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1、课题：定积分讲授人： 胡周霞时间： 2017 年 12 月地点：枞阳三中数学组课型：新授课教学目的：1 .通过实例，了解定积分的相关概念；2 .掌握定积分概念，会求定积分；3 .能运用定积分的几何意义解释定积分计算所得的正负结果。4 . 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法教学重点：1 .定积分相关概念的理解与掌握；2 .如何求定积分；3 .如何运用所学的相关知识解决问题。教学难点：4 .定积分相关概念的理解与掌握；5 .如何求定积分；6 .如何运用所学的相关知识解决问题。教学工具：多媒体教材分析：定积分的概念是定积分的应用、定积分的计算、了解掌握定积分的几何意义的基础,是对定积分
2、知识的总结和升华的前提与条件,通过用对定积分的学习，可以为以后解决一些简单曲边多边形的面积问题,使学生初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用,体会导数与定积分之间的内在联系 .定积分是前面的导数与后面的定积分应用的纽带与桥梁，所以，学好定积分是学好后续内容的关键所在，起着承上启下的作用。教学主要过程：1 .定积分问题举例；定积分教学设计第1 页 共 21 页abo a bI 一.定积分问题举例:;：1 ：闻!印以具般自用兵般塞8团同则国博同阳口型审目左通国即日审8京同审印目网同里g的同壁制目均具g怕通同咧期矩形面积=ah, h梯形面积=-（a + b）曲边梯形的面积怎么求呢?设曲边梯形
3、是由连续曲线y = f（x）（f（x）0） 及天轴，以及两直线x = a、 = b 所围成，求其面积月.定积分教学设计第3页共21页现将曲边梯形分割成一系列小的窄的曲边梯 形，观察下列演示过程，注意当分割加细 时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系.蓝色矩形面积和）（阴影曲边三角形）观察下列演示过程，注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.0. 13D4351.00D95秋分亚旭他)二言一一 三二W卫，3 ,= K观察下列演示过程，注意义分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.2一二二导1*.*5- wurr 息
4、33个分割良方图示1 .45)0,090901 上加-下和I r二二二1.二一-TUBB观察下列演示过程，注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.53中分副声的用版0.0566033 ;上料-下和）irQooie t配分:近保偏Ou 047IS 19S3个分用内的图示|上利-下和）1.00013 1携分近源僵）观察下列演示过程，注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.vsWWWWImDT.一J一 二一观察下列演示过程，注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.定积分教学设计第10页共21页观
5、察下列演示过程，注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.观察下列演示过程，注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯 形面积.因此曲边梯杉的面积可以按照如下方法求：1）大化小.在区间m,力中任意插入门-1个分点。=王0 $ 一 % =b用直线工=*将曲边梯形分成11个小曲边梯形;定积分教学设计第11页共21页2）常代变.在第7个窄曲边梯形上任取曷_卜片作以4一/为底./（&）为高的小矩形，并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积小斗、得3产/。）| （3%=-_,，= 12一,7）3）近似和.nn=山产?-1；-14）取极限.令2 =
6、 maxAxJ,则曲边梯形面积h不享TK1”产 F fnA = li m 工八。日=Hm /恪）”,八汩2 .定积分的意义；二、定积分定义设函数/0）在小村上有界，若对51的任一种分法 a = x()xi x2 - 0时?=1总趋于确定的极限，则称此极限/为函数/ 在区间d /“上的定积分,记作*ba/ (,T)ck = lim Z/(4)A*文一 0二J 7-J-l1V1 茗 b Xj=i定积分教学设计第28页共21页此时称/（X）在m上可积.举分上限卜r h可称为积分区间被积表达式积分变量积分和米注意：(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的字母无关.=1/(出= J(2)
