《江苏省张家港市2012-2013学年高二数学周日测试2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省张家港市2012-2013学年高二数学周日测试2.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、张家港外国语学校高二数学理科周日测试卷22 ai =、2i1 .若a为实数，1 + 42i，则a等于2 .若复数（a 一i）（1（i是虚数单位，a三R）是纯虚数，则a=.一一一0）3 .已知双曲线,犷 斤的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为222224.当且仅当mWYn时，两圆x +V =49与x +V -6x-8y+25-r =0（0）有公共点，则n m的值为22三-4=1（a 0,b 0）5、若双曲线a b上不存在点P使得右焦点F关于直线OP （O为双曲线的中心）的对称点在 y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为6、在正三棱锥ABCD中，E、F是AB、BC的中点，EF
2、_L DE ,若BC = a ,则正三 棱车I A-BCD的体积为7将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为8、从10种不同的作物中选出 6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有22-2 乌=1（a b 0）9、椭圆a b的一个焦点为F,点P在椭圆上，且iOPF （O为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率 e=.2Sr 二10、我们知道若一个边长为 a,面积为S的正三角形的内切圆半径3a ,由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S,体积为V，则其内切球的半径r =.11.(1 +x)+(1+x)2+(1+x)3 +
3、川+(1 +x)10的展开式中含X2项的系数是12、设-312_f (x) = x x -2x 52，当xW-1,21时，f（x）Mm恒成立，则实数m的取值范围13、已知F1、F2分别为椭圆22 L=1259 的左、右焦点,P为椭圆上一点，Q是y轴上的一个动点，若 IPFi I -1 PF2 1=4 ,则 PQ (PFi - PF2)=14、用1, 2, 3, 4, 5这五个数字可组成比20000大，且百位数不是3的无重复数字有个.15 .如图，在直三棱柱ABC 1AB甘，/ACB=90 , E，F，G分别是AAi，AC，BBi 的中点且 CGC1G.(I )求证： CG 平面BEF；(n)求
4、证：平面BEF _L平面AC1G .(x ,x 3 )n16 . (1)已知7x 展开式中前3项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来。设 an =1 + q + q 2+ lit q ng N *qH 力，An =C1al +C12a2+川 +Cnan 用 q和 n表示An ;Ann17.已知A、22B为椭圆43二 1的左右顶点,F为椭圆的右焦点,P是椭圆上异于A、 B求证：当q充分接近于1时，2n充分接近于2。-7 -的任意一点，直线 AP、BP分别交直线1 : x = m(m2)于M、N两点，l交x轴于C点.（I）当PFl时，求直线AM
5、的方程;(n)是否存在实数m ,使得以MN为直径的圆过点F ,若存在，求出实数 m的值；，若不存在,请说明理由;（出）对任意给定的m值，求AMFN面积的最小值.x sin xf （x）二18.设函数x .（i）判断f（x）在区间（0,71）上的增减性并证明之；（n） 若不等式0w a w x-3 +yZ -x对x 3,4恒成立，求实数a的取值范围m；(出)设0w x0.m x(x -1) (x -m 1)Cx =;.一 19.规定m!,其中xC R, m是正整数,C0 =1、，“一且Cx这是组合数Cmn(n、CxC 3/ c 1 2m是正整数，且 mWn)的一种推广.得最小值？ (3)组合数的
6、两个性质； 求C5的值；(2)设x0,当x为何值时，(Cx)取mn -mm m _1mCn =Cn .CnCn =Cn书.是否都能推广到mCx (xC R, m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说 明理由.-，、x2,，=，、-，、，一、20.已知函数 f(x)=a +x -xlna(a0,a#1) .(I)当 a 1 时，求证：函数 f在(0, ) 上单调递增；(n)若函数y弓M-UT有三个零点，求t的值；(出)若存在x1,x2匚-1,1,使得| f (x1) 一 f (x2)|eT ,试求a的取值范围.数学附加题1.某中学要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校
7、区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽13车走公路堵车的概率为 1,不堵车的概率为3；汽车走公路堵车的概率为 p,不堵车的概率为1-p。若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。（I）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为卡,求走公路堵车的概率； （n）在（I）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数上的分布列和数学期望。*2.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点F、T、M、p满足OF =(1,0),OT = (-1),- H rFM =MT,pM J. FT,pT/OF (i)当t变化时，求点p的轨迹C的方程;(2)若过点F的直线交曲线 C于A,B两点，求
