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1、精品文档2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文科)第I卷(共50分)-、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 2(1)【2016年四川，文1, 5分】设i为虚数单位，则复数 1 i ()(A) x 1 x 3(B) x| 1 x 1(C) x|1 x 2(D) x|2 x 3【答案】C【解析】试题分析：由题意， (1 i)2 1 2i i2 2i ,故选C.【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.(2)【2016年四川，文2, 5分】设集合 A x1 x 5 , Z为整数集，则集合 AI
2、Z中元素的个数是 ()(A) 6(B) 5(C) 4(D) 3【答案】B【解析】由题意，AI Z 1,2,3,4,5 ,故其中的元素个数为 5,故选B.【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.(3)【2016年四川，文3, 5分】抛物线y2 4x的焦点坐标是()(A) 0,2(B) 0,1(C) 2,0(D) 1,0【答案】D【解析】由题意，y2 4x的焦点坐标为1,0 ,故选D.【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题.(4)【2016年四川,文4,5分】为了得到函数y sin x -的图象，只需把函数y 3sinx的图象上所有的点(A
3、)向左平行移动一个单位长度 3(C)向上平行移动一个单位长度 3【答案】A(B)向右平行移动 一个单位长度 3(D)向下平行移动 一个单位长度 3【解析】由题意，为得到函数y sin x ,只需把函数y sin x的图像上所有点向左移 一个单位，故选 A33【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移左加右减 的原则，是解答的关键.(5)【2016年四川，文5, 5分】设p:实数x , y满足x 1且y 1 , q :实数x , y满足x y 2 ,则p是q的 ()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，
4、x 1且y 1,则x y 2,而当x y 2时不能得出，x 1且y 1 .故p是q的充分不必要 条件，故选A.【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.(6)【2016年四川卷，文6, 5分】已知a函数f xx3 12x的极小值点，则a ()(A) 4(B) 2(Q 4(D) 2【答案】D【解析】f x 3x2 12 3 x 2 x 2 ,令f x 0得x2或x 2 ,易得f x在 2,2上单调递减，在2, 上单调递增，故f x极小值为f 2 ,由已知得a 2,故选D.【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要
5、熟悉二次函数的图象.(7)【2016年四川，文7, 5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12 0.05, lg1.3 0.11, lg2 0.30)10欢在下载(A) 2018 年(B) 2019 年(C)2020 年(D) 2021 年【答案】B【解析】设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过1.12n 变，两边取常用对数得 nlg1.12 lg130【点评】本题考查了等比数列的通项公式、200
6、 ,n130200万元, lg2 lg1.3lg1.12由已知得1301 12% n 200,0.3 0.11 仁 c3.8, n0.054 ,故选B.不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题.(8)【2016年四川，文8, 5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n,x的值分别为32.则输出v的值为(A) 35【答案】C【解析】初始值n 3v 4 2 1)(B) 20(C) 18(D) 9x 2,程序运行过程如下表所示
7、 v 1 , i2, v9, i 0, v 9 2 0 18, i 1,跳出循环，输出1 2 2 4, i 1v 18,故选C.【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行 解答.(9)【2016年四川，文9, 5分】已知正三角形 ABC的边长为2/3,平面ABC内的动点PM满足uuuu1 , PMuuuruuuu 2(A)竺】4【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系.(B)的最大值是494B 0,0(C) 37 6 34(D)37 2、, 334C 2 3,0A 73,3 . M 满足 AP点M的轨迹方程为:0,2UUUUPMuuuuMC1一
8、cos21 sin2uuuu 2BM1一 cos21一 sin23743sin494uuuu 2 BM的最大值是49故选B.4【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值,(10)【2016年四川，文10, 5分】设直线l2分别是函数f(x)L与i垂直相交于点P ,且L , b分别与y轴相交于点A(A) 0,1【答案】A(B)0,2(C)【解析】解法设 P1(X1,y1), P2(x2,y2)(X1 X2),易知 Xi 1, X2X111 ln x1 , l2: y x ln x2 1 ,与 曾由的父点为X2坐标为19 r11T/演发17cos , y 3 sin ,考查了推理
9、能力与计算能力，属于中档题.lnx,Xx01,X 1，图象上点P, P2处的切线,B,则0,k1(0,1ln x),PAB的面积的取值范围是(D) 1,N2(0, ln x21X2X1 X21 ,则直线l1 :则交点横2 1 一1 ,与游由的交点为(0,ln a 1), (0, ln a 1),则S a -aPABS PAB(0,1)解法2:特殊值法，若XiX2 1 ,可算出 S PAB 1 , Qx 1,故S PAB1,排除BQ令12, x22,算出S PAB 1 ,故选A故选A【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 转化思想方法，属中档题.训练了利用基本不等式求函数的最值,
