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1、用心 爱心 专心选修第2章第1节知能训练提升基础强化考点一：用数学归纳法证明等式1 .用数学归纳法证明“1+ 2+22+ 2n-=2n1(nC N)”的过程中，第二步假设 n=k时等式成立，则当 n=k+1时应得到()A. 1+2+22+ 2k2+2k= 2k+11B. 1+2 +22+2 k+ 2k+1=2k1 +2k+1C. 1+2+22+2 k2k+11 =2-11D. 1+2 +22+2 k+2k=2k1 +2k解析：当n=k时，等式为1 + 2+22+ 2kj=2k1.那么当n=k+1时，左边=1 + 2+22+ 2k7+2：因此只需在归纳假设两端同时添加2k,即1 + 2+22+
2、2k-+ 2k=2k-1 +2k.答案：D2 .设 f(x)=1+1 + ； + +1(xeM).求证： n + f(1) + f(2) + f(n- 1)= 23 X* -nf( n)( nC N且 n2).1证明：(1) n= 2 时，左边=2+ f (1) =2+1 = 3,右边=2。f (2) = 2(1 + 万)=3,，等式成立.(2)假设 n=k 时等式成立,即 k+f(1) +f (2) + f(k- 1)=kf(k).那么当n= k+ 1时，左边=(k+1) +f(1) +f (2) + f(k-1) + f (k)=kf (k) + 1 + f (k) = (k+1) f (
3、k) +1= (k+1)f(k) + &+1= (k+1)f(k+1)-1 + 1= (k+1)f (k+ 1).即n = k+1时，等式亦成立.由(1)(2)知对于nC N,且n2等式成立.考点二：用数学归纳法证明不等式3. (2010 云南模拟)用数学归纳法证明不等式 三+3；+十Anv 1且nC N) n+1 n + 22n 24时，在证明n= k+1这一步时，需要证明的不等式是 ()A.士+ +2111113B.k+7+k+3+ + 2k+2kT24c.-1-+-+- + +1-13k+2 k+32k 2k+1 241 111113D.k+2+k+3+ + 2k+2k+ 1 + 2k+
4、224,，一11113 一 一,、一、，解析：3+十五五（n1且nW的左边有n项,在证明n=k+1这一步时，需要证明的不等式是答案：D1111113弟+用+泵+去工1+矿办故选D4.当n 1,且nCN时，求证:11119n + +n + 2 + nT3 + 3n10.1 1 1 1 199.证明：当n=解析：各等式的左边是第 n个自然数到第3n-2个连续自然数的和，右边是奇数的平方， 故得出结论：n+(n+ 1) + (n+2) + + (3 n-2) = (2 n-1)2. 答案：n+(n+1) + (n+2)+- + (3n-2) =(2 n-1)8.已知数列an满足条件(n-1) an+
5、1 = ( n + 1) ( an- 1),且 a2=6,设 bn=an+ n(nC N), 求 bn的通项公式.解：当 n=1 时，由(n1)an+1 = (n+1)( a1),得 a1 = 1.当 n = 2 时，= a2= 6,代入(n1) an+1= ( n+1)( an1),得 as= 15,同理可得 a4= 28,时，左边=3+4 + 5 + 6=20内不等式成立.(2)假设n=k(k2)时，不等式成立，即11119kJ7 +k2 +后函 + 3k 而.当n = k+1时,1111111(k+ 1) + 1 + k+3 + k + 4+ 3k+3k+1 + 3k+2 + 3k+31
6、111111191(kT1 + k + 2 + kT3 + + 3k) + ( 3k+ 1 + 3k+ 2 + 3k+3 - k+1) 10 + (3k+3 +1+1-)=.3k+3 3k+3 k+1，10即n = k+ 1时，不等式成立.由(1)、(2)可知，原不等式对任意n1且nC N都成立.考点三：用数学归纳法证明整除问题5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除，在第二步时，正确的证法是()A.假设n=k(kC N),证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(kCN),证明n = k+1命题成立D.假设n=k
