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1、精品资源课题：8 6 抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点： 抛物线的几何性质及其运用教学难点： 抛物线几何性质的运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用 本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前
2、面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为 x （或 y ），则 x 轴（或 y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时 内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例 2、及其它例题；第二课时 主要内容焦半径公式、通径、例 3教学过程 ：一、复习引
3、入：1抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的 准线2抛物线的标准方程：图形yOFlyyylOxFFxFOxOxll欢下载精品资源方2 px( p 0)y22 px( p0)x22 py( p0)x 22 py( p 0)y2程焦( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p)点2222准pxpypypx222线2相同点： (1) 抛物线都过原点；(2) 对称轴为坐标轴；(3) 准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 1 ，即 2 pp442不同点：
4、 (1) 图形关于 X 轴对称时， X 为一次项， Y 为二次项，方程右端为2 px 、左端为 y2；图形关于 Y 轴对称时， X 为二次项， Y 为一次项，方程右端为2 py ，左端为 x2（ 2）开口方向在 X 轴（或 Y 轴）正向时，焦点在X轴（或 Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或 Y 轴）负向时，焦点在 X 轴（或 Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1范围因为 p 0，由方程 y 22 px p 0可知，这条抛物线上的点M的坐标 (x ，y) 满足不等式 x0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线
5、向右上方和右下方无限延伸2对称性以 y 代 y，方程 y 22 px p0 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程 y 22 px p0 中，当y=0 时， x=0，因此抛物线y22 px p0 的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示由抛物线的定义可知， e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：欢下载精品资源标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率yy22 pxp0O Fl0,0x 轴p ,0xpe 1x22yy 22px0,0x 轴p ,0xp
6、FOx2e 1p02lx22 pyy 轴0,ppp0,0ye 1022x22pyy 轴0,ppp0,0ye 1022注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明（反证法）y假设抛物线 y22px 存在渐近线 ymx n，A（ x，y）为抛物线上一点，A（0 x，y1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图
7、，OA0Ax欢下载精品资源则有y2 px和y1mxny1ymxn2 pxn2 px mxx当 m 0时，若 x，则y1y当 0时，y1yn2 px ，当 x，则 y1 ym这与 y mx n 是抛物线 y22px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (2, 22) ，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为y22 px ，因为它过点 M ( 2,2 2) ，所以( 2 2) 22p2 ，即 p 2因此，所求的抛物线方程为y 24x将已知方程变形为y2
8、x ，根据 y 2x 计算抛物线在 x0 的范围内几个点的坐标，得x01234y022.83.54描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径 60cm，灯深为 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值解：如图，在探照灯的
9、轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点( 即抛物线的顶点) 与原点重合， x 轴垂直于灯口直径欢下载精品资源设抛物线的标准方程是 y 22 px (p 0) 由已知条件可得点A 的坐标是 (40 ， 30) ，代入方程，得 30 22p 40 ，即45p4y所求的抛物线标准方程为 y 2 45 x CB2E例 3 过抛物线y22px 的焦点 F 任作一条直线m，交这HOF抛物线于 、两点，DAA Bx求证：以 AB为直径的圆和这抛物线的准线相切分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷证明：如图设AB的中点为 E，过 A、 E、 B分别向准线 l 引垂线 AD， EH， BC，垂
10、足为 D、H、 C，则 ，AFADBFBC AB AF BF AD BC 2 EH所以 EH是以 AB为直径的圆 E的半径，且 EH l ，因而圆 E 和准线 l相切四、课堂练习 ：1过抛物线 y 24x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 , y1， B x2 ,y2 两点，如果 x1x2 6，那么 | AB |=（ B ）（ A） 10（B） 8（ C） 6（ D） 42已知 M 为抛物线 y 24x上一动点， F 为抛物线的焦点，定点P 3 , 1 ，则 | MP | MF|的最小值为（B ）（ A） 3（ B） 4（ C） 5（D） 63过抛物线 yax2 a0 的焦点 F 作直线交抛物
11、线于P 、 Q 两点，若线段PF 、 QF 的长分别是 p、 q，则11p=（ C ）q（ A） 2a（B） 1（ C） 4a（ D） 42aa4过抛物线 y24x 焦点 F 的直线 l它交于 A 、 B 两点，则弦 AB 的中点的轨欢下载精品资源迹方程是 _( 答案： y22 x 1 )5. 定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线 y 2x 上移动，求 AB 中点 M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点 M 的坐标（答案： M 5 ,2, M到 y 轴距离的最小值为5 ）424五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业 ：1根据下列条件，求
12、抛物线的方程，并画出草图（ 1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8（ 2）顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过 P（ 4，2）点（ 3）顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上点 P（ m， 3）到焦点距离为 52过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 在准线上的射影是A2， B2，则 A2 FB2 等于3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆 x 2y21的右焦点， F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求5抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4 米时，水面宽 40 米，当水面下降1 米时，水面宽是多少米？习题答案：1（ 1） y2 32x（ 2）x2 8y（ 3） x2 8y2 903 x2 16 y4 4 55 20 5 米七、板书设计（略）八、课后记：欢下载