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1、正方形第一课时一、自主学习 目标导学1、理解并掌握正方形的性质。2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 合作探究【探究一】正方形的定义1、正方形的定义：2、正方形与矩形和菱形的关系是【探究二】正方形的性质1、归纳正方形的性质：边角对角线对称性2、用几何语言叙述正方形的性质：【探究三】正方形的周长与面积边讲边练：正方形与等腰三角形(等边三角形)结合1 .如图，E是正方形ABC。的对角线5。上一点，且BE=BC,则NACE=02 .如图，四边形ABC。是正方形，延长。到E,使CE=CB,则3 .如图，正方形A8CQ中，点E在8C的延长线上，AE平分NZMC,则下列结论：(1) Z
2、E=22.5： (2) ZAFC=112.5： (3) ZACE= 135； (4) AC=CE； (5) AD ： CE= ：也其中正确的有( )A. 5个B.4个C.3个D.2个4.如图，等边EOC在正方形A3CQ内，连结EX、E8,则NAE8=0： ZACE=5.已知正方形ABC。，以CD为边作等边 COE,则NAED的度数是正方形与旋转结合L如图1,四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若 A所经过逆时针旋转角。后 与重合，则。的取值可能为（）A.90B.60C.45D.302.已知正方形ABC。中，点E在边OC上，DE =2, EC=1 （如图2所示）把线段AE绕 点A旋转，使点
3、E落在直线8c上的点尸处，则F、C两点的距离为.3.如图3,在正方形A8CO中，点E, F分别为OC, 3c边上的点，且满足NE4a=45。，连 接七尺求证：DE+BF=EF.正方形对角线的对称性1 .如图：正方形A8CO中，AC=10, P是A8上任意一点，PE_L4c于E, PF_LBO于F,则PE+PF= .可以用一句话概括：正方形边上的任意 一点到两对角线的距离之和等于.思考：如若尸在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出 你的结论，并加以说明.2 .如图，点P是正方形A8CQ的对角线8。上一点，PEtBC于点、E, PFLCD于点F,连接所给出下列五个结论：（DAP =E
4、F：APE；APO一定是等腰三角形;思考：当点P在。8的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依 旧成立？若成立，直接写出结论：若不成立，请写出相应的结论.月正方形的折叠1 .如图1,将边长为8cm的正方形纸片A8CO折叠，使点。落在BC边中点E处，点A落 在点尸处，折痕为MN,则线段CN的长是.2 .如图2,四边形A8CQ是边长为9的正方形纸片，将共沿MN折叠，使点B落在CD边上的IT处，点A对应点为A,且*C=3,则AM的长是.H，3如图3,正方形A5C。中，A8=6,点E在边CQ上，且C=3OE.将ZkADE沿AE对折 至AAFE,延长EF交边8C于点G,连结AG、C
5、F.下列结论：A8GgZAFG： BG=GC；AG。八 S4“c=3,其中正确结论的个数是.课后练习1、已知：如图，正方形双Z?中，。，也吐47,连结 公；则N比仁二 ZB, Z.蛆氏=Z B.3 .在正方形力67?中，月庐12 cm,对角线47、物相交于0,则板的周长是（）A. 12+122 B. 12+6 & C. 12+、历D.24+6 及3,正方形的面积是L,则其对角线长是.34 .如图，在正方形A8CQ中，2PBC、 QC。是两个等边三角形，PB与DQ交于M, BP 与CQ交于E, CP与。交于尸.求证：PM = QM.5 .如图4,正方形A8CO的对角线AC、8。相交于点。，正方形
6、的顶点4与点。 重合，AB交BC于点E, ATT交CD于点F,若正方形ABC77绕点。旋转某个角度后， OE=OF吗?两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？B6 .如图，P是边长为1的正方形A8C。对角线AC上一动点（尸与A、。不重合），点E在射线上，且PE=P5试判断PE与P8的关系.N图7 .如图，正方形ABC。的面积为12, AAOE是等边三角形，点E在正方形A8CO内，在对角线AC上有一点P，使P8+PE的和最小，则这个最小值为8 .如图，将边长为4cm的正方形纸片A8CQ沿EF折 叠（点、E、/分别在边AB、CD上），使点8落在AO边 上的点M处，点C落在点N处，MN与C。交于点P
7、, 连接EP.如图，若M为AQ边的中点,ZXAEM的周长=cm；求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在A。边上取遍所有的位置（点M不与A、。重合），PDW的周长是否发 生变化?请说明理由.正方形第二课时一、自主学习目标导学1、理解并掌握正方形的判定方法。2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题 的能力。二、合作学习合作探究根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？练一练：1、判断:（1）四条边都相等的四边形是正方形。（）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（）2.不能判