7、(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立解析：A R C中，k+1不一定表示奇数，只有 D中k为奇数，k+2为奇数.答案：D6.用数学归纳法 证明：(3n+1)7n 1(nC N*)能被9整除.证明：令 f ( n) = (3 n + 1)7 n 1,(1) f (1) =(3X1+ 1)701=27 能被 9 整除； * ，一 一 .-(2)假设f(k)( ke N)能被9整除,则f(k+ 1) -f(k) = (3 k + 4) 71 (3 k+1) 7k 1 = 9 (2 k + 3) 7k 能被 9 整I. .f(k+ 1)能被9整除，.由(1)、(2)知，对一切nCN*,命题成立.考点
8、四：用数学归纳法解决探索性问题7.观察下式：1=12；2+3 + 4=32;3+4 + 5+6+ 7= 52;4+5 + 6+7+ 8+ 9+ 10 = 72,则得出的结论:再代入 bn=an+n,有 bi = 2, b2= 8, b3= 18, b4=32. 2由此猜想 bn = 2n (也可由 an=1, a2= 6 = 2x3, a3= 15=3X5, ad=28 = 4X7,猜想 an =n (2 n 1).要证 bn=2n2,可证 an= bn- n= 2n2-n,当n=1时，a = 2x i21= 1,前面已求得 a1=1,，猜想正确.假设 n=k 时，ak=2k2-k(k1, k
9、C N*),则当 n= k+ 1 时，由已知(n 1) &+= (n +1)( an- 1),得(k 1)ak+ 1 = (k+1)( ak 1),k+ 1k+ 1ak+1 = t( ak 1) = -k1 kk- 1(2 k2-k-1)k+ 1=口(2 k+ 1)( k-1) = (k+ 1)(2 k+ 1)= 2(k+ 1)2-(k+1)2 n=k+1 时，an = 2nn 成立.综合可知，对一切nCN*, an=2n2n都成立，2 bn的通项公式为 bn= 2n .高考链接11.(2009 湖南)将正4ABO割成n2(n2, nC N*)个全等的小正三角形(图1,图2分 别给出了 n=2
10、,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC勺三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于 3时)都分别依次成等差数列.若顶点 A B、C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2) =2, f(3)=，f ( n) =.解析：n=3时，如图，设 A、B C三点对应的数分别为 xa、xb、xc,三边上其他点对应的数分别为xi、X2、yy2、zi、Z2,中间交叉点对应的数为w ,则f (3) =XA+xB+xc+xdX2+y1 + y2+z1 + z2+3 .因为 xa+ xb+ xc= 1,由题意共线上的数成等 差数列，.xi + x2 = x
11、a+xc, y1 + y2 = XB+xc, zi + z2=xa + xb1又 co =2(X1+y1)1 XC XAxc XB=5( Xa+ -+ Xb+ -)2 33=W( xa+ xb+ xc) =103 3 - f (3) = 3( Xa+ Xb+ Xc) + 3( Xa+ Xb+ Xc)=-解法一：当n=4时，同上依次设三边上顶点以外对应的数依次为xi、X2、X3； y1、y2、y3； Z1、Z2、Z3.中间三点对应的数为 3 1、3 2、33,则：f (4) = xa+ xb+ Xc+ X1 + X2+ X3+ y1 + y2+ y3+ Z1 + Z2+ Z3+ co 1 + c
12、o 2+ co3.由题意得 xi+X2+x3=xa+ xb+ x x =|(xa+xb)同理 y1 + y2+y3 = g(xB+xC),3Z1 + Z2+ Z3 = |( Xc+ XA),1向分析： w 1 = -( Xa+ Z1 + X3),3CO 2 =CO 3 =13(x1 + yH- xb)31一(xc+Z3+ y3)3、= CO 1 + CO 2+ CO 3= 1(Xa + Xb+ Xc+ X1 + X3+y1 + 丫3+ Z1 + Z3), 3而 x1+x3 = xa+xb, y1+y3=yc+yB, Z1+ Z3=xa+ xc,代入得 CO 1 + CO 2+ CO 3= Xa
13、+ Xb+ Xc,- f (4) = 5( xa+ xb+ xc) = 5,由 f(1) =1, f(2) =2, f(3)=弓，f(4) =5,3r11即 f(1)=-X2X3, f(2) =-X3X466f(3) =6*4X5, f(5) =6*5X6,由此猜想an = .n+1)( n+2). 一，i 1. 11一，解法一：逐步倜整，不妨假设xa= xb=xc=-,共；(n+1)( n + 2)个顶点,321 .f(n) = 6(n+1)( n+2).答案：J; 1(n+1)( n +2)36 1 22. (2009 安徽)首项为正数的数列an满足an+1=-(a2+3) , nCN+.
