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1、课时作业 （ 五十一 ）1.已知两条不同直线l i和l 2及平面a ,则直线l i / l 2的一个充分条件是（）A.li /a且l2 / aB.li _La且l2_LaC.li /a且l2? aD.li /a且l2?a答案 B解析 la 且 l2, a ? l i/ l 2.2 . （20i2 四川）下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析 若两条直线和同一平面所成的
2、角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧， 那么经过这三个点的平面与这个平面相交， B 项不正确3 .设a , 3表示平面，m n表示直线，则 m/ a的一个充分不必要条件是 （）A.且 mBB.an3=n且mnC.m/ n 且 n / aD.a / 3 且 m?3答案D解析若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.4 .若空间四边形 ABCD勺两条又扪t线 AC BD的长分别是8、i2,过AB的中点E且平行 于BD AC的截面四边形的周长为（）A i0B 20C 8D 4答案 B解析 设截面
3、四边形为 EFGH F、G H分别是BC CD DA的中点，EF= GH= 4, FG = HE= 6.，周长为 2X（4+ 6） =20.5 . （2013 衡水调研卷）已知直线l /平面a , PC a ,那么过点P且平行于直线l的直 线（）A.只有一条，不在平面a内B.有无数条，不一定在平面a内C.只有一条，且在平面a内iD.有无数条，一定在平面 a内答案 C解析 由直线l与点P可确定一个平面 3 ,则平面“，3有公共点，因此它们有一条 公共直线，设该公共直线为m因为l / a ,所以l / m故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面 a内，选C.6.下列命题中，是假命题的是（）A
4、.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面a /平面3 , a? a ,过3内的一点B有唯一的一条直线 b,使b/ aC. a / 3 , 丫 / 8 , a、 3 分别与 丫、 6 的交线为 a、b、c、d,则 a/ b/ c / dD. 一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 Da，3 ,直线AB与a、3都成解析 D错误.当两个平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图,45 角，但 aCl 3 = l .7.在正方体 ABCD- ABiCiD中,则MNI平面BBCC的位置关系是A.相交C
5、.垂直答案 B解析 连接CD,在CD上取点棱长为a, M N分别为AiB和AC上的点，AiMgANhq,3B.平行D.不能确定2aP,使 DP= , MP/ BG PIN/ AD. 3. MP/ 面 BBCC, pin/ 面 aadd面 MNP 面 BBCGMIN/ 面 BBCC8.设a、3、丫为两两不重合的平面，l、m n为两两不重合的直线.给出下列四个命题:若 a _L y , 3_1丫，则00/3;若 m? a , n? a , m/ 3 , n / 3 ,则 a / 3 ；若 a / 3 , l? a ,则 l / 3 ；若 00门3=1, 3 y = ml YCa=n, 1/丫，则
6、m/ n.其中真命题的是.答案解析 垂直于同一个平面的两个平面也可以相交，如墙角，该命题不对；m n相交时才有a / 3 ,此命题不对；由面面平行的性质定理可知该命题正确；:l / Y ,3CY=m l ? 3,，l/m 又 aC3=l,且 m? 3,，m/a.又 m? 丫且 YCa=n, m/ n,故对.9 .如图所示，四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M M P分别为其所在棱的中点，能得出 AB/面MNP勺图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）.N A答案10 .棱车B P- ABCD勺底面是一直角梯形，AB/ CD BAL AQ CD= 2AB PAh底面 ABCDE为P
7、C的中点，则BE与平面PAD勺位置关系为 .答案平行解析取PD的中点F,连接EF1在 PCD, EF触CDr1 r又. AB/ CD且 C氏 2AB EF= CD且 CD= 2ABEF触AR .四边形 ABE陛平行四边形，EB/ AF又. EB?平面PAD AF?平面PAD.BE/平面 PAD11 .如图所示，ABC。ABCD是棱长为a的正方体，M N分别是下底面的棱 AB、BC的中点，P是上底面的棱 AD上的一点，AP= a,过P, M N的平面交上底面于 PQ Q在CD3上，则PQ=.答案a 3解析 如图，连接 AC易知MN/平面ABCDMIN/ PQ又. MN/ ACPQ/ ACa PD
8、 DQ PQ 2又AP= 3? AdTCdTact3. PQ=沁 2/2a=22a.12 .考察下列三个命题， 在:处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l、m为直线，a、3为平面），则此条件为 .m? a 、l / m 、1,3、1 / m ；? 1 / a ; m/ a ；? 1 / a ; a 3 ? 1 / a .答案1 ?a解析 体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“1为平面a外的直线”，即“ 1?a ，它也同样适合，故填 1 ?a .13 .在四面体 ABC加，M N分别是面4 ACD BCD的重心，则四面体的四个面中与 MNF行白是.答案平面ABC平面ABD解析
