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1、直线与平面垂直课堂实录江苏省白蒲中学缪德军【教材分析】教材：苏教版高中数学必修2本节课的教学内容是直线与平面垂直， 前面已经研究了线在面内， 线面平行这两种线面位置关系， 在此基础上研究线面垂直是对线面位置关系的一种延续和完善。通过线面垂直的位置关系的学习，要让学生掌握直线与平面垂直的定义、判定和性质， 更要让学生进一步熟悉研究立体几何的一般思想方法空间问题平面化、 降维、 将线面关系转化为线线关系等， 能帮助学生进一步认识客观世界，进而能够解决“数学中的空间几何问题。【学情分析】学习本课前， 学生已初步感知部分空间线面位置关系， 但学生的抽象概括能力，空间想象力还有待提高，对研究空间元素的位
2、置关系的思维脉络尚未成形。【教学目标】1. 借助对实例的观察与思考， 提炼直线与平面垂直的定义， 并能正确理解定义；2. 通过独立思考、 合作探究， 归纳直线与平面垂直的判定定理， 并能简单应用；3. 认识并证明直线与平面垂直的性质定理；4. 在判定定理的探究中体验 “空间问题转化为平面问题” 、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想，培养善于观察、类比、归纳、反思等良好的思维品质.【教学重、难点】教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理；教学难点：判定定理的探究及性质定理的证明 .【教学方法】问题探究法，启发式教学，试验探究式学习，结合多媒体课件。【教学过程】（一）课题引入师：同学们
3、，空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？生众：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交；师：直线在平面内、直线与平面平行已研究过，在直线与平面相交的位置关 系中，你认为哪种相交最为特殊？生众：直线与平面垂直；师：今天，我们就来研究这种关系一一直线与平面垂直；【板书课题】师：例如，圆锥SO的轴与底面、跨栏架的立柱与地面、旗杆与地面，都给 我们以线面垂直的形象.师：那如何去研究呢？在研究线面平行关系时， 我们是从哪些方面进行研究 的？生众：定义，判定，性质；师：而且还采用了 “把线面平行转化为线线平行”的研究方法；直线与平面垂直也从这几个方面进行研究【板书内容】首先来看，如何来定义一条直线与
4、一个平面垂直呢？（二）概念建构师：观察圆锥SO （如图），它给我们以轴SO垂直于底面的形象轴SO与底面内的哪些直线垂直呢?生：轴SO与底面内的每一条半径垂直；师：半径可看作是底面内过点。的直线，也就是说，轴SO与底面内过点O的所有直线都是一一生：垂直的；师：那么，底面内不过点。的直线与轴so也垂直吗？生：垂直;师：为什么?生：可以通过异面直线平移得到;师：这说明，轴SO与底面内哪些直线垂直?生：所有直线、任意一条；师：由此，你能给“直线与平面垂直”下个定义吗?生：一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,我们说这条直线和这个平面互相垂直。师：一条直线 a 与一个平面 内的任意一条直线都垂直，我
5、们说直线 a 与平面互相垂直，记作a【ppt:定义】师：你能画出它的示意图吗？生：先画出平面【教师画图】师：然后画谁呢？生：平面内的任意一条直线；师：如何画直线 a 呢？（比划一下）师：画图，大家同意吗？一般地， 一条直线与一个平面垂直， 我们把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 【能不能画成与这条边垂直呢？也是可以的， 只不过它们的空间图形不同了 , 通常画成与横边垂直】这里， 直线 a 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 a 的垂面， 直线 a 与平面的交点称为垂足.师：用符号表示它就是ala生：l （l是任息一小直线）；板书符号师：在定义中，你认为哪个词最为关键？生：任意一条.师
6、：能把它改成“无数条”吗？【 ppt: 概念辨析】师（口述） ： 直线 a 与平面 内的无数条直线垂直， 直线 a 垂直于平面 吗？生：不一定垂直；师：动手比划比划，同桌相互协助一下.请做得好的学生到讲台演示.学生演示直线 a 在平面内，不与平面垂直的情况；教师【 ppt: 动画演示】 ，线面平行，线面斜着相交；师：由此可见，定义中的“任意一条”十分关键。 【板书红笔标注】师：如果直线a与平面 垂直，那么直线a垂直于平面内的任意一条直线吗？生：垂直；师：写出它的符号就是：l从这里可以看到，定义不仅可以由线线垂直得到线面垂直， 也可以由线面垂 直得到线线垂直.因此，定义既是判定线面垂直的一个依据
