高中物理学案专题2_万有引力与航天.docx

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1、专题 2- 万有引力与航天A一、基本概念行星的运动：1. 开普勒行星运动三大定律第一定律（轨道定律） ：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律） ：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。第三定律（周期定律） ：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。a3即： T 2 k其中 k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。推广： 对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立，K 取决于中心天体的质量。2. 万有引力：万有引力定律的建立G MmF太阳

2、与行星间引力公式r 2月地检验G6.67 10 11 Nm2 / kg 2卡文迪许的扭秤实验测定引力常量G3、万有引力定律内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1 和 m2 的乘积FG m1m2成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。即：r 2适用条件1 /15（）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。（）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。运用（ 1）万有引力与重力的关系：重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。mgG Mm忽略地球自转可得：R 24.宇宙航行：人造卫星的运行规律Mmv22r m4 2G2mmT2

3、 rrrM 地 m卫m卫 v2GM 地(1) 由 G2得:vrrr(2)由 G M 地m卫m卫2 r得 :GM 地r 2r 3M 地 m卫m卫 42r3(3)2 r 得:T2由 Gr2TGM 地例. 两颗人造卫星A 、 B绕地球作圆周运动，周期之比为T A： T B=1 ：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（）5、宇宙速度第一宇宙速度：V 1=7.9km/s第二宇宙速度：V 2=11.2km/s第三宇宙速度：V 3=16.7km/s注：（ 1）宇宙速度均指发射速度（2）第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度6、地球同步卫星（通讯卫星）（1）运动周期与地球自转周期

4、相同，且T=24h ；2 /15（2）运转角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期；（3）同步卫星高度不变，运行速率不变（因为T 不变）；（4）同步卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，在赤道正上方。对同步卫星：GMmm v2m 2 r m( 2 ) 2 r运动规律：r 2rTGMGMr3Mv，r3， T=2，aG2 .rGMr由于同步卫星的运动周期确定（为T=24h），故而 其r、 v、T 、 a 等均为定值。7. 在经典力学中， 物体的质量是 _的，而狭义相对论指出， 质量要随着物体运动速度的增大而 _，即 m _ ，两者在 _ 的条件下是统一的 不变增大m0速度远小于光速v21c2

5、8经典力学认为位移和时间的测量与参考系_，相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系_，在不同的参考系中_ 无关有关不同二、 常规题型例 1.关于万有引力定律的表达式F=G m1 m2，下面说法中正确的是（）r 2A 公式中G 为引力常量，它是由实验测得的B当 r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C m1 与 m2 相互的引力总是大小相等，方向相反是一对平衡力D m1 与 m2 相互的引力总是大小相等，而且与m1、 m2 是否相等无关答案 ： AD即时练习：1. 设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，

6、则与开采前相比（）3 /15A 地球与月球间的万有引力将变大B地球与月球间的万有引力将变小C月球绕地球运动的周期将变长D月球绕地球运动的周期将变短答案BD2. .若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（）（A）卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大（B）卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小（C）卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大（D）卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小答案 ： BD3. 某星球的质量约为地球的9 倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h 处平抛一物体，射程为 60m，则在该星球上， 从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为 （）A

7、 10mB 15mC 90mD 360m答案 ： A4. （ 09 年全国卷） 19天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的 4.7 倍，质量是地球的25 倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4 小时，引力-1122,由此估算该行星的平均密度为常量 G=6.67 10N m/kg ,A.1.8 103kg/m3B. 5.6 103kg/m3C. 1.1 104kg/m3D.2.9 104kg/m3答案 ： D解析 ：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供G Mmm 4 2 R3MR2T 2, 可 求 出 地 球 的 质 量 . 然 后

8、 根 据4 R 3, 可 得 该 行 星 的 密 度 约 为2.9 104kg/m3。4 /155. 一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力 )自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h 随时间 t 变化的图象如图5 所示，则根据题设条件可以计算出图 5A 行星表面重力加速度的大小B行星的质量C物体落到行星表面时速度的大小D物体受到星球引力的大小解析从题中图象看到，下落的高度和时间已知(初速度为0)，所以能够求出行星表面的加速度和落地的速度，因为物体的质量未知，不能求出物体受到行星引力的大小，因为行星的半径未知，不能求出行星的质量答案AC小结 ：万有引力公式的基本运用例 2. (2009