9、连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD F.由重心的性质可知，E、F一，EM EN 1 一重合为一点，且该点为 CD的中点E.由MA= NB= 2,得MIN/ AB因此，MN/平面ABC且MIN/平面ABD14 .过三棱柱 AB(C-ABC的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA平行的直线共有 条.答案 6解析 过三棱柱ABC-ABC的任意两条棱的中点作直线，记 AC BC AiG, BG的中点 分别为E, F, Ei, F1,则直线 EF, EF, EE, FF, EiF, EFi均与平面 ABBA平行，故符合题意的直线共6条.15 .如图所示，已知ABCD ABGD是棱长为3的
10、正方体，点E在AA上，点F在CG上,G在BB上，且 AE= FC=BG= 1, H是BG的中点.11(1)求证：E、B F、D四点共面；(2)求证：平面AGH/平面BEDF. 解析(1)连接FG . AE= BG= 1,BG= AE= 2.BG AE,AG/ BE又 CF触 BG,FG触 CB触 DA.R 四边形GFGB是平行四边形，.四边形AGFD是平行四边形. .AG触 DF,DF触 EB故E、R F、D四点共面.(2) H是BC的中点， .BH= 2.又 BG= 1,BG_2, BH= 3.FC 2一又疗7 且/ FCB= Z GBH= 90 ,BC 3BHGo CBF ./ BGH=
11、/ CFB= / FBG . HG/ FB又由知，AiG/ BE,且 HGn 4G= G, FBn BE= B, 平面 AiGH/平面 BEDF.16.如图，三棱柱ABC-A1B1G,底面为正三角形,侧棱AiA，底面ABC点E、F分别是棱C5BB上的点，点 M是线段 AC上的动点，EC= 2FB当点M在何位置时,BM/平面 AEF?解析 方法一 如图，取AE的中点Q连接OF过点O作OML AC于点M 侧棱AiAL底面ABC 侧面AiACCL底面ABC .OML底面 ABC又 EC= 2FB,I OMZ FB糠EC 四边形OMBFJ矩形.BM/ OF又 OF?面 AEF BM?面 AEF故BM/
12、平面AEF此时点M为AC的中点.方法二 如图，取 EC的中点P, AC的中点Q,连接PQ PB BQ. PQ/ AE . EC= 2FB, PE触 BF, PB/ EFPQ/ 平面 AEF PB/ 平面 AEF又 PQ PB= P,，平面PBQ平面 AEF又 BQ?面 PQBBQ/ 平面 AEF故点Q即为所求的点 M此时点M为AC的中点.17.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD点E在PD上，且PE： ED= 2 ： 1,在棱PC上是否存在一点 F,使BF/平面AEO证明你的结论.解析 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC证明：取PE的中点M连接FM则FM/ CE,1 一,一，由EM
13、= PE= ED知E是MD勺中点.连接 BM BD,设 BDH AC= Q则O为BD的中点，连接OE所以BM/ OE由，知，平面 BFM/平面AEC又BF?平面BFM所以BF/平面 AEC18.（2012 山东）如图，几何体 E-ABCD四棱奉B, ABM正三角形，CB= CD EC! BD求证：BE= DE（2）若/ BCD= 120 , M为线段 AE的中点，求证： DMT平面BEC解析 （1）如图，取BD的中点Q连接CO EO由于CB= CQ所以COL BD又 ECL BD E6 CO= C,CO EC?平面 EOC所以BDL平面EOC因此BDL EO又O为BD的中点，所以BE= DE(
14、2)方法一 如图，取 AB的中点N,连接DM DN MN因为M是AE的中点，所以MN BE又MN?平面BEC BE?平面BEC所以MNZ平面BEC又因为 ABM正三角形，所以/ BDN= 30 .又 CB= CD / BCD= 120 ,因此/ CBD= 30 .所以DM/ BC又DN?平面BEC BC?平面BEC所以DM/平面BEC又 MNP DN= N,故平面DMM平面BEC又DM平面DMN所以DM/平面BEC方法二 如图，延长 AD BC交于点F,连接EF因为 CB= CQ / BCD= 120 ,所以/ CBD= 30 .因为ABM正三角形，所以/ BAD= 60 , / ABC= 9
15、0 .因止匕/ AFB= 30 . ,1所以AB= AF又 AB= AD所以D为线段AF的中点.连接DM由于点M是线段AE的中点,因此DM/ EF.又Dl?平面BEC EF?平面BECjiAOSHI BE iXUANTi新标版I，”所以DM/平面BEC1 .设x, y, z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若xz, yz,则x/y”为真命题的序号有 .（把所有的真命题全填上）x为直线，y, z为平面；x, y, z都为平面；x, y为直线，z为平面；x, y, z都为直线，x, y为平面，z为直线.答案解析 直线x可能在平面y内；平面x与y可能相交；直线x与y可
16、能相交，也 可能异面，故正确.2 .如图所示，在四棱锥 P ABC珅，ABCD1平行四边形，M N分别是AB PC的中点， 求证：MN/平面PAD证明方法一取CD中点E,连接NE MEArFA；内 M ll. Ml N分别是AB PC的中点， .NE/ PD ME AD .N曰平面PAD ME/平面PAD又NmM叁E, 平面MNH平面PAD又MN平面MNE .MN/平面 PAD方法二 取PD中点F,连接 AR NF. Ml N分别为AB PC的中点，,1, 1，N限,CD AMBCD .AM NF，四边形AMN的平行四边形.MN/ AF又AF?平面PAD MN?平面PAD .MN/平面 PAD
17、3.如图，在正三棱柱 ABC- ABC中，点D在边BC上，ADL CD求证：ADL平面BCCB;BE (2)设E是BC上的一点，当 )的值为多少时， A1E/平面AD0请给出证明.EC解析 (1)在正三棱柱中，CCL平面ABC AD?平面ABC，AE C6又ADL GD, CC交CD于Ci,且CC和CD都在平面 BCCB内，ADI平面BCCB.(2)由得ADL BC在正三角形 ABC, D是BC的中点.,BE 一当三K= 1,即E为BC的中点时，AiE/平面ADCEC在正三棱柱 ABC- ABG中，四边形 BCCi是矩形，且 D E分别是BC BG的中点,BB/ DE BiB= DE又 BiB/ AA,且 BB= AA, .DE/ AA,且 DE= AA.四边形ADEM平行四边形，AiE/ AD而AiE?平面ADC,故AiE/平面ADC