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1、双曲线及其标准方程一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导.（二）能力训练点在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.（三）学科渗透点本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲 线的定义、标准方程一个比较深刻的认识.二、教材分析1 .重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.2 .难点：双曲线的标准方程的推导.三、教学过程（一）复习提问1 .椭圆的定义是什么？（学生回答，教师板书）平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.教 师要强调条件：（1）平面内；（2）到
2、两定点F1、F2的距离的和等于常数；（3）常数2a |F1F2| .2 .椭圆的标准方程是什么？（学生口答，教师板书）焦点在式由上的椭圆标准方程为亨+ / = Mab 0）;焦点在肝由上的椭圆标准方程为、+ = lSb0）. a b（二）双曲线的概念引入：这是世界著名的建筑物埃菲尔铁塔。当年法国工程师埃菲尔在设计这座铁 塔的时候，人们对它嗤之以鼻、不屑一顾，多年以后，埃菲尔铁塔以其简洁而又壮阔的气势征服了全世界的人们，成为法国标志性的建筑。在它简洁而又壮阔的气势背后，是什么东西在支撑着它呢？把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程 是怎样的呢？1 .简单实验（边
3、演示、边说明）如图2-23,定点F1、F2是两个按钉，MN一个细套管，两条卞，细纯分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一 图出 支.注意：常数要小于|F1F2 ,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.2 .设问问题1:定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？问题2: |MF1|与|MF2|哪个大？问题3:点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2| ?问题4:这个常数是否会大于等于|F1F2| ?3 .定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、
4、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双 曲线.这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.（三）双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考， 随即引导学生给出双曲线的方程的推导.标准方程的推导：建系设点匚心取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y；轴（如图2-24）， 一建立直角坐标系.设M(x, y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是 2c(c0),那么F1、F2的坐标分 别是(-c , 0)、(c, 0
5、).又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF1HMF2|=2a=M|MF1|-|MF2|= 2a.(3)代数方程JMFJ=JO + c尸十4,|二 jM-靖十广.二场十匚尸廿一小“尸毋=+ 2a,(4)化简方程将这个方程移项，两边平方得：(x + c)2 +y2 =4a2 土 4鱼板丁百 +(x +y两边再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)由双曲线定义，2c2a 即ca,所以c2-a20.设c2-a2=b2(b 0),代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2.即a2
6、 N这就是双曲线的标准方程.两种标准方程的比较(引导学生归纳)： 32= l(aOi b0)表小焦点在x轴上的双曲线，焦点是F(-c,0)，F式c, 0),这里W- = 1(0, b0)表示焦点在南上的双曲缘 焦点是F1。a 匕*-c). F式0,明这里二一十b只须将方程的x, y互换即可得到).教师指出：(1)双曲线标准方程中，a0, b0,但a不一定大于b;(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦 点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-
7、b2 .(四)练习与例题1 .求满足下列的双曲线的标准方程：焦点 F1(-3 , 0)、F2(3, 0),且 2a=4;2 .证明：椭圆 +卷=1与双曲线/-15尸=15的焦点相同. 乙 J223, 已知方程 =1表示双曲线，求m的取值范围2 m m 14 .已知方程mx2 + ny2 = m + n(m 0 0, bS，七/ J夕a 匕3) o(o3 .图形(见图 2-25) :7、4 .焦点：F1(-c, 0)、F2(c, 0); F1(0,-c)、F2(0, c).图之咚5. a、b、c 的关系：c2=a2+b2； c=a2+b2.五、生活中的数学工业生产或制冷工艺过程中产生大量的废热，如果不及时散热将会影响机器正常工 作，甚至产生严重后果。而冷却塔就是这样的一种导热设备。冷却塔的作用是将挟带废 热的冷却水在塔内与空气进行热交换，使废热传输给空气并散人大气。双曲线型冷却塔 是由双曲线绕轴旋转成的壳体，由于它的双曲线外形，它具有接触面大，风的对流好， 冷却快和节省建筑材料且轻巧坚固等优点。火力发电厂的双曲型冷却塔的外壳就是由双第2页共3页第3 页共3 页