9、安徽理综 ) 2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的”宇宙2251”卫星和美国的”铱33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生碰撞这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境假设有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是A 甲的运行周期一定比乙的长B甲距地面的高度一定比乙的高C甲的向心力一定比乙的小D甲的加速度一定比乙的大GMmv2GM解析万有引力提供碎片做圆周运动的向心力，由r2 m r ，得 vr，因为 v 甲5 /15GMm22r3v 乙 ，所以 r 甲 r 乙，选项 B 错误；由 r2 mrT，得 T

10、 2GM ，故 T 甲 T 乙，GM选项 A 错误；由a r2 ，得 a 甲 a 乙，故选项 D 正确；甲、乙两碎片的质量不知，故甲、乙向心力的大小关系无法判断，选项C 错误答案 D即时练习 ：1.（ 2011 天津）质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的A线速度 vGMBgR角速度RC运行周期 TRD 向心加速度 aGM2R2g解析：万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，代入相关公式即可答案： AD2（ 2011 山东）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步

11、卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是A. 甲的周期大于乙的周期B. 乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度小于乙的加速度D.甲在运行时能经过北极的正上方答案：AC解析：万有引力提供向心力，由Mmv242G2ma mmr2 ，可得向心加速度之比rrTa甲r乙21 ，C 正确；周期之比T甲r甲31， A 正确； 甲、乙均为两颗地球卫星，a乙r甲2T乙r乙36 /15运行速度都小于第一宇宙速度，B 错误；甲为地球同步卫星运行在赤道上方，D错误。3. (2010全国理综 )已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6 倍若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，

12、它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5 倍，则该行星的自转周期约为A 6 小时B 12 小时C 24 小时D 36 小时解析设地球或行星的半径为r，根据万有引力提供向心力，对地球或行星的同步卫星有Mm224 33r h3T 1r1 h33m3，有1r2 2GT(r h)， M r，得 T h，其中r h23GrT 2r2332r11T1 24 h， h16r 1， h2 2.5r2 ，122，代入上式得 T2 12 h.答案B4（ 2011 浙江）为了探测 X 星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r 1的圆轨道上运动， 周期为 T1，总质量为 m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨

13、到离星球更近的半径为 r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 则2A. X星球的质量为4 2 r13MGT12B. X星球表面的重力加速度为4 2 r1g XT1 2C. 登陆舱在 r1 与 r2 轨道上运动是的速度大小之比为v1m1r2v2m2 r1D. 登陆舱在半径为r 2 轨道上做圆周运动的周期为T2 T1r23r13M m1224 2 r1解 析 ： 根 据 G2M m2m2 r22， 可 得 M、r1 2m1 r1、 G2GT12T1r2T27 /15T2T1r23， 故 A 、 D 正 确 ； 登 陆 舱 在 半 径 为 r1 的 圆 轨 道 上 运 动 的 向 心 加 速 度r

14、13ar1 1242 r1 ，此加速度与X 星球表面的重力加速度并不相等，故C 错误；根据T12GM mv 2GMv1r2，故 C 错误。r 2mr，得 v，则r1rv25. (2011 广东 ).已知地球质量为M ，半径为 R，自转周期为 T ，地球同步卫星质量为m，引力常量为 G。有关同步卫星，下列表述正确的是3 GMT 2A. 卫星距离地面的高度为24B. 卫星的运行速度小于第一宇宙速度MmC.卫星运行时受到的向心力大小为G R2D. 卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度Mm22( RMmmv2解析 ：根据 G2m()H ) ，A 错，由 G2，B 正( R H )T( R H

