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1、第9讲直线与圆锥曲线的位置关系随堂演练巩固1 .已知直线x-y-1=0与抛物线y =ax2相切，则a等于（）A. 1B. 1C. 1D.4【答案】Cx-y-1=0a = 0【解析】由22 消去y得ax2x+1=0.所以解得a=.y = ax1 -4a = 0.4222.已知双曲线 x-y-=1 .过点Mm。）作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点 A、3.若 AO班锐角三34角形（O为坐标原点），则实数m的取值范围是（）A. （-2,3 2、. 3）B. (-2,3 0) (0 2,3)C. (-2,. 3) 一(2、. 3 .二)d. (-2,3 一、.3) (、,3 2、,3)【答案】D
2、 OA =(m【解析】依题意可得 A（m .2m2-1)B(m,1).OB=(m.2 1m2-1).- 1).AOB1锐角三角形，必有/AOB是锐角，即OA与OB的夹角为锐角.由OAOBa0.2得 m -4m- 4 0-2j3m 24.但根据双曲线的范围知，应有n-J3或mJ3.故m的取值范围是(-2.3 - .3) . ( .3 2 .3).23.若P为双曲线x2 上=1右支上一点，肌N分别是圆（x+4）2 +y2=4和（x 4）2 + y2=1上的点，则|PM-| PN的最大值为【答案】5【解析】已知两圆的圆心（-4,0）和（4,0）（记为E和F2）恰为双曲线x2上=1的两焦点. 15当|
3、 PM最大,| PN最小时，| P用| PN最大,1 PM最大值为 P到圆心F1的距离| PF11与圆F1半径之和，同样121PN 最小=1PF2I-1，从而(IPM-IPN)max=l PFi|+2-(|PF2|-1)=|PFil-lPF2|+3=2a+3=5.242y_=i有两个交点，则直线i的斜率的取值范围是 34.过原点的直线l与双曲线得1x24k2 2x2 =13由 A0知更k乌. 2225.已知双曲线方程：X2 -当=1.则以A（2,1）为中点的弦所在直线l的方程是 3【答案】6x-y-11=0P(X .y1)和Q(X2 .y) .【解析】设l与双曲线交于-,得(x2 +x1)(x
4、2 X1)1(y2 + y1)(y2 y1)=0 而 x1 +x2 =4.y +y2 =2. 34(x2 -为)-2(y2 -y1)=0.3=6 .即 K=6.x2 -Xi点A(2,1)在双曲线的内部,，直线 l 的方程为 y-1=6( x-2),即 6x-y-11=0.课后作业夯基 基础巩固1. AB为过椭圆2 v2、+ 2 =1中心的弦，F（ c,0）为该椭圆的焦点a b，则4FAB的最大面积为（）A. b2B. abC. acD.bc【解析】设A、B两点的坐标为（x1.y1）、（x1 ,y1）.则 S fab=2 Io用 2y1|=c| y1| Ebc.2 .过双曲线x2-y2 =4上任
5、一点 M作它的一条渐近线的垂线段 ，垂足为 NO是坐标原点，则OMNB勺面积是()A.1【答案】AB.2C.3D.不确定【解析】过双曲线上任一点 M (x0 .y0)作渐近线y = x的垂线，垂足分别为N N.| MN | MN I =xo y I X - yo=2 = 2,故 SOMN = 1 .3 .双曲线X2 -y2 =1的左焦点为F,点P为其左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF的斜率的变化范围B. （1.二）是()A.（-二.0）C.（-二 0） -（1.二）【答案】C【解析】数形结合法，与渐近线斜率比较.可得答案为C.4 .抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，而且被直线 2x-
6、y+1=0所截得的弦长等于 J15 .则抛物线的方程是A.2.=-12x 或 y =4xB.2=-4x 或 y =12 xC.2=-10x 或 y =4xD.2=-6x或 y =10x【解析】设所求抛物线为y2 = ax(a w r且a 0 0).2, y = ax / 口 2由 4得2yay+a = 0.2x-y 1=0若弦两端点纵坐标分别为y和y2 .则| y1 - y2 | =-Va2 -8a .于是弦长=Ja2 -8a = 15 .解得 a=12 或 a=-4.45 .已知焦点为Fi(-2 .0) F2Q 0)的椭圆与直线l : x+y-9=0有公共点，则椭圆长轴长的最小值是()A.
