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1、用心 爱心 专心-5 -r h在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上， 则万有引力定律及应用(内容分析)基础知识一.开普勒运动定律(1)开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点 上.(2)开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相 等.(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.二.万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积 成正比，跟它们的距离的平方成反比.(2)公式：F=Gmm2,其中G=6.67
2、M10/1N m2/kg2,称为为有引力恒量。(3)适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体 本身的大小时，公式也可近似使用，但此时 r应为两物体重心间的距离.对于均匀的球体,r是两球心间的距离.注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量 G的物理意义是：G在数值上等于质量均为 1千克的两个质点相距 1米时相互作 用的万有引力.三、万有引力和重力重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心 力.重力实际上是万有引力的一个分力.另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力， 如图
3、所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大.通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即mg=Gmmk, g=GM/r 2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/ (r+h) 2,比较得 gh= ( - ) 2 - gF =5向+叱，mm m ILLC m1 m 2c所以 ng=F- 5向=6-2mRco 自 因地球目转角速度很小 Gmm2 ? mzRco自;所以mg= G 吗2rr假设地球自转加快，即自变大，由m2
4、g=仃吗里一mRco自2知物体的重力将变小，当仃吗2 =mR3自2时，mg=0,此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度自=、；詈，比现在地球自转角速度要大得多.四.天体表面重力加速度问题设天体表面重力加速度为 g,天体半径为R,由mg=GM22得g=G”,，由此推得两个不同天体表 RR面重力加速度的关系为g1 =内. M1g2 R M2五.天体质量和密度的计算原理：天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力.2.232G mM=m4Lr,由此可得：M=47T r ； p =M= M = 3-（R为行星的半径）r2T2GT2V 4 3 GT2R3二 R3由上式可
5、知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T,就可以算出天体的质量M若知道行星的半径则可得行星的密度规律方法1、万有引力定律的基本应用【例1】如图所示，在一个半径为 R质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？分析把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得 解.Mm解 完整的均质球体对球外质点 m的引力F=G一厂.F1与半径为R/2的小球对质点的R/2 的小球质量 M为d3这个引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力引力 F2之和，即 F=F1 + F2
6、 , 因半径为MR3 4二R 3F2=G匕 d -R/2MmG28d -R/2所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力F1 =F - F2 =GMm d2-GMm8d -R/2 2= GMm7d2 -8dR 2R28d2 d - R/2 2（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部7M/8）集中于球心时对质点的挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力.-Mm -M/m八Mm M/8- 7MmF1- F - F2 -G GG GG 9d2 d 2 d2 d 2 8d2说明（1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集
7、中于这个重心上，应用万有引力公式求解.这是不正确的.万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式 F =GMP却只能适用于两个质点或均匀球体, r上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（ 用力一样.【例2】某物体在地面上受到的重力为160 N,将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=?g随90 N时，求此时卫星距地球火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为 表面有多远？(地球半径R= 6.4 x 103km,g取10m/s2)解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h,火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg,据牛顿第二定律.N- mg=ma
8、在h高处mg = G Mm 9在地球表面处 mg=G MmR h 2R2把代入得 n = mgR 2 +mah = Rmg _1 =1.92 X 104 km.(h +R 2N N -ma,说明：在本问题中，牢记基本思路，一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万有引力.【例3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是Too当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为To求该气球此时离海平面的高度ho把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。解析：根据单摆周期公式：To =2n 匹 T =2几 回 其中l是单摆长度，go和g分别是两地gog点的重力加速度。根据万有引
9、力公式得g0 =G?, g =GM,其中G是引力常数，M是地R2 (R h)2球质量。由以上各式解得h = T -1 RT0【例4】登月火箭关闭发动机在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运动， 周期是120.5 min,月球的半径是1740 km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度.解析：设月球半径为 R,月球质量为M,月球密度为p ,登月火箭轨道离月球表面为 h,运动 周期为 T,火箭质量为 m,由 GMm/r=m4Tt 2r/T 2得 M=4ti 2r3/ (GT2), p =M/V,其中 V=4tt 2R/3 , 则 5向=013 2r=m4 it 2 ( R+h) /T2, 5引