15、)R HMmmg ，C错 D 对。选 BD确，由 G2(R H )6.（ 2011 安徽）（ 14 分）（ 1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方与它的公转周期T 的二次方成正比，即a3k ， k 是一个对所有行星都T2相同的常量。 将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k 的表达式。已知引力常量为 G，太阳的质量为M 太 。（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84 108 m，月球绕地球运动的周期为2.36 106S，试计算地球的质 M 地 。（ G=6.6710

16、-11Nm 2/kg2，结果保留一位有效数字）解析 ：（ 1 ）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a 即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有8 /15Gm行M 太m行 (2 2rr2)Tr3G于是有22 M 太T4即kG2M 太4（2 ）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T ，由式可得R3GM 地T242解得M 地 =6 10 24kg（M 地=5 10 24kg 也算对）7.（ 14 分）某星球自转周期为T，在它的两极处用弹簧秤称得某物重W，在赤道上称得该物重 W，求该星球的平均密度。解析 ：题目中弹簧秤称得物重W 与 W ，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧

17、的弹力，在星球的两极物体受星球的引力F 引与弹簧秤的弹力W 的作用， 因该处的物体无圆运动，处于静止状态，有MmF 引=W= G R2（ 3 分）（其中 M 为星球质量， m 为物体质量， R 为星球半径）43（ 2 分）又 M= V=3R，3W（ 2 分）代入式后整理得= 4 GRm 在星球赤道处，物体受引力F 引 与弹簧秤的弹力W 的作用，物体随星球自转做圆运动，所以9 /15F 引 W = m(2 /T)2R（ 2 分）又 F 引=W 磁场改变一次方向， t 时间内粒子运动半个圆周。W- W= m(2 /T)2R（ 2 分） 2mR =(W-W)T（ 2 分）24将式代入式，整理后得=3

18、W（2 分）2GT (W-W)小结 ：万有引力定律的应用B一、“双基”针对性精讲释疑，解题步骤归纳总结1. 第三定律（周期定律） ：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。a3即：T 2k其中 k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。推广： 对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立，K 取决于中心天体的质量。二、常规题型例 1. （ 2011 全国理综）卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话， 则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8 108m/s，

19、运行周期约为27 天，地球半径约为 6400 千米，无线电信号传播速度为3x108m/s ）（）A.0.1s B.0.25sC.0.5sD.1s解析 ：主要考查开普勒第三定律。月球、地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒r23T22解得 r2T22，代入数据求得 r 24.2 107m.如图所示，第三定律有r1r 13T1232T110 /15发出信号至对方接收到信号所需最短时间为所以正确 答案是 B。即时练习：s2R 2r22t，代入数据求得t=0.28s.vC1 (14 分 )月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为T 0. 我国的”嫦娥一号”探月卫星于2007 年 1

20、1 月 7 日成功进入绕月运行的”极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球两极上空，距月面的高度为h.若月球质量为m 月 ，月球半径为R，引力常量为G.(1) 求”嫦娥一号”绕月运行的周期(2) 在月球自转一周的过程中，”嫦娥一号”将绕月运行多少圈？(3) ”嫦娥一号”携带了一台 CCD 摄像机 (摄像机拍摄不受光照影响 )，随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面进行连续拍摄 要求在月球自转一周的时间内， 将月面各处全部拍摄下来，摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少是多少？解析(1)” 嫦娥一号 ” 轨道半径r R h，由mm月24G r2 m T 2 r可得 ” 嫦娥一号 ” 卫星绕月周期R h3T

21、2.Gm 月T 0 T0Gm月(2) 在月球自转一周的过程中，” 嫦娥一号 ” 将绕月运行的圈数n T 2Rh 3.(3) 摄像机只要将月球的” 赤道 ” 拍摄全，便能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球转一11 /15周可对月球 ” 赤道 ”拍摄两次，这说明卫星的绕月轨道面与月球的“赤道”面具有一个夹角。这样，卫星每绕月球一周，就会有两次飞越月球 “赤道” 上空。只要使这个轨道绕月球自转轴 ( 它垂直于月球赤道 ) 缓慢旋转，卫星每次飞越月球赤道的位置就会偏移一段距离。这样，只要“赤道”上的每一点都被拍摄到，卫星轨道就完全覆盖了整个月面上空。这就像给月球编织一个球形的笼子，只要笼子最稀疏的部分

