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1、第3讲数学归纳法04步限时规范训练阶梯训练能力提升7A级 基础演练（时间：30分钟 满分：55分）一、选择题（每小题5分，共20分）1.用数学归纳法证明不等式 1 + 1+： +熹127（ nCNj成立，其初始值至少应取 2 4264（）.A. 7B. 8C. 9D. 10-J一 ，11121 ，一一一解析 左边=1+三+了+ k1 = 7=2一丁,代入验证可知 n的取小值是 8.2 42121 1 2答案 B2.用数学归纳法证明命题“当 n是正奇数时，xn+yn能被x + y整除，在第二步时，正确的证法是（）.A.假设n=k（kCN+）,证明n = k+1命题成立B.假设n=k（k是正奇数）
2、，证明n= k+1命题成立C.假设n=2k+1（kC N+）,证明n=k+1命题成立D.假设n=k（k是正奇数），证明n= k+2命题成立解析 A、B、C中，k+1不一定表示奇数，只有 D中k为奇数，k+2为奇数.答案 D3.用数学归纳法证明1 1+1 1+4=7 + 上 +，则当n=k+12 3 42n-1 2n n+1 n+22n时，左端应在n= k的基础上加上().1 _1A. 2k+2B2k+2入 1111C. - D. -+ -2k+ 1 2k+ 22k+ 1 2k+2解析 ,当n = k时，左侧=1_+ J 厂当n=k+1时，2 3 42k12k左侧=11+1_ 1+ 111211
3、33114641解析 所有数字之和 S=2+2+22+ 2nT=2n1,除掉1的和为2n-1-(2 n- 1)=_ + 1_12 3 42k-1 2k 2k+1 2k+2答案 C4.对于不等式，+nn+1(nC N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n=1时，412+11)时，不等式成立，即 :k1 n2n.答案2n 2n+k1, ne N),求证：7nl+2(n ne N).证明 (1)当n=2时，&n= &= 1 +万+7 =行1 + 即n = 2时命题成立；2 3 4122*111 k(2)假设当 n=k(k2, kCN)时命题成立，即 S2k= 1 + 2 + + ,- +
4、 了1 + ,一.1 1111 k 11则当 n=k+1 时，82k+1= 1 + 5+3+ + 2+ 2k+ 1 +2m1 + 万 + 2卜+ 1 + 2k+ 2 + -k-1 k 2 k 1 k+1尸1 + 2+齐7= 1 + 2+2=1+丁，故当n= k+1时，命题成立.由(1)和(2)可知，对n2, nCN.不等式 41+2都成立.8. (13 分)已知数列an：a1 = 1,32= 2,33= r,an+3= an +2( n N),与数列bn： b = 1,. 一. . 一. .b2=0,b3= 1,b4=0,bn+4= bn(nC N).记Tn=b131+b232+b333+bn
5、3n.(1)若 31 + 32+33+ 312= 64,求 r 的值；(2)求证：T12n =4n(nC N*).(1)解 31+ 32+ 33+ 312=1 + 2+r + 3+4+(r + 2)+5+6+(r + 4) + 7+8+(r+6) = 48 + 4r.-.1 48 + 4r = 64,r = 4. . 一 * . 一(2)证明用数学归纳法证明：当 ne N时，T12n= 4n.当 n= 1 时，Ti2 = 31 33 + 35 37 + 39 311 = 4 ,故等式成立.假设n=k时等式成立，即 Ti2k=4k,那么当n=k+1时，T12(k + 1) = T12k + 31
6、2k+1 - 312k + 3+ 312k+ 5 - 312k+ 7 + 312 k+ 9 - 312k+ 11= 一 4k + (8 k + 1) (8 k+ r) +(8k+4) (8k + 5) +(8 k+r + 4) (8k+8) = 4k 4= 4( k+ 1),等式也成立.根据和可以断定：当 nC N时，Ti2n=4n.B级能力突破（时间：30分钟满分：45分）、选择题（每小题5分，共10分）1.用数学归纳法证明1 + 2 +3+n4 + n2则当n = k+1时左端应在n= k的基础上加上A. k2+1,2B. (k+i)C.k+i 4+ k + 1 2D. (k2+i) +
7、(k2+2) + (k2+3)+ (k+1)2解析 .当n=k时，左侧=1 + 2+3+ k2,当n=k+1时，左侧=1 + 2 + 3+ k2 + (k2+1)+ + (k+ 1)2.当 n = k+1 时，左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+ ( k2 + 2)+ ( k2+3)+ +( k+1)2.答案 D2. (2013 广州一模)已知 1 + 2X 3+3X 3 2 + 4+ 33+ nx3 n一 = 3n( nab) + c对一切 nC N都成立，则a、b、c的值为().1 11A.a=5, b=c = 4B.a=b=c = 4C.a=0, b=c =二D.不存在这样的a、