10、考查了数学logab为整数的概第II卷(共100分)二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分(11)【2016年四川，文11, 5分】sin750 .【答案】121【解析】由二角函数诱导公式 sin750sin(72030 ) sin30【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题.(12)12016年四川，文12,5分】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .【答案】f3【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S工2J3 1 J3 ,高为1,2三棱锥的体积为V 1Sh 111,而P1,1的伴随点为 22 则f x,
11、 y 0对于曲线f x,y3 1超.333【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题.(13)【2016年四川，文13, 5分】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b,则率=6【解析】从2, 3, 8, 9中任取两个数记为 a,b,作为作为对数的底数与真数，共有 A 12个不同的基本事件，21其中为整数的只有log2 8,log3 9两个基本事件，所以其概率P - -.12 6【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.(14)【2016年四川，文14, 5分】若函数f x是定义R上的周期为2的奇函数，当0 x 1时，f x 4x ,一 5
12、则 f 5 f 2 .2【答案】2【解析】二.函数f x是定义R上的周期为2的奇函数，当0 x 1时，f x 4x,f 2 f 0 0 ,1f -f -2 f -f -4742,则 f f2 2 02 .22222【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键.(15)【2016年四川，文 15, 5分】在平面直角坐标系中，当 P x,y不是原点时，定义 P的 伴随点”为P F,1,当P是原点时，定义 伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的 伴随点”是点A , x y x y则点A的 伴随点”是点A;单元圆上的 伴随点”还在单位圆上；若两点关于x
13、轴对称，则他们的 伴（写随点”关于y轴对称；若三点在同一条直线上， 则他们的 伴随点”一定共线.其中的真命题是 出所有真命题的序号).【答案】1【解析】对于，若令P 1,1 ,则其伴随点为P 12对于，设曲线f x,y 0关于x轴对称,1, 1 ,而不是P ,故错误；0表示同一曲线，其伴随曲线分另I为fy x22 , 22x y x y0与f 三，一三 0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为 x y x yf -rL-2-r20与f 丁方，一0的图像关于y轴对称，所以正确；对于 ，令单位圆x y x yx y x y上点的坐标为 P cosx,sin x其伴随点为Psin x, cosx仍在
14、单位圆上，故正确；对于，直线y kx b上取点后得其伴随点tJ,-x y x y消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的序号为.伴随点”的定义是解决本题的关键.考查学生的推理能力.【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解 三、解答题：本大题共 6题，共75分.(16)【2016年四川，文16, 12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制 定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100位居民每人的月均用水量(单位：吨) ，将数据按照 0,0.5 ,0.5,1 ,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中的a值；(2)设该市有30万居民，估计全
15、市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.解：(1)10.08 0.16 a 0.40 0.52 a 0.12 0.08 0.040.5 ,整理得：(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 3吨的频率为 0.12 0.08 0.04 0.5 0.12 ,又样本容量=30万，则样本中月均用水量 不低于3吨的户数为30 0.12 3.6万.0.038 2.038.PAB 90 ,(3)根据频率分布直方图，得； 0.08 0.5 0.16 0.5 0.30 0.5 0.42 0.5 0.48
16、 0.5, 0.48 0.5 0.52 0.74 0.5,中位数应在 2,2.5组内，设出未知数 x, 令 0.08 0.5 0.16 0.5 0.30 0.5 0.42 0.5 0.52x 0.5,解得 x 0.038中位数是 2 【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法.频率分布直方图中小长方形的面积 组距 婴受，各个矩形面积之和等于 1,能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型. 组距(17)【2016年四川，文17, 12分】如图，在四麴t P ABCD中，PA CD, AD/BC, ADC 1 BC CD -AD .2(1)在平面PAD内找一点M ,使得直线CM/
17、平面PAB ,并说明理由；(2)证明：平面 PAB 平面PBD .解：(1)解法1：M为PD的中点，直线 CM /平面PAB .取AD的中点E ,连接CM , ME , CE , 则 ME / /PA，= ME 平面 PAB , PA 平面 PAB ,ME/平面 PAB . AD /BC , BC AE , ABCE 是平行四边形，CE / /AB , 丁 CE 平面 PAB , AB 平面 PABCE/平面 PAB.丁 MEI CE E ,，平面 CME/平面 PAB , CM 平面 CME , CM /平囿 PAB . 解法2:1取AD的中点M(M 平面PAD ),点M即为所求的一个点.理