7、-.170B.170C. 70【答案】A22-4 .【解析】方法一：依题意，设椭圆方程为0),且c=2,则b2=a2 a b将椭圆方程与直线方程联立，得 22与丹1a a -4x y -9 =0消去参数y,整理得(2a2 -4)x2 -18a2x 85a2 -a4 = 0.因为直线l与椭圆有公共点，所以A20.即(18a2)2 -4(2a2 -4)(85a2 -a4) _0整理得 2a4 -93a2 340 _0.解得a2之85或a2 W 4(舍去),2a _ . 170即椭圆长轴长的最小值为.170 .方法二：如图，可设P为椭圆与直线l 的公共点，则 | PF1|+| PF2|=2a,所以问
8、题转化为当 P在l上运动时，求| PF11+| PF2|的最小值.作F2关于l的对称点F2函法),则7A2(-1) =-14 x0解得j 血-9=0.22x0 =90即 F2 (9,7).y。=7所以 | PF1|+| PF2|二| PF1|+| PF2 I F1F2 I = J(9+2)2 +72 =7170.即椭圆长轴长的最小值为、170.22y=4x+m对称，则实数m的取值范围是6.已知椭圆+_y_=1若在此椭圆上存，在不同白两点 A B关于直线 43()2 13 2.138（一。廿【解析】设A(Xi,yi),B(X2.y2).AB的中点为M(x,y),y2yi22 _一 _ 22由题思
9、知kAB =-乙=1 X+X2 =2x.yi+丫2=2y.3xi+4yi=12.3x2+4y2=12.两x2 -x1422. ., 22、 _一.一 一.一一式相减付 3(x2 一 X ) +4( y2 - yi) = 0 .即 yi + y2 = 3( x1十 x2).即 y=3x,与 y=4x+mfbr得 x=- m y=-3 m 而 M x, y)在椭圆白内部，则m2+呼 1.即2133 Mm 1时，直线y=ax- a恒在抛物线y = x2的下方，则a的取值范围是【答案】(_：. 4)22一人一 ，一一 ，r 一 一、， 、y = x - q，i 9.9【斛析】由题息联立 ,整理可得x
10、-2*十2=0.由=2 4a = 0 .解得a=0或a=4,此时直线与y =ax-a.抛物线相切，因为直线横过定点(1,0),结合图形可知当a w (q. 4) .x 1时直线y=ax- a恒在抛物线y = x2的下方.8 .已知直线l与椭圆x2+2y2=2交于P、P2两点，线段RP2的中点为P,设直线l的斜率为ki(ki=0) .直线OP的斜率为k2 .则k1k2的值等于【答案】-1 2【解析】设 F(x1 y1) P2(x2 y2).则 P（Y 1） k2 二代心 kkk222V2 yi22& -xi22由产2y1X2 +2y；2 ,相减得 y2 - yj = 一工（x； -x2）.=22
11、故 kk =-2.9 .已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为 F1、F2 .且它们在第一象限的交点为 P, pff2是以PF1为底边的等腰三角形.若| PF1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】(1 2)(3 5)【解析】设它们的焦距为2c,则 |PF2l=l F1F2 |=2c,双曲线的离心率 e =2c10 -2c 5-c.由5-cW (12)得510-0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD勺面积为12J2,则p=.【答案】2【解析】抛物线的焦点
12、为 (04).设A(x ) Ed牝) .直线AB的方程为y = xW y=x+p.联立y=x+会消去x2 =2py .y,得 x2 -2 px - p2 = 0 . x =(1 、2)px2 =(1-、2)p.y y2 x2 =2p p =3p | CD=| 为 一 x2| =2 2p. 由 S梯形ABCD =1(|AD+| BC) CD =2 3p 2、2P = 12.2 解得 p2 =4p = 2.1 .- p0,p=2.211 .已知点A(0,2)和抛物线C: y =6x.求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程.,，、一、八、一，,，、一一， y = kx2【解】设直线l