10、=6“01 / R+h) 2,火箭沿轨道运行时有 5引=5 向，即 GMm/( R+h) 2= m4 兀 2 ( R+h) /T 2故 M=4ti2 (R+h) 3/ (GT2) 2=7.2 X 1022kg, p =3M/4 兀 R3=3.26 X 103kg/m3【例5】已知火星上大气压是地球的1/200 .火星直径约为球直径的一半，地球平均密度p地=5.5 X 103kg/m3,火星平均密度p火=4X 103kg/m3.试求火星上大气质量与地球大气质量之比.分析包围天体的大气被吸向天体的力.就是作用在整个天体表面(把它看成平面时)的大气压力.利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比
11、，即可算出它们的大气质量之 比.解设火星和地球上的大气质量、气压分力1J为 p火一,2 , P地-4 二R2M火g 火一G 2 ，R为g地=G浮，式中M火=即R地3重力加速度分别为m火、g火、m地、g地，火星和地球上的大m1萼，据万有引力公式，火星和地球上的重力加速度分别为4R地七3 P火，M地=脸P地综合上述三式得 311 5.5X x 200 24=3.4 10-mAP火Rm%= m地P地R火灯【例6】一个宇航员在半径为 R的星球上以初速度 vo竖直上抛一物体，经 ts后物体落回宇航 员手中.为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？解析：物体抛出后，受恒定的星球
12、引力作用，做匀减速运动，遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律.设星球对物体产生的“重力加速度”为gx,则由竖直上抛运动的公式得二2_ =空！ 为使物体抛出后不再落回星球表面，应使它所受到的星球引力正好等于Sk t/2 t2Rv物体所需的向心力，即成为卫星发射了出去。=mt得Vx=、.；Rgx=b丝0现 5 R. 丫 t ,这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度。【例7】在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹 跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h,速度方向是水平的，速度大小为vo,求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不
13、计大气阻力。已知火星的一个卫 星的圆轨道半径为r,周期为To火星可视为半径为 ro的均匀球体。分析：第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛，在最高点由于只有水平速度故 将做平抛运动，第二次落到火星表面时速度应按平抛处理。无论是竖直上抛还是平抛的计算， 均要知道火星表面的重力加速度g/o利用火星的一个卫星的相关数据可以求出g/o解：设火星的一个卫星质量为 成任一物体的质量为m,在火星表面的重力加速度为 g/,火星 的质量为M任一物体在火星表面有：g/ =m%/0火星的卫星应满足：GMm =m但：rr2 T第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足：vi2= 2g/h第二次落到火星表面时速度应按
14、平抛处理：v=、v2 +v2 2.3由以上4式可解得v=J8hr v0T2ro202、讨论天体运动规律的基本思路= m;.-,2rm(2M 2 r基本方法：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。Mm2 V 二mr【例8】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬“ =400,已知地球半径 R地球自转周期T,地球表面重力加速度 g （视为常数）和光速 c,试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）解析：设 m为卫星质量，M为地球质量，
15、r为卫星到地球中心的距离，3为卫星绕地心转动的角速度.由万有/ y 引力定律和牛顿定律有 GMml =mg2,式中G为万有引 ；史显力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度3与地球自转、J的角速度相等，有3=2兀；因GMm=mg,得GM=gRR2设嘉峪关到同步卫星的距离为L,如图所示，由余弦定律得：l =、；r2 +R2 _2rRcoso（所求的时间为t=L/c.JlR2gT2/ 2 +r2 2R3I IR2gT 2/ ）, An 十R ZRcosq4n由以上各式得t ：c【例9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们 在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨 道做
16、匀速圆周运动。如果双星间距为L,质量分别为 M1和M2,试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速 度。解析：因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变， 绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、频率和角速度均相同； 而轨道半径、线速度不同的特点。(1)根据万有引力定律F =M曲2R =M262R2&L=R1+R2可得:M2Mi-L , ,2 -Mi M2Mi M2(2)同理，还有G*=Mi仔）入=皿件JR2用心 爱心 专心-7 -所以，周期为 1 二 4二2L2Ri = 4二2L2R2 .:L LGM2GMiG Mi M2(3) 根据线速度公式 v1 = 2
17、叭 m 2 I 。, v2 = 2求2 _ m 1 J/ G 、 TL Mi M2TL Mi M2【例i0】兴趣小组成员共同协作，完成了下面的两个实验：当飞船停留在距X星球一定高度的P点时，正对着X星球发射一个激光脉冲，经时间ti后收到反射回来的信号， 此时观察X星球的视角为0 ,如图所示.当飞船在X星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为 t2已知用上述弹射器在地球上做同样实验时， 重力加速度为g,万有引力常量为 G,光速为 阻力均可不计，试根据以上信息，求：（i） X星球的半径 R; （2） X星球的质量 M;在X星球发射的卫星的最
18、小周期T.c,小球在空中运动的时间为t,又已知地球表面地球和X星球的自转以及它们对物体的大气(3)X星球的第一宇宙速度v;-5 -X星球解析：(1)由题设中图示可知:，、ct1 sin 二(R+ ?cti) sin 0 =R,R=2 1 -sin 1(2 )在X星球上以V0竖直上抛t2= 20 ,在地球上以V0竖直上抛：t = 辿，. g/ =g ggti2 /,22 .Mm / 一 R g gtct1sin又由 G、=mg , m M =g- =12R2G 4Gt21-sin i2(3)2, v mg= m gctt1 sini2t2 1 - sin 二(4 )当v达第一宇宙速度时，有最小周
19、期T. 丁=2汜=二2ctit2sv gt 1 -sin 二R【例11天体运动的演变猜想。在研究宇宙发展演变的理论中，有一种说法叫做“宇宙膨胀 说”，认为引力常量在慢慢减小。根据这种理论，试分析现在太阳系中地球的公转轨道平径、 周期、速率与很久很久以前相比变化的情况。【解析】地球在半径为 R的圆形轨道上以速率 v运动的过程中，引力常数 G减小了一个微小 量，万有引力公式F引=6粤。由于太阳质量 M,地球质量m,r均未改变，万有引力 F引必然随之减小, r2并小于公转轨道上该点所需的向心力m-(速度不能突变)。由于惯性，地球将做离心运动，r即向外偏离太阳，半径 r增大。地球在远离太阳的过程中，在太阳引力的作用下引起速率2 r减小，运转周期T =2%增大。由此可以判断，在很久很久以前，太阳系中地球的公转轨道半 v径比现在小，周期比现在小，速率比现在大。由引力常量 G在慢慢减小的前提可以分析出太阳系中地球的公转轨道半径在慢慢变大，表明宇宙在不断地膨胀。