7、定义中区间的分法和&的取法是任意的.(3)函数有界是可积的必要条件，也就是说闭区 间上的可积函数一定有界，函数无界肯定不 可积.定积分的几何意义：/(工)0,l)f(X)dv = A曲边梯形面积J (7/(才)0,/(1)&=一口 曲边梯形面积的负值J j（X）d X =44 y12 + 口3 -+各部分面积的代数和可积的充分条件：定理L函数/。)在5)1上连续 U/。)在/回可积.定理2*函数/(#在习上有界,且只有有限个间断点f(x)在a, b可积.(证明略)例L利用定义计算定积分，铲口.解：将0.11 a等分，分点为4=( y(i = 0,l，6)在区间n ii取号= 上=)(，= L2
8、,团* 1 fj1 H2则 /(DM =匕枭产下 irH12?=i仪?=11 )(277 + 1) ir 6=(1 + -)(2 + -) 6 ii iiv 11I=hm -(1 + -)(2+-)hfs 6iin1( + 1) -/ =37厂；稼一。7 1=3(7712；-13 =3U2两端分别相加.得(n + 1)3 -1 =3(l?+22+*即/+3/ +3” =范+ 3”-H1)+ 3( 1) + 1+ 3,1+1+) + 3(1 + 2 + H)+ H坐+注利用 5 + 1)3 = / + 3灯2+34 + 1,得J0(=1例2.用定积分表示下列极限：(1) lim Vil + (2
9、) lim对一8,=丫U*-管解：(1) lim-y.fl+ = hmyJT8/7f= JV=r Jl + xdx Jo小、产+22+ / r -J向=Inn 2 (y4TS 0=cLr Jo3.定积分的性质。Lp+2p+-+np 仍in ni i-Y- ArrH J)+ 1)(2h + 1)三、定积分的性质（设所列定积分都存在）h2 , I dx =b-a J a3 .kf （jv）di =左/（丫）clr （七为常数）4 第刈4=J：/（N）dx j：gd工证：左端=另）gCja?=理*网!峪-端：/G)h = J；/(x)dx +r b*)心i：当c 方时.a（因/（%）在a,b上可积,
10、所以在分割区间时,可以永远取c为分点，于是E/(Z = Z/C+ Z/)%I 3以句j7(x)d = f7(x)dx + P/(7X)&V当，。的相对位置任意时，例如a bc则有= f(x)dx +(K)drv bf(x)dx = c f(x)dx -J7(v)dvJ aJ aJb=J；/(x)0 /=1Cb二 f(x) d x = lim Z 八。)之。九 T推论L若在a,切上f(x) g(x),则J：/(2dxS J：g(x)dx皿、人 I bb.推论2.f f(x)dx f f (x) dx (a b)aa，证：丫-| f(x)| f (x) | f (x)|bbb,-f (x) dx
11、f f (x)dx f f(x) dxLaLa、abb即 f f (x)dx f f(x) dx aa7.设 M = max f (x), m = min f (x),则 a,ba,bbm(b - a)三 f (x)dx 三 M (b - a) (a b) aQIC二 sin x例 3.试证：iw rsingdxw.0 x 2证:即故设f(x)=绘，则在(0,y)上，有 xf (x)xcosx - sinx cosx,、2=2 (x - tanx) : 0 xxji 十f( 2 ) ： f(x) ： f(0 )2f(x) 1, x (0, 9)二22 2 dx - 2 f (x) dx - 2
12、1dx 0 00sin xxdx -QIC说明:?积分中值定理对a b都成立.bf (x)dx?可把 - =f6)b - a理解为f (x)在a,b上的平均值y = f (x)yb xo abf(X)dXna= lim 、 f ( i)b - a b - a n； i =11、n .=lim 2 f ( i) n 二 ni=i故它是有限个数的平均值概念的推广.例4.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均 速度.解：已知自由落体速度为v = gt故所求平均速度1 Tv gtdtT - 0 0 aQIC内容小结1 .定积分的定义一乘积和式的极限2 .定积分的性质3 .积分中值定理连续函数在区间上
13、的平均值公式QIC思考与练习1.用定积分表示下述极限：1 | 慝 2二(n -1)二I = lim sin sin - - sin,n : n IL n nnn1 %. k 二 1 二解：I = lim sin= sinxdxn 二二 n n 二0n或 I = lim sin (二7k、11 . .)一 i sin xdx n n 0QIC思考：如何用定积分表示下述极限 1 . 2二 .n二.（n 1）二 lim sin：sin sin n. nIL nnn1n k 二二提木： I = lim sin 一n 二二 k =1n n“ 1-nn1_（n + 1）兀-lim -sin+ lim -sin-n-onn ion n1 二.,= LsinXdX J 极限为 0 !QIC布置作业:预习下一节内容