7、，也反映了线面垂直的一个性质，这正是定义的两个方面.下面就来看它的一个简单运用，完成例 1,把过程写到纸上.（三）简单运用例1求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直 于这个平面.教师选择投影.师：看看，做得对吗？生：证明文字命题的步骤不全.a b师：直线m是平面内的任意一条直线吗？需要设m是平面内的任意一条直线；/这是用定义证明线面垂直的关键.师：下面的推证正确吗？生：正确；师：提醒一点，从书写规范的角度来看，证明过程一般不使用因为所以的符号（三个点）形式，而采用推出符号或文字形式的因为所以；再看一下规范解答：【ppt】师：从“a 推得a m ”体现的是一一（生）由线
8、面垂直得到线线垂直，从“b m推得b”体现的是一一（生）由线线垂直得到线面垂直；师：整个证明过程体现了 “线线垂直”与“线面垂直”的相互转化，充分体 现了定义的两个方面.（四）判定探究师：从例1的证明可以看到，用定义证明线面垂直，关键要证明直线与平面 内的任意一条直线都垂直.师：跨栏架，它给我们以立柱和地面垂直的形象 .你能用定义说明立柱AB与地面垂直吗？生：因为 AB AC ， AC 在地面内 . 所以 AB 与地面垂直；师：他说得对吗？生：不对，因为 AC 不是地面内的任意一条直线 .师：对，能说明立柱AB 与地面内的任意一条直线都垂直吗？生：不能；比较困难；师：这说明，用定义难以说明立柱
9、AB 与地面垂直；因此，我们需要寻求一个简单可行的判定线面垂直的方法.那如何寻找呢？师：刚才的困难在于难以说明“直线 a 与平面 内的每一条直线都垂直” ，（因为平面 内的直线有无数条）“如果直线 a 只要与平面 内的有限几条直线垂直，就有直线 a 与平面 垂直 . ”问题不就得到简化了吗？那就要减少平面内与直线 a 垂直直线的条数，减少到多少条为最合适呢？师：大家一起来做个试验，请拿出你的直角模型，小组合作，摆出一个线面垂直的模型来验证你的猜想.学生操作试验师：我们请小组 1 来汇报一下，你们将平面内直线减少到几条了？再把你们“摆出的模型”给大家演示一下；小组 1： 4 条， 3 条， 2
10、条 师：能给我们以线面垂直的形象吗？生：能；师：再请小组 2 来汇报一下；小组 2:2 条；师：其它组有不同的想法吗？师：看来，大家都确定减少到两条.师：各小组再试验一下；师 : 两条直线是怎样的位置关系呢？生：相交；师：两条直线平行可以吗？生：不行；师：根据刚才的探究过程，你能得出什么结论呢？生：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.师：这就是直线和平面垂直的判定定理.师：定理的严格证明在此不作要求，有兴趣的同学课后可到网上搜索查看.师：你能画出它的图形吗？学生口述，教师作图；师：用符号表示就是：生：a m，a n, m ，n , m n A a判定定理的本
11、质是由“线线垂直到线面垂直”。【ppt】用判定定理证明线面垂直，只要说明直线与平面内的两条相交直线垂直.可见判定的方便可行，在今后的学习中，我们用得更多的将是判定定理.当然，不论是定义，还是判定，都体现了线线垂直与线面垂直互相转化的数 学思想.（五）性质证明师：到这儿，我们就研究了直线与平面垂直的定义， 也找到了判定线面垂直 简单可行的方法.那么，直线与平面垂直有哪些性质呢？师：观察图片，两根旗杆垂直于地面，两根旗杆具有怎样的位置关系呢？生：平行；师：能否从理论上加以证明呢？a b已知：a , b .求证：ab.y学生独立思考；/教师请学生说怎样思考的？师：由条件能得到什么？条件是线面垂直；生
12、：a，b与平面内所有直线都垂直；这：这似乎难以说明a/b;这说明，直接证明比较困难，此时，我们可考虑用反证法证明 .证明：假设直线b与直线a不平行，设b a ,b 是经过点 O 与直线 a 平行的直线.直线b与b确定平面，设 c.因为 a ， b ，所以 a c ， b c.又因为 b / a ，所以 b c.这样在平面内，经过直线c上同一点O,就有两条直线b,b与c垂直，显然不可能.因此 a/b .师：这样，我们就用反证法证明了这一个命题；把它用文字语言叙述出来，就是生众： “如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行” .师：很好，这就是直线与平面垂直的性质定理，它体现的是由线面垂直
13、得到线线平行， 为今后证明线线平行又提供了一种方法.【证明线线平行的方法：平面几何知识：平行四边形、三角形中位线等；立体几何知识：公理4，线面平行性质定理；】师：到这里，本节课关于线面垂直有关内容的研究基本结束.五、小结与作业师：回顾本节课所学的直线与平面垂直，可由什么关系得到线面垂直呢？生：线线垂直；师：可以有几个方法呢？生：定义，判定；师：今后的学习中，更多地使用判定去证明线面垂直.师：反之，根据线面垂直可以得到生：线线垂直，线线平行；师：得到线线平行是利用性质定理.师：最后，特别提醒：立体几何证明的书写一定要规范；定理的条件一个都不能少 .师：作业，P38 ：练习， 3 、 5、 6.第7 页共8 页师：本节课到此结束，谢谢大家！判定定理和性质定【师： 回顾本节课， 我们学习了直线与平面垂直的定义、理，以及它们的来龙去脉. 】第# 页共8 页