22、 ( 赤道上空 ) 能紧密到阻止月球上的鸟逃掉，笼子上下两端 ( 轨道垂直于赤道的端点 ) 的密集部分就更不在话下了。 所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为2R2R h32Rs 2n T0Gm月.2. （ 13 分）如图所示，在距离一质量为M、半径为 R、密度均匀的球体R 远处有一质量为m的质点。此时 M对 m的万有引力为F ，当从 M中挖去一半径为R/2 的球体时，剩余部分对m1的万有引力为F2，则 F1 与 F2 的比值为多少？RRm解析 ：若质点与大球球心相距为2R，其万有引力为F1，则有F1 G Mm1 G Mm2R 24R2大球质量 M4 R332小球质量 M4R14R3M32

23、838小球球心与质点相距3R ，小球与质点间的万有引力为F G M m1 G Mm23R218 R22m 的万有引力 F2F11Mm1Mm7Mm剩余部分对质点FGR 218G236G24RR12 /15F19F273. （ 14 分）在天体运动中，将两颗彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为M1 和 M2，相距为 L，求它们的角速度。解析 ： 如右图所示，设Ml 的轨道半径为r 1，M2 的轨道半径为r 2，两个行星都绕点做匀速圆周运动的角速度为；由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有M 1M2M 1r12GL2G

24、M 1M 2M 2 r22L2r1 r2LG(M 1 M 2 )M 2L ； r1M 1L以上三式联立解得； r1M 2M 1 M 2L3M 14.（ 15 分）在电视直播节目里，可以发现中央电视台现场的主持人与驻国外记者进行电话对话时，总会发现当主持人问话后，记者的反应好象有点“迟钝” ，这种信号是以微波的形式通过通讯卫星（同步卫星）进行转接的。（ 1）试说明产生这种现象的原因；（ 2）试根据生活常识及括号内所给的数据估算同步卫星离地高度。（已知月地间的距离约为3.8108 m ，地球半径约为6.4106 m ）解析 ：（ 1）因为电信号发射到通讯卫星再由通讯卫星转发到接收器，如此再返回来，

25、通过的路程较大，虽然微波以光速传播，但也要一定的时间，因此看上去有点反应“迟钝 ”。（ 2）设同步卫星的离地高度为h ，质量为 m ，周期为地球的自转周期T1 ，由万有引力定律和牛顿运动定律得：13 /15GMmm( 2) 2 (Rh)(Rh) 2T1设月球的轨道半径为r月地 ，月球绕地球公转的周期为T2 ，由万有引力定律和牛顿运动定律得：Mm地（ 22Gr月地m月 T)r月地1T12(R h) 3 、 两式整理后相比得：T22r月地3根据生活常识知地球自转周期T1 1天，月球公转周期 T227 天，将 T1， T2 及R 、 r月地代入 得 h 3.58 10 7 m5. 全国中学生物理竞赛

26、第 21 届预赛试题 （ 16 分）要使一颗人造地球通讯卫星( 同步卫星 ) 能覆盖赤道上东经75.0 到东经135.0 之间的区域， 则卫星应定位在哪个经度范围内的上空?地球半径 06. 37 106m，地球表面处的重力加速度g 9.80 m s2。解析 ：如图所示，圆为地球赤道s 为卫星所在处，用R 表示卫星运动轨道的半径。由万有引力定律、牛顿运动定律和卫星周期亦即地球自转周期) 可得 G MmmR( 2)2R2T式中为地球质量，为引力常量，m为卫星质量，另有2GM gR 0由图可知Rcos R由以上各式，可解碍4 2 R01/3arccosT 2 g取 T=23 小时 56 分 4 秒 ( 或近似取r 等 24 小时 ) 代人数值。可得 81.3 14 /15由此可知， 卫星的定位范围在东经135.0 81.3 53.7 到 75.0 81.3 1563之间的上空小结 ：万有引力牛顿定律在航天过程中综合运用15 /15