二)以三角形BC所在的边为x轴,BC中点为坐标原点建立直角坐标系31则“0，5)，叱”(2,0), D(0,0), E(1,-63)uur uuu 1AD BE=4例3 在 ABC中，BAC 90 ,AB 6,点D在斜边BC上,uuu uuir 且CD DB，求AB AD的值.uur 1 uur uur 解析 由题息，AD -(AB AC)uuu uur 1 uur uur uuu 则 AB AD =3 (AB AC) AB1 uuu 2 1 uuu uur = -AB AB AC =22二183.反思1.例1利用向量数量积的坐标运算转化为关于x的方程求解2.例2、3求向量的数
13、量积有两种常用方法1.用一组基底表示向量，再利用a b a b cos a, b 运算2.建立适当的平面直角坐标系名出所需点的坐标利用a (x1,y1),b (x?。？)则a bx1x2 y1y 2 运算4.平面向量数量积的运算常有两种方法1. a b a b cos a, b2. a (x1,y1),b (x2,yz)则 a b x1x2丫2山具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用5.反馈练习1 .已知向量 a (sin x, cosx), b (1,2) a b 求 tan2x解 a b a b sin x 2 cos x 0即 tanx 2tan 2x2 ta
14、n xL21 tan x2 .在边长为6的等边三角形 ABC中，点M满足BM 2MA,求CM CB解 BM 2MA, CM CB 2CA 2CM1 2 CM -CB CA 331 2 一 - 1 CM CB ( CB CA) CB CB 33312 12 242 -CA CB 33 .在直角梯形 ABCD 中，AB CD, AD AB, B 450,AB 2CD 2,点M为腰BC的中点，求MA MD解以A为原点，分别以 AB,AD 为X, Y轴建立平面直角坐标系，依题意得C(1,1),B(2,0), A(0,0),D(0,1)又点 M 为腰 BC 的中点3 13 1 -M (-, ),MA (
15、 ,), MD2 22 291即 MA MD - - 24 4向量的模及其应用3 1( 2，2)1 .向量的模的计算通常有两个方向2 .若 a(x, y),则 a va2 fx2y23 .利用向量模的几何意义即表示(x, y)的点到原点(0, 0)的距离rrrr2 .例 1 已知向量 a( 2,1),b(1,0)，求 2a3brr解析由2 ( 2,1),b (1,0) ,r r2a 3b 2( 2,1) 3(1,0)(7,2)r r.2a 3b 53r r r已知向量a,b满足a2,br r 1,a b 2,r r (1)求a b的值.r r(2)求 a b .解析(1)因为r2 br r2a
16、 br r5 2ab二4r r 1所以a b 12r r 2r 2 r 2 r r解析(2) a ba b2ab二6rr_则a b褥r r r r例3 已知向量a,b,c满足ar r r1, b 2,且a与b的夹角为r r r(a c) (br rc) 0,求c的取值范围r r r r解析方法(一)(a c) (b c) 0r 则(ar c)r(br c)2 cc cos解得解析=07,所以cos7x1,1r方法(二)令auuu r mur rOA,b OB,cuurOCuur uur则已知OA 1,OBuuu uuu2,CA CB 0即点C在以AB为直径的圆M上,c OM ,OM 以O为原点
17、，OB所在直线为x轴， 22建立平面直角坐标系则A(1,), B(2,0)AB的中点M (5,由)所以OM、.722 24 4,73 .73z,-3 .反思 1.例1直接用向量的坐标求向量的模即a (x, y), a jx2 y2例2是通过公式aVa2来求向量的模2.例3法一利用cos a,b用向量模的几何意义求向量的模的取值范围4 .求向量的模及应用常用方法有1.若a (x, y),则a a aX22y22.用向量模的几何意义求向量的模3. cos a, ba ba1b来求向量模的取值范围5.反馈练习b,求 a b1 .设 x R,向量 a (x,1),b (1, 2), a解 a (x,1
18、),b (1, 2),a b,a b x 2 0, x 2a b (3, 1) a b 师2 .已知a| 4,b8, a与b的夹角为12001 .计算a b2 .当k为何值时(a 2b) (ka b)解 1. a b da2 2ab b2148 4,32. (a 2b) (ka b) (a 2b) (ka b) 0即 ka2 a b 2ka b 2b2 01 、 _即 16k 128 (2k 1) 32 ( -) 02即k 75十n t 一人十n白1 - 33.设平面上有两个平面向重a (cos ,sin ),b (-,),(02 )2 21 .求证向量a b与a b垂直2 .当向量Q5a b
19、与a J3b的模相等，求 的取值_.1 、3一 一.斛 1. a (cos ,sin ),b (,),(02 )2 2a 1, b(a b)(a b)22a2 b2 0(a b) (ab)2. 3a3a22、3ab b2a2 2,3a b 3b21, b1 -cos2即tan守0晌量的夹角及其应用1.求向量夹角常见方法1.紧扣着cosa, babXiX2yy2升L汪思2222X1y1 X2y2a,b 0,2.有时用数形结合的方法解2.例1 已知向量a,b满足a 2b(2,r r4),3a b ( 8,16),r r求a与b的夹角的大小.解析a 2b (2, 4),3a(8,16)2,4), b
20、 (2, 4)cosa,b20又 a, b0,例2若向量解析a (x,2x),b (求x的取值范围.2,3x 4x20a,v3x,2），且a与b的夹角为钝角，0,a不平彳f于bc cc 20,2x 6x411x(-,) (,-)(-,0)333r rr r r例3设a,b是两个非零向量，若(a 3b) (7ar r r5b),(a 4b)r (7ar2b),求向量a与b的夹角.解析(a 3b)(7a 5b),(a 4b)(7a 2b)(a2(a 3b) (7a 5b) 7a 16a4b) (7a 2b) 7a230a b2b 15b08b20(1)(2)一 一一2 .、(2)得2a b b代入
21、(1)， r I又 Q 2ab cos a, b1cos a,b 一， a,b 0.2a,b3.反思1.例1例3均利用cos a,bX1X2yy22X1222y1 X2y2求角，汪忌角的氾围即 a,b 0,2.例2由a,b 为钝角，可得但由ab 0 ,并不能推出a,b为钝角,其中包含了 a,b的情形，所以b 0 是 a, b为钝角的必要而不充分条件，应去掉夹角为的情形.4.求向量的夹角及其应用时常见方法1.cos a,ba b alblX1X2 ,y1y2求角,2222X1 y1 X2y2注意角的范围即a,b 0,2 . a b 0是 a,b 为钝角的必要而不充分条件，a b 0是 a,b 为
22、锐角的必要而不充分条件，a b 0是 a,b 为直角的充要条件.3 .利用三角形法则、平行四边形法则和向量首尾相接画图利用图形来求角5.反馈练习1 .已知a,b满足a 1, b 6, a (b a) 2求向量a与b的夹角解 a (b a) 2 a b a2 2又 a 1, b 6 6cos a,b 1 2,1，、，cos a,ba,b 0, a,b22 .已知非零向量a,b,c满足 求a与b的夹角解 a b c (ab)2即 a2 3 b2 2abc222 al b cosa,bc2又因为c, cos a,b3.设a(x,3),b (2, 1)，若a与b的夹角为钝角,x的取值范围a与b的夹角为钝角a b 0,a不平彳f与b2x 3 0 且 x 62a,b 0, a,b 3