14、4(1)证明：若a1为奇数，则对一切 n2, an都是奇数；(2)若对一切nC M都有an+1an,求a1的取值范围.解析：(1)已知a1 2ak+ 3是奇数，假设a=2m 1是奇数，其中 m为正整数，则由递推关系得ak+1= = m( mi- 1) + 1根据数学归纳法，对任何 nCN+； an都是奇数.1(2)解法一：由 an + 1 an = 4( an 1)( an 3)知，an+1an 当且仅当 anV 1 或 an 3 另一方面,41 + 3右 0vak1,则 0v ak+13,则 ak+1=3.4根据数学归纳法，0va11? 0an3? an3, ? nC N+.综合所述，对一切
15、 n C吐都有an+1 an的充要条件是0v a v 1或ai 3.4rlai + 321,解法二：由 a2 = ai,得 ai 4ai+30,于是 0V ai3.an+ 3 an-1 + 3an+1 an = 一 44(an+ an-i)( an an- i)因为ai0,an + 3an+i = ,所以所有的an均大于0 ,因此 an+1 an与an an1叵I号.根据数学归纳法，？ n e N+, an+1 an与a7 ai同号.因此，对一切 n N+都有an+ian的充要条件是 0vai3.3. (2009 陕西)已知数列xn满足xi = ： Xn+三彳二，nC N*.21 十 Xn(1
16、)猜想数列X2n的单调性，并证明你的结论;(2)证明:1 2Ixn-xni 0 ,那么 x2k + 2x2k+4 =111 + x2k+i1 + x2k+3x2k+ 3- x2k + 1(1 +x2k+ i)(1 +x2k + 3)(1 + x2k)(1x2k x2k +2+ x2k+ i)(1 + x2k+2)(1+ x2k+3)0,即 x2(n+1) x2(n+1)+2.解析：(1)由 xi=不及 xn+1 =得 x2=J, x4 = -,2I 十 xn28由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列.下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，已证命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即 x2
17、kx2k+2,也就是说，当n= k+1时命题也成立.结合(1)和(2)知，命题成立.一一，1、(2)证明：当 n= 1 时| xn+1 xn| = | x2 xi| =二，结论成立;6当n2时，易知0V xn 1 1 ,1 + xn 1 g, -1 (1 + xn)(1 + Xn i) = (11 + Xn- 1215+ iT；)(1 +Xn-i) = 2+Xn-i2，Xn+1 Xn| = |111 + Xn1 + Xn 1 | Xn Xn i|一(1 +Xn)(1 +Xn i)|W2| Xn Xn W(2) 2| Xn LXn 2| W-y( 2)n 1|X2-X1| =(|)n .5556
18、 5I 2011预测题1 2* 一1.已知函数f(x)=2xx+2,数列an满足递推关系式：an+i= f (an)( n N),且ai =1.(1)求 a2、a3、a4 的值；(2)用数学归纳法证明当n5时，an5时，有J an 1.解：由 a1= 1 及 an+1 = 2a： an+2 计算，得 a2 = |,一 1 217 0(2)证明：a，市)2 -217217128+2=2-128(1 13 a3 = -8,2172 128)=217a， / cc.128217392X128 25615)成立，即 ay 2：-.k 1十 )上递增,12 33 12 3 , an + 1= 2( an
19、 1) +22,函数 f(X)=2(X 1) +2 在(1 ,1 ak+1 v 2(2 k 1T)2+2=2 一 ；+ ；k1 2(k1)12 V 2 k，即当n= k+ 1时结论也成立.1由知，不等式 an5都成立.(3)证明：当n5时，a1nV 2 一n-T1 n.2 an+1又由 an+1 = 2a2-an+2,得；=an_2k= 1aknk=1 (ak 2 an22.已知数列an满足：a1=1,求数列an的通项公式;1(2)证明：”an1；2n设丁= n2-n+4an1an+121,且 a1 = 1.-=-1 v n 1. a1 2 an+12 2 an+11an+ 1 = 2an+
20、2(ne N).,且 kn= ln (1 +Tn)+；T2,证明：7To 1, 1即 2-1 工 ak ,即 ak +1 12(k+1)-1.p1又 ak+1 = 2ak+2k+1 w 2 + 2卜+1 0, neN, - an =4 , ( 2)n+11n n + 4 n +1n+1/2in - 1 _nn+1A2an =2n2=(1+1)=1 + G+1+ Cn+ 1 + , , , + Cn+ 1 + Cn+ 1 + C+ 1 1 + G + 1 + 2G+ 1 ,.-2n+1 n2+2n + 2.n2 n + 4 ann2 + 2n+2” 孑当 n = 1 时，3n= 3l = 1,3
21、n-2;1.+ 2n+ 2,1综上，21 wanW1.证法三:an+1 (n+1) (n+1) + 4an+1anan22( n - n 4) 2n2 + n+ 42.2n 2n+8一 n + 3n 一 4 一 (n - 3n+ 4)1 = 2n2 2n+8 = 2n22n+8 2, an/.1综上可知，2nf & ay 1.丁 j 即证 KnT! +Tn 十 2 Kn22n 21 1 n证明：Tn=n2 n+ 4 (n n+4)-(2)=n-(2),欲证:Tn,即 ln(1 +Tn) -Tn0 时，f (x) v 0,，函数y=f (x)在(0 , +8)内递减.f(x)在0 , +8内的最大值为f(0) =0.当 x0 时，1n(1 +x) -x0,ln(1 + Tn) T1Vo.2Tn.不等式=丁成立.In十 2 Kn