8、证：直线TA,TF,TB勺斜率依次成等差数列.3.在fII柱 ABCA1B1C1 中，AA，平面 abc, NACB=90ac=bc = AA=1分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点。(1)证明:A1B1- C1D;AM2时，求二面角 M DJA的大小。,D、ESn1； ；Qan = -a1 = -1;4.已知数列an的前n和为Sn,其中 n(2n1)且3求a2,a3(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.参考答案:则a等于1、若a为实数,4、当且仅当22222mWrEn 时，两圆 x +y =49 与 x +y -6x_8y + 25-r =0(r0)有公共点105、1
9、, 26、在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF _L DE ,若BC = a ,则正三棱车B A - BCD的体积为2247、70c8 A5 号8 种22x y2 2 =1（a b、0）9、椭圆a b的一个焦点为F,点P在椭圆上，且AOpF （O为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率 e二,3 -12Sr 二10、我们知道若一个边长为 a,面积为S的正三角形的内切圆半径3a ,由此类比，若3V个正四面体的一个面的面积为 S，体积为V，则其内切球的半径r = 4S .11、系数为C1113、已知 F1、F2分别为椭圆252=19的左、右焦点，P为椭圆上一点，Q是y轴上的一个动
10、点，若 lPF11TpF2|=4,则 PQ ,（肝1 - PF2 ）= =20。14 、 78 个二、解答题：本大题共 6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .如图，在直三棱柱ABCBC5,/ACB=9O0, E,F,G分别是AA，AC，BB1的中点,且 CG _ C1G .(I)求证：Cg/ 平Bef ;(n)求证：平面BEF_L平面AC1G.证:（i）连接AG交BE于D,连接 df，eg. E,G 分别是 AAi，BBi 的中点，AE / BG 且 ae = bg,四边形aegb是矩形.D是 AG的中点分）.（3又 F是AC的中点，DF / CG分) (5则由DF
11、仁面BEF ,CG0面BEF捐CG /面BEF分）（7(注:利用面面平行来证明的，类似给分)(n) 在直三棱柱 abc-AbQ 中，CQ，底面 AiBiCi,CiC，AiG.又.ZA1C1B1 =/ACB =900 即 加上 A1Ci . AQ面 BCCB分（9而 CG 仁面 B1c1cB . aici CG1-分）（1又CGCiG,由（）DF cg 二 ACi, DF,DF 1 CiGDF _L 平面 AC1G分）（13D DF u 平面 BEF，平面 BEF _L 平面 AC1G.4.分)(116. (1)展开式中没有常数项，有一次项，且一次项为1792x1 nn .An 2 -（1 q）
12、（1）1-qi -q(2)提示:当q充分接近于 1时， 2接近于 0,由二项式定理知充分接近于1 -q1 -n（-2),所以得证。17.已知A、P是椭圆上异于A、 B=1B为椭圆4 3的左右顶点，F为椭圆的右焦点, 的任意一点，直线AP、BP分别交直线l : x = m(m2)于M、N两点，l交x轴于C点.(I)当PF/l时，求直线AM的方程；(n)是否存在实数 m ,使得以MN为直径的圆过点F ,若存在，求出实数 m的值；，若不存在，请说明理由；(出)对任意给定的 m值，求&MFN面积的最小值.18.设函数f(x)=x -sin x(I)判断f(x)在区间(0,71)上的增减性并证明之；(n
13、 )若不等式0w a w Jx_3 + 44-x对x亡3,4恒成立，求实数a的取值范围m ；(出)设 0wxwn,且 aWM ,求证：(2a -1)sinx + (1 -a) sin(1 - a)x 0.解：(I )f(x)=x sin xsin x=1 xcosx - sin x f ( x) =2xx (0，二)设 g(x) = xcosx - sin x x w (0,冗)则 g (x) = -xsin x 0(丁 x w (0,n ). g(x)在(0, 2 上为减函数 又: g(0)=0 xW(0,用时，g(x)0g(x)f (x) = -2-:二 0 xf(x)在 (0,町上是减函
14、数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4 分(n). .(Vx3+V4)2 =1+2V(x-3)(4-x) . x = 3或4 时(.x - 3 , . 4 - x ) min - 1 .(寸 x - 3 - J4 - x )由所二 1 又 0w a w Mx 3 +m4 x 对一切 x 三3,4恒成立，. 0w a W 1 8 分10分(出)显然当a =0,1或x =0，时，不等式成立当 0 a 1 且0 x (1 -2a)sinx 11分22下面证明一个更强的不等式：(1-a)sin(1-a)x(1-2a + a)sin x=(1a) s1nx.sin(1 a)x sin x 即sin(
15、1 _a)x )(1 _a)sinx .亦即 (1 -a)x 接 x 13分sin xsin(1 -a)x sin x由知x在(Q)上是减函数又(1-a)x (1 - 2a) sin x综上有0wxwn且0waw1时，原不等式成立16分C3(5)(6)(一17)C 1568019.(1) -3!C；x(x_1)(x/)12(2) (er =6x2=6 x)当且仅当x = J2时，等号成立(6分)2 _ _x _ _2 2(7分). x0, x .C31 2.当x=d2时，(Cx)取得最小值.(12分)(3)性质不能推广，例如当1 2x = j2时，CM有定义，但C： 无意义;(14 分)性质能