8、定四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形B.对角线互相垂直的矩形C.对角线相等的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形3、四边形ABCD的对角线相交于点0,能判定它是正方形的条件是（）A. AB=BC=CD=DA B. A0=C0, B0=D0, ACBDC. AC=BD, AC_LBD 且 AC、BD 互相平分D. AB=BC, CD=DA4、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可 以判定四边形ABCD是正方形.精讲精练例 1、已知心aABC中，ZC = 90 , CD 平分NAC8,交 AB 于 D, DF/BC,DE/AC,求证: 四边形D
9、ECF为正方形。例2、已知：如图，在心中，诙AC, ADLBC垂足为点。,新是町外角/a超的平 分线，CEYAN,垂足为点瓦(1)求证：四边形 3 为矩形；(2)当町满足什么条件 时，四边形的是一个正方形？并给出证明.例3如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC, BD交于点O, E是8。延长线上的 点，且是等边三角形.(1)求证：四边形A8CQ是菱形；若/AED = 2/EAD,求证：四边形438是正方形.BC例4、如图，月回中，点0是月。边上个动点，过点。作直线丸V万。，设照.交N541的平分线于交NM的外角平分线于点/1：(1)求证：EOFO(2)当点。运动到何处时，四边形月及尸是矩形
10、？并证明你的结论.(3)当点。运动到何处时，四边形月反产是有可能是正方形？并证明你的结论.拓展探究(平行四边形与特殊平行四边形的综合运用)1、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC。 试判断石FG的形状，并说明理由。2、如图，在正方形ABCD中,P为BC上一点,Q为CD上一点，若PQ=BP+DQ,求ZPAQ。(2)若NP4Q = 45。,求证：PQ=BP+DQ.3、如图，菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2, E、F分别是AD、CD上的动点，且满足AE+CF=2. (1)求证：aBZ)E三8CF.(2)判断石尸的形状。(11舟山)以四边形CD的边、
11、BC、CD、D4为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直 角顶点分别为乐F、G、从顺次连结这四个点，得四边形(1)如图1,当四边形A8CD为正方形时，我们发现四边形EEGH是正方形：如图2,当 四边形A8C。为矩形时，请判断：四边形EFG 的形状(不要求证明)：(2)如图3,当四边形A8CD为一般平行四边形时，设NAOC=a (0。90。)，试用含a的代数式表示/ME；求证：HE=HG： 四边形EFG是什么四边形？并说明理由.图1图2例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交CD于F,求ZAFD的度数。变式：1、已知如下图，正方形45力中，后是边上的点，尸为5。延长
12、线上-点，CFCF.(1)求证：应金加a (2)若/班C=600 ,求/日叼的度数.例2：如图，为正方形月56,的万。边上的点，CG平分匕DCF,连结起 并在GG上取点G, 使瓦口求证：月氏LG.例3、P为正方形ABCD内点,PA=1,呼2, PC=3,求N/4的度数.例4如图，f是边长为1的正方形相对角线月。上一动点(尸与小C不重合)，点石在射 线6。上，且氏阳(1)求证： PE=PD ： PELPDx1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE, CE与DB相交于 点 F,则 NAED=2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4, E为BC边上一点，BE=3, M
13、为线段AE上一点, 射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为,4.E为正方形熊内一煎,且胸是等边三角形，求/8切的度数.5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心，正 方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重登部 分的面积总是一个定值，并求这个定值.6、（2008义乌）如图1,四边形/崎是正方形，G是以边上的一个动点（点G与。、。不重 合），以CG为一边在正方形的外作正方形次G,连结宛，DE.我们探究下列图中线段 BG、线段正的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图1中线段灰、线段以的长度关系及所在直线的位置关系：将图1中的正方形CEFG绕着点。按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度。,得到如 图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取 图2证明你的判断.(23 E3)7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF （CGBC）, B、C、G在同一直 线上，M为线段AE的中点。探究：线段MD、MF的关系。（2 ）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD 的边BC的延长线上，M为AE的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请 证明，若不成立，请说明理由。