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1、课题：3.1等差数列（一）教学目的：1 .明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；2 .会解决知道an,ai,d,n中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列（从几何上看两点可以决定一条直线）. 教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给
2、出数列和表示的 数列的几种方法一一列举法、通项 公式、递推公式、图象法和前n项和公式.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们 看这样一些例子1 .小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个.他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加， 依次为：5, 15, 25,35,（问：多少天后他的单词量达到3000?）2 .小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000, 2995, 2990, 2985,（问：多少
3、天后她那 3000个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列 5, 15, 25, 35, 和 3000, 2995, 2990, 2980, 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？ ？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等一一应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字一一等差数列二、讲解新课：1 .等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前
4、项减后项来求；.对于数列an,若an an产d （与n无关的数或字母），n2, nCN ,则此数列 是等差数列，d为公差.2 .等差数列的通项公式：an a1 （n 1）d【或an am （n m）d】a2a3a4等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得d,则据其定义可得:a2a3*若一等差数列 an的首项是ai,公d即:d即:d即:a2a3a4aia2a3由此归纳等差数列的通项公式可得:a1a12d3dan a1 (n 1)d，已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项 a如数列1, 2, 3, 4, 5,6；an1 (n1) 1n (1wnW6)数列10, 8, 6
5、, 42, an10(n1)2)12 2n (n1)an(n1)(n1)由上述关系还可得:ama1(m1)d即：a1 am (m1)d则：an a1 (n1)d =am(m1)d(n1)dam(n m)d即的第二通项公式anam(nm)d,am an d=m n如：a5 a4 da32da23da14d三、例题讲解例1求等差数列8, 52的第20项-401是不是等差数列-5,-9-13的项？如果是，是第几项?解：由a18,dn=20,得 a2。8(20 1)(3)49由a15,d9 ( 5)得数列通项公式为:an 54(n1)由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n,使得4015 4(n 1)
6、成立解之得n=100,即-401是这个数列的第 100项.例2在等差数列an中，已知a5 10, a1231 ,求 ai,d,a20,an解法一：: a5 10, a12 31,则a1 4d 10a1 11d 31a12ana1(n 1)d 3n 5d 3a20 a1 19d 55解法二：: a12 a5 7d31 10 7d - a20a12 8d 55ana12 (n 12)d 3n 5.小结：第二通项公式an am (n m)d例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列Un中，设数列的第s项和第t项分别为Us和ut,计算u-u-的值，你能发现什么结论？并证明你的结论s t解：通过计算发现
7、乜工的值恒等于公差s t证明：设等差数列 Un的首项为U1,末项为Un,公差为d,Us u1 (s 1)d(1)utU1 (t 1)d(2)-得 Us Ut (s t)dds t小结：这就是第二通项公式的变形，几何特征，直线的斜率例4梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级，各级的宽度成等 差数列，计算中间各级的宽度.解：设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列,由已知条件，可知： a1 =33, a12=110, n=12a12 a1 (12 1)d ,即 10=33+11 d 解得：d 7因此，a233 740,a340 7 47,a454,a561,a668,
8、 a775,a882,a989, a1096, a11103,答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm, 47cm, 54cm, 61cm, 68cm, 75cm,82cm, 89cm, 96cm, 103cm.例5已知数列an的通项公式an pn q,其中p、q是常数，那么这个数列是否一定 是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定 an是不是等差数列，只要看 an an i (n2)是不 是一个与n无关的常数.解：当n2时，(取数列an中的任意相邻两项 an 1与an (n2)an an 1 (pn q) p(n 1) q pn q (pn p q) p 为
9、常数 an是等差数列，首项 a1p q，公差为p.注：若p=0,则an是公差为0的等差数列，即为常数列 q, q, q,若pw0,则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差，直线在y轴上的截距为q.数列an为等差数列的充要条件是其通项a n=pn+q (p、q是常数，称其为第3通项公式判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个.四、练习：1. (1)求等差数列3, 7, 11,的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前 3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a1=3,d=7 3=4.
10、，该数列的通项公式为：an =3+ (n1) X4,即 an=4n1 (n1,nCN*)a4=4X 4 1=15, a10 =4 X 10 1=39.评述：关键是求出通项公式 .(2)求等差数列10, 8, 6,的第20项.解：根据题意可知：a二10,d=8 10= 2.，该数列的通项公式为：an =10+ (n 1) x ( 2)，即：an = -2n+12,-a20 = 2 X 20+12= 28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.(3) 100是不是等差数列2, 9, 16,的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一
11、正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=9 2=7.，此数列通项公式为：an =2+ (n1) X7=7n 5.令7n- 5=100,解得：n=15, z. 100是这个数列的第 15项.(4) 20是不是等差数列 0, 31, 7,的项？如果是，是第几项？如果不是,2177说明理由.解：由题意可知：a1=0,d= 3 .此数列的通项公式为：an = -n+-,222人 77/口47令一万n+万= 20，解得n=-因为一7n+I=20没有正整数解，所以20不是这个数列的项. 222.在等差数列an中，(1)已知a4=10,a7=19，求a1与d;(2)已知 a3 =9,
12、 a9 =3，求 a12.a1 3d 10a1 1解：(1)由题息得：，解之得：a1 6d 19d 3312d 9a 11(2)解法一：由题意可得：,解之得 1现 8d 3d1，该数列的通项公式为：an=11+ (n1) x ( 1) =12-n,.1. a12 =0解法二：由已知得：a9 = a3+6d,即：3=9+6d,.d=-1, a2 = a +3d, - a2=3+3x ( 1)=0.IV.课时小结五、小结 通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列白定义及数学表达式：an -an1=d ,(n2, nCN ).其次，要会推导等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ,并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an am (n m)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.六、课后作业：七、板书设计(略)八、课后记：