16、推广，它的推广形式是Cm 4cxm-乩平，xWR , m是正整数.(15分)事实上，当m =时，有Cx +Cx =x +1 =Cx+m m 1CxCx当m 2时.x(x-1) 一(x m 1) x(x -1) 一(x -m 2)m!(m -1)!x(x-1)(x-m - 2) x -m 1 “ x(x _1) - (x _m ：卜2)(x ：1)=z 771-I Cm(m-1)! I m m!Cx 书(20 分)20 解.()f (x) =ax ln a+2xln a =2x+(ax1)ln a分3x1 /x, _ x. x /由于 a1,故当 x=(0, z)时，maAQa TaO,所以 f
17、 (x)0故函数f(x)在(0, +8)上单调递增 分5(n)当a 0,a *1时，因为f (0) = 0 ,且f (x)在r上单调递增，故f (x) =0有唯一解X=0分7所以x, f (x), f (x)的变化情况如下表所示：x(-0,0)0(0Df(x)一0十f(x)递减极小值递增又函数yH f3-tL1有三个零点，所以方程,虫工1有三个根，而 t+1At-1,所以 tT=(f(x)min=f= 解得 t=2 分11-17 -(m)因为存在三一1,1,使得 | f(xi)- f(x2)|e-1所以当 xW1,1时，|( f (X)max ( f(X)min |=(f(X)max (f(X
18、)min 1 由(n)知，f(x)在一1，0上递减,在0，1上递增,诉门西 XW-1,1时(f(X)Ln =0)=1,(f(X)max=maxf(-1),f(1)11f (1) - f ( -1) =(a 1 -ln a) -(1 In a) = a - - 2ln a而aa ,11212(当t =1时取等号)g(t)=t-2lnt(t .0) g(t)=1 下-：=(1) -0 记t，因为t t t1g(t) =t - -21nt所以t 在3(0，*)上单调递增，而g(1) = 0,所以当t1时，gA0；当0t1时，g1时，f f(-7当0工”1时，f1 时，由 f一f(0)1= a-ln
19、a e-1= a 之e,.11f(-1)-f(0)-e-1-Ina _e-1-0 a -当0a 1时，由ae ,f 11ra = . 0, - U le,收)综上知，所求a的取值范围为I e-分 16数学附加题1.某中学要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽1 3车走公路堵车的概率为 1,不堵车的概率为3；汽车走公路堵车的概率为p,不堵车的概率为1-p。若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。(I)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为17：,求走公路堵车的概率；(n)在(I)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数上的
20、分布列和数学期望。1 337解：(1)由已知条件得 $。4。4(1 p)+ (4)2 p=-2分即 3p= 1,则 p = 1 4 分3， ，一1 答：p的值为1。3(n)解：上可能的取值为0, 1, 2, 33 3 2 37P(90)=4 , 4, 3=8呢=尸而i p(g 2)=412.1”3 1_ 14 3=61 1P件 3)=4 . 4113= 48匕的分布列为:0123P371181664810分所以 E卜 0X3+ 1 X，+2X1+3X =8166485答：数学期望为5 6 2.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点F、T、M、P满足OF = (1,0), OT = (-1上),-
21、1 I T TFM =MT,PM _ FT, PT /OF(1)当t变化时，求点P的轨迹C的方程;(2)若过点F的直线交曲线 C于A,B两点，求证：直线TA,TF,TB勺斜率依次成等差数歹U.解：(I)设点P的坐标为(x，y),由FM=MT ,得点M是线段FT的中点，则M*tPM =( x,y)2FT =OT -OF = (-2,t), PT =(-1-x,t-y)由 PJM2xtt(y) =0由 PT / OF ,得(Tx/0+(t y)黑 1 =0, . t=y2由消去t,得y=4x即为所求点P的轨迹C的方程(H)证明：设直线TA,TF,TB的斜率依次为k1,k,k2, 并记 A(x1,y
22、1), B(x2,y2),设直线AB方程为x=my 12 =4x V 2x = my +1 得 y2_4my_4=022/、22- y1 y =(y1 y) 2y1y2 =16m1 一噌 1) W2 一吟 DViV2 = 4mV1 V2 = -4k1k2822、4ViV2(Vi V2) -4t(Vi V2) 16(Vi V2) -32ty2y2 4(y2 y2) 16=t = 2k. k1，k，k2成等差数列713(2) 3a2S2a1a24. (1)2(2 2 -1)1 a13,则a215 ,类似地求得1a3 二3501a2 =a3 二3M5.5x7 猜得:an =(2n -1)(2n 1)
23、以数学归纳法证明如下:当n =1时，由（1）可知等式成立;假设当n = k时猜想成立，即ak =(2k -1)(2k 1)那么，当n = k+1时，由题设an0kSkSk 1-ak 1 = Zk(2k -1)(k 1)(2k 1)y1 -ty2 -t= 十x11x21Snn(2n -1)得1k所以 Sk =k(2k 1) ak = k(2k -1) (2k -1)(2k+1) = 2k+1Ski =(k 1)(2k 1)a-kak 1 - SK 1 - SK - (k 1)(2k 1)ak 1 2k 1因此,k(2k 3)ak1 =k2k 1_1ak 1 二所以 (2k 1)(2k 3)12( k 1)-12(k 1)1这就证明了当n = k +1时命题成立.由、可知命题对任何 n亡N用都成立.