《直线平面简单几何体(B)(第19课)空间向量的直角坐标及其运算(三).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线平面简单几何体(B)(第19课)空间向量的直角坐标及其运算(三).docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品资源课题： 9 6 空间向量的直角坐标及其运算(三 )教学目的：1. 进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念，并能熟练运用；2. 能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题；3. 了解平面法向量的概念教学重点： 向量的数量积的综合运用教学难点： 向量的数量积的综合运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1 空间直角坐标系：（ 1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫 单位正交z基底 ，用 i, j , k 表示；（ 2）在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 i, j , k ，以点 OA(x,y,z)为原点，分别
2、以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、kiyO jy 轴、 z 轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角x坐标系 O xyz ，点 O 叫原点，向量i , j , k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面；2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组( x, y, z) ，使 OA xi yj zk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标，记作 A( x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖
3、坐标3空间向量的直角坐标运算律：（ 1）若 a(a1, a2 , a3 ) ， b (b1 ,b2, b3 ) ，则 a b (a1b1, a2 b2 , a3 b3 ) ，a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ， a ( a1 , a2 , a3 )(R) ，欢下载精品资源ab a1b1 a2 b2 a3b3 ， a / b a1 b1 ,a2b2 ,a3b3 (R) ，ab a1b1 a2b2a3b3 0 （ 2）若 A( x1 , y1, z1 )， B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB (x2x1 , y2y1 , z2z1) 一个向量在直角坐标系中的坐标等于
4、表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式： 若 a (a1, a2 ,a3 ) ， b (b1 ,b2 , b3 ) ，则 | a |a aa12a22a32， | b |b bb12b22b3 25夹角公式： cos aba ba1b1a2b2a3 b3| a | |b |a12a22a32b12b22b3 26两点间的距离公式：若 A( x1, y1 , z1 ) ， B(x2 , y2 , z2 ) ，则 | AB |AB2x1 )2( y2y1 )2(z2z1) 2 ，(x2或 dA, B( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )2二、讲解范例：例 1求证：
5、如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行已知：直线 OA于 O ， BD于 B 求证： OA / BD 证明：以 O 为原点，射线 OA 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，i , j , k 分别为沿 x 轴， y 轴， z 轴的坐标向量，设 BD(x, y, z) ， BD， BDi ， BDj ，BDi(x, y, z) (1,0,0)x0，BDj(x, y, z) (0,1,0)y0 ， BD(0,0, z) ，即 BDzk ，欢下载精品资源又知 O ， B 为两个不同的点，BD / OA 点评： 如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面，记作 a，此时向量 a 叫
6、做平面的法向量例 2 在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1 D1 中， E, F 分别是 DD1, DB 中点， G 在棱 CD 上， CG 1 CD ， H 是 C1G 的中点，4（ 1）求证： EFB1C ；（ 2）求 EF 与 C1G 所成的角的余弦；（ 3）求 FH 的长解：如图以D 为原点建立直角坐标系Dxyz ，则 B1 (1,1,1)， C (0,1,0) ， E(0,0, 1) ， F ( 1 , 1 ,0) ，222G(0, 3 ,0) ， C1 (0,1,1)， H (0,7 , 1) ，482z（ 1）111) ， B1C(1,0,1)，D1EF (,222A 1
7、 EFB1C( 1 , 1 ,1 ) ( 1,0,1) 0 ，E222 EFB1C D1 ,AF（ 2） C1G(0,1) ，x4 EFC1G( 1 , 1 ,1 ) (0,1 ,1)3，22248| EF |( 1)2( 1 )2( 1 )23，| C1G |(0)2( 1 ) 2( 1)2222243C 1B 1HCGyB17，4 cos(EF , C1G)851317，1724欢下载精品资源 EF 与 C1G 所成的角的余弦51 17（ 3） FH( 1 , 3, 1) ，282 | FH |( 1)2(3)2( 1)241 2828例 3已知点 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点
8、，如果AB (2, 1, 4) ，AD (4,2,0) ， AP(1,2,1)（ 1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量；（ 2）求平行四边形 ABCD 的面积（ 1）证明： APAB(1,2,1) (2,1, 4) 0，AP AD(1,2,1) (4,2,0)0 ， APAB， APAD ，又 ABADA ， AP平面 ABCD ， AP 是平面ABCD 的法向量（ 2） | AB |(2) 2(1)2( 4) 221， | AD |42220225 ， AB AD(2, 1, 4) (4,2,0)6， cos(AB, AD)653 105 ，212105 sin BAD1932，10
9、535 S ABCD| AB | | AD | sinBAD86例 4 在长方体 ABCDA B C D 中， AB a， BCb， AA c，求异面直线BD 和111111B1C 所成角的余弦值分析一： 利用BD1BABCBB1BCBC BB1，以及数量积的定义， 可1欢下载精品资源求出 cos BD1 , B1C ，从而得到异面直线BD 1 和 B1C 所成角的余弦值分析二 ：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的z运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的D 1C 1解：建立如图所示空间直角坐标系，使D 为坐标原点，A 1B 1则 B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a
10、,c),C(0,a,0)BD1( b,a,c), BC(b,0,c)DCy1ABBD1 B1C ( b)2( a) 0 c ( c) b2c2x| BD1 |b2a2c2 ,| B1C |b2c2 ,BD1B Cb2c2cos BD1, B1C1| BD1 | B1C |(a2b2c2 )(b2c2 )设异面直线 BD 1 和 B1C 所成角为 ，则 cosb 2c2(a 2b 2c2 )(b2c2 )三、课堂练习 ：1 设 a(a , a2 ,a3 ) ， b (b ,b2 , b3 ) ，且 ab ，记 | a b |m ，11求 ab 与 x 轴正方向的夹角的余弦值解： 取 x 轴正方向
11、的任一向量 c ( x,0,0)，设所求夹角为， (a b)c (ab , a2 b2 , a3b3 ) (x,0,0) (ab )x1111 cos(ab) c(a1 b1) xa1b1 ，即为所求| ab | | c |mxm2 在ABC中，已知AB (2,4,0),BC ( 1,3,0)，则 ABC解：BA(2,4,0), BC( 1,3,0),cosBA, BCBA BC2122| BA | BC |2 5102 ABC 453已知空间三点A(0,2,3),B( 2,1,6),C(1, 1,5)求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S；欢下载精品资源若向量 a 分别与向量
12、 AB, AC 垂直，且 |a |3 ，求向量 a 的坐标分析： AB( 2,1,3), AC(1, 3,2),cosAB AC1BAC2| AB | AC | BAC60，S | AB | AC | sin6073设 a (x,y,z)，则 aAB2xy3z0,a ACx 3 y 2z0,| a |3x2y2z23解得 x y z 1或 x y z 1， a (1,1,1)或 a ( 1， 1， 1).四、小结：在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系， 将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数五、课后作业 ：六、板书设计（略）七、课后记：欢下载