8、b、c4解析.等式对一切n C N*均成立，n = 1,2,3 时等式成立，即1 = 3 a b + c,4 1 + 2X 3= 32 2ab +c,J + 2 X 3 + 3 X 3 2= 33 3a-b +c,pa-3b+c= 1,整理得 i18a-9b+c=7,181a27b + c= 34,11解得 a=2，b=c=4.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3.已知整数对的序列如下：(1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3), (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4),，则第 60 个
9、数对是 .解析本题规律：2=1 + 1; 3=1+2= 2+1;4=1+3=2+2=3+1;5=1+4=2+3=3+2=4+1;一个整数n所拥有数对为(n-1)对.5n-i n设 1+2+3+ (n1) =60,2= 60，n=11时还多5对数，且这5对数和都为12,12= 1 + 11 = 2+10=3+9=4+ 8=5+7,第60个数对为(5,7).答案(5,7)4.已知数列an的通项公式an =二一2(nCN*),f (n)= (1 a1)(1a2)(1 an),试通n过计算f(1) , f(2) , f(3)的值，推测出f(n)的值是.解析 f(1) =1-a1=1-1 = 3,f(2
10、) =(1 -a1)(1 &) = f(1) ,11 ；= 3x： = 2=：, f(3) 4 494 9 3 612 15 5 -n+ 2=(1 -a1) - (1 - a2)(1 a3)=f(2) -广3X = ,由此狷想，f(n)=-nq (n_*6 N).答案n+ 22 n+l(nC N)三、解答题(共25分)5. (12 分)设数列an满足 a1 = 3, an+1=an2nan+2, n= 1,2,3 ,(1)求a2, a3, a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记S为数列an的前n项和，试求使得 Sk2n成立的最小正整数 n,并给出证明.解 (1)a2=5, a
11、3=7, a4= 9,猜想 an=2n + 1.(2) &=n 、向 =n2+2n,使得 S6(门6江)时者6有2nn2 + 2n.n=6 时，2662+2X6,即 6448 成立；假设 n= k(k6, kCN*)时，2kk2+2k成立，那么 2k+1 = 2 2 k2(k2+2k) = k2+2k+k2+ 2kk2 + 2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即 n=k+1 时，不等式成立；、 一 一一、 *由、可得，对于所有的n6( n N)都有2nn2+2n成立.6. (13 分)(2012 安徽)数列xn满足 X1=0, Xn+1=x2+xn+c(nC N*).(1)证明：xn是
12、递减数列的充分必要条件是C0；(2)求C的取值范围，使xn是递增数列.(1)证明 先证充分性，若 C0,由于xn+1 = xn+ xn+ CW xn+ Cxn,故 Xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由 XzVXi可得C0.(2)解假设Xn是递增数列.由 X1 = 0,得 X2= c, X3= - C2+ 2c.由 X1X2X3,得 0C1.由 Xnl 都有 Xn0,即xn0还可得，对任意nl都有qCxn+lW(1 ，C)( qC xn).反复运用式，得,C-xn (1-/C)n 1(C-x1)(1 _#)n1,xn1 ，C和，Cxn(1 yC)两式相加，知2# 1l 成立.根据指
13、数函数y=(1 班)”的性质，得 112,C K 0, C 4,故 0C 4.1 若00,即证 xnl 成立.下面用数学归纳法证明当0CW4时，xnl成立.1(i)当n=1时，x1 = 0JC2，结论成立.(ii)假设当n = k(kCN*)时，结论成立，即 xnJC.因为函数f(x) = x2+x+C在区间00, 2，内单调递增，所以xk+1 = f (xk)f (C) =，C, 这就是说当n = k+1时，结论也成立.故xn 1成立.因此，xn+1= xn-x2+ Cxn,即 Xn是递增数列.由知，使得数列xn单调递增的C的范围是JO, 4 1特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总 复习光盘中内容.