18、由如下：因为AD/BC,BC -AD ,2所以BC / /AM .所以四边形 AMCB是平行四边形，从而CM / /AB .又AB 平面PAB , CM 平面PAB . (说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线 MN上任意一点).(2) PA CD, PAB 90 , AB 与 CD 相交，PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD,，PA BD ,1 一由(1)及 BC CD -AD ,可得 BAD BDA 45 ,ABD 90 ,BD AB, PAI AB A, 2 BD 平面 PAB, BD 平面 PBD,，平面 PAB 平面 PBD .【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定
19、，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理 论证能力，属于中档题.(18)【2016年四川，文18, 12分】在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c,且SsA cosB sinC . a b c(1)证明：sin AsinB sinC ;(2)若 b2 c2 a2 6bc,求 tanB .5ab ccos AcosBsinC解：(1)由正弦定理 ，可知原式可以化解为 1 , A和B为三角形内sin Asin Bsin Csin Asin BsinC角,sin Asin B 0 ,则两边同时乘以 sin Asin B ,可得 sinBcosA sin AcosB
20、 sin Asin B ,由和角公式可知,sinBcosA sin AcosB sin AsinC sin C ,原式得证.2(2)由题b6-bc，根据余弦定理可知,5cosAb22c2bca 3一，: A为为二角形内角，A 0，,5sin A，即也sin A3cosA cosBsin C/一,由(1)可知14sin Asin Bsin Ccos B sin B-1 tan B 4.两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理， 应用，考查了转化思想，属于中档题.(19)【2016年四川,文19, 12分】已知数列 an的首项为1, S为数列
21、an的前n项和，Sn 1 8nq 0, n N .(1)若a2, a3, a2 a3成等差数列，求数列 an的通项公式； 2(2)设双曲线x2 y2 1的离心率为Q,且2,求e；e22en2 .an解：(1)由已知，Sn+1 =qSn+1,Sn+2=qSn+1+ 1 ,两式相减得到an+2 =qan+1,n ? 1 .又由S2= q + 1 得到 =qj,故an+1=qan对所有n3 1都成立.所以，数列a。是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.n- 1_*由 a2,a3,a2+a3成等差数列，可得2a3 = % +a2 +a3,所以a3=2a2,故 q=2 .所以an =2 (
22、n ? N ).(2)由(1)可知，an= qn-1 .所以双曲线x22y2 an=1的离心率号=.1+ a/ = 1+ q2(n- 1)由 e2= /+ q2 = 2解得 q=君.所以，/+%2+ 舒 en2 = (1+1)+ (1+q2)+鬃1+ q2(n-1)2n22(n- 1)q - 11 n= n+1+q + 鬃 q = n+ 2= n+ -(3 - 1) .q - 12【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q 0这一条件.22(20)【2016年四川，文20, 13分】已知椭圆E：勺与1 a b 0的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形a
23、b的三个顶点，点P依1在椭圆E上.2(1)球椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆E交于不同的两点2与椭圆E交于C, D,证明：|MA |MB MC| |MD .A , B ,线段AB的中点为M ,直线OM22解：(1)由已知，a 2b.又椭圆x2与1 a a b2所以椭圆E的方程y2 1 .4b 0过点P V3,-,故且24b21A 1,解得b2(2)设直线l的方程为y1-x mm 0 , A ,山,B为,由方程组 22 x41y - x2得 x2 2mx 2m2 20方程的判别式为2242 m,由 0,即 2m 0 ,解得72 m亚.由得 x1 x2 2m, xx222m
24、2 .所以M点坐标为mm,一，2直线OM方程为y2 x1 x ,由方程组 42所以MC MD -J1-x2541.MA| |MB JAB1x1x24yiV2516x1X24x1x2522524m 4 2m 2-2m164所以 MA MB MC MD .【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题.(21)【2016年四川，文21, 14分】设函数fef ,其中a R , e 2.718为自 e然对数的底数.(1)(2)(3)讨论f x的单调性；证明：当x 1时，g x 0 ;确定a的所有可能取值，使得
25、f xx在区间1,内恒成立.解：(1)2ax22ax 1xx 0 .当a 0时,0,内单调递减；当a 0时,(3)时,1 0,.2a时,0,单调递减;0,x单调递增.ex 1 1 .当 x1 时，s x从而由(2),当x 1时,0 .当 a 0,x 1 时，fIn x故当1 F 0. eg x在区间1,内恒成立时,必有0 当 0 a1时二.,11.由(1) f -=2a从而所以此时在区间1,内不恒成立.1,人,一时，令h x f x21 .当x 1时,h(x) = h12ax 一x又因为 h 10,所以当11x -x xx 1时,2x 12x 2x 112,【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性, 数，求导数是关键.0 .因此h x在区间1,x g x恒成立.不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函