《高中数学不等式习题及详细答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学不等式习题及详细答案.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三章不等式第12页共11页、选择题1 .已知 x -,则 f（x） = x 4x + 5 有（）.2 2x 4D.最小值1D.A.最大值5B.最小值-C.最大值1442 .若x 0, y0,则（x+L）2 + （y+工）2的最小值是（）.2y2xA. 3B. 7C. 43 .设a0, b0则下列不等式中不成立的是 （）.A. a+bd=2/2.ab2, 2C, a-a+bD. 2ab 上 4rab.aba b4.已知奇函数 f(x)在(0, +8)上是增函数，且 f(i)=o,则不等式f(x)-f(-x) oxA. (-1, 0) U ( 1, +8)B. (8, 1) u (0, 1)C.
2、 (8, 1) U(1, +8)D. ( -1, 0) U (0, 1)2、“C 冗g 由将 口、1+ cos2x+ 8sin x曰，/古4 /、5.当 0vxv 一 时，函数 f(x) =的取小值为().2sin2xA.2B, 23C. 4D.4g6.若实数a, b满足a + b=2,则3a+3b的最小值是().A.18B, 6C, 2 04 7 .若不等式组x + 3y 4,所表示的平面区域被直线y = kx+分为面积相等的两33x+ y 0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为()7A.20B.20D.不存在10.当x1时，不等式x+ La恒成立，则实数 ax 1的取值
3、范围是()A.(一巴2B. 2, +oo )C. 3, +8)再口，1)(第9题)D.(巴 3二、填空题11.不等式组(x-y+ 5)( x+ y) 0所表示的平面区域的面积是0x 3x+2y-30,若目标函数z= ax+y(a0)仅在点(3,y 一 1 w 00)处取得最大值，则 a的取值范围是 13 .若正数 a, b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 .14 .设a, b均为正的常数且 x 0,y0, + b = 1,则x+ y的最小值为 . x y15 .函数y=loga(x+ 3) - 1( a0,且a1)的图象恒过定点 A,若点A在直线 mx+ ny + 1 = 0上，其中m
4、n0,则工+ 2的最小值为.m n16 .某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1,第三年比第二年增长的百分率为P2,若P1 + P2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为 三、解答题217 .求函数y= x +7x + 10 (x1)的最小值.x + 118 .已知直线l经过点P(3, 2),且与x轴、y轴正半轴分别交于 A, B两点，当 AOB面积最小时，求直线l的方程.(第18题)19.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润每吨乙产品可获得利润 3万元.该企业在一个生产周期内消耗
5、A原料不超过不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？5万元，销售13吨，B原料20. (1)已知xv 5 ,求函数y=4x1+-1的最大值;4x 5(2)已知x, yCR*(正实数集)，且1 + 9=1,求x+ y的最小值;x y,2(3)已知 a0, b0,且 a2+ b- = 1,求 a#+b2 的最大值.参考答案1. D2解析：由已知f(x) = x 4x+52x4,、2(x 2) +1 1 g 1_ _ ( x-2)+2(x-2)2x-2 x , x 20, 211、112(x-2)+ W-2)口 =1，当且仅当x2=,即x= 3时取等号. x-22. C1c 1c解析：(x+
6、)2+(y+ )22y2x0 x ,1, 2 1yl 1= x2+ - + 2 + y2+ - + 2y 4y x 4x2 ,12 ,1 x . yx h2 + y + 2 + + 4x4y yx x2+工 2 ：x2 工 =1,当且仅当x2=7, x= 也时取等号； 4x , 4x4x2y2+2 ,y2r = 1,当且仅当y2=二，y=上2时取等号；4y2; 4y4y2+ 2 J = 2( x 0, y 0),当且仅当=,y2= x2 时取等号 y x . y xy x. x2+工 + y2+r + - + y 1 + 1 +2=4,前三个不等式的等号同时成立 4x4y y x2时，原式取最
7、小值，故当且仅当x= y= 三时原式取最小值 4.3. D解析：方法一:特值法，如取a = 4, b=1,代入各选项中的不等式， 易判断只有 b Jaba b不成立.方法二：可逐项使用均值不等式判断A ： a + b + 2 ab + , 2, ab, ab2Jab $ = 2 M 2 ,不等式成立.abB：a + b2 vab 0, 1 + 1 2a b0,aL，-1相乘得(a + b)(a+ - ) 4成立.bC：a2+b2=(a+b)2-2ab(a+ b)222b =22.2a bD:a+b2Vab不成立.4.ab& 12,ab2 aba ba+b成立.-2ab& -；=2,abJab
8、,即-2ab Vaba b解析：因为f(x)是奇函数，则f(-x) = -f(x),f( x)f( x) 02f(x) 0, cosx 0.,八八2/2 八241+ cos2x + 8sin x 2 cos x + 8sin x cosx , 4sin xf(x) = = -一 十sin 2x2sln xcosx sin x cosx-cosx 4sin x , 出口小业 cosx 4sinx 日口, 1 g 用“ ”2 j =4,当且仅当=，即 tan x= 一时，取= .s sin x cosxsin x cosx2-.1 0x2质孑=2寸,3ab =6,当且仅当a=b=1时取等号.故3a
9、+3b的最小值是6.7. A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 ABC.由 x+3y=4 得 a(1, 1),又 B 4), C(0, 4).3x + y=43由于直线y=kx+ 4过点C（0, 4）,设它与直线4像7题）3x+ y= 4的交点为D ,1.贝U 由 Sa BCD= Saabc ,知2.5 = kxl+4, k =8. AD为AB的中点，即1xd=2X0+ 2 y 0+ 3= 0 ,解析：设P点的坐标为（X0, yo）,则% y01 1x-10,则有(x1) +1, 八- + 12.(x 1) - x-1.1 +1 = 3, x 1则 a0可转化为两个二元一次不等式组
10、.(x-y+ 5)( x+ y) 00x0xy+5W0x+ y 0 或 x+ y 00x 30x 2解析：若z= ax+ y( a0)仅在点(3, 0)处取得最大 值，则直线z= ax + y的倾斜角一定小于直线 x+ 2y3 = 0的倾斜角，直线z= ax + y的斜率就一定小于直线 x+2y -3=0的斜率，可得：一av 1,即a 1 .2213. ab9.解析：由于a, b均为正数，等式中含有ab和a+b这个特征，可以设想使用 史艺 JOb2构造一个不等式.ab= a+b + 3 2vab +3,即ab 2/而 + 3(当且仅当a= b时等号成立), (Tab )2 2&b -30, (
11、ab -3)( Vab +1)0, vab 3,即 ab9(当且仅当 a=b = 3 时等号成立).14. (vG+wb)2.解析：由已知0, bx均为正数, x yx+y= (x+y)( a + b) = a+ b+ 巴 + bx a+b+ 2 Jay bx = a+ b+2jab , x yx y: x y即jx= a+0知n, 一m均为正， m n +2 = (2m+n)( l+-) = 4+ + m4 + 2,； m = 8,当且仅当m nm nn _ 4m m= 1m=T 即 14时取等号.2m+ n=1 n216. P.2解析：设该厂第一年的产值为 a,由题意,a(1 + p)2=
12、a(1+p1)( 1 + p2),且 1 + p10,1 + p20,22所以 a( 1 + p)2= a( 1 +p1)(1 +p2)Wa 1+5+1+p2= a1+p1+p2,解得22pWtp2,当且仅当1 + p1=1+p2,即p1=p2时取等号.所以p的最大值是卫士四22三、解答题17.解：令 x+1 = t0,贝U x=t- 1,y=2(t 1) +7(t 1)+10tt2+ 5t + 4 =t+3 tt+ 5A 2t + 5= 9,当且仅当t= 4 ,即t=2, x= 1时取等号，故x= 1时，y取最小值9. t18.解：因为直线l经过点P(3, 2)且与x轴y轴都相交,故其斜率必
13、存在且小于 0.设直线l的斜率为k,则l的方程可写成y2=k(x3),其中k0.令 x=0,则 y=23k;令 y=0,则 x= + 3.k生 AOB= -(2-3k)( 2 + 3)= 12k 241,412+( 9k)+(-)，12+ 2 i-9k) (-) k 2.k= 12,当且仅当(9k)=( 4),即k = - 2时，Sx aob有最小值12,所求直线方程为k32rry-2=- -(x- 3),即 2x+3y 12=0.A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y19.解：设生产甲产品 x吨，生产乙产品y吨，则有关系:x 0y 0一则有，目标函数z= 5x+3y3x y
14、132x 3y 18作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x= 3, y = 4时可获得最大利润为 27万元.20.解：(1) xv 5 ,4x-50.4y= 4x 1 +1,1、=-(5-4x+)+4.4x 55 4x5-4x+ 15 4x1鼻4刈.=2yw 2+4=2,当且仅当5-4x=即x= 1或x=?(舍)时，等号成立,5- 4x2故当 x= 1 时,ymax= 2 .(2) . x0, y0, 1+9 = 1,x yx+y= ( - + )( x+y) = -y + 9x + 102y 9x +10=6+10=16.x y+ 9 = 1,y即x =4，时等号成立, y=12当 x= 4,y=12 时，(x+y) min= 16.(3)a,1+ b2=a 2 -hb- 2222a2+23., 24当且仅当a=患+1,即a=b=* 时,a Jl+ b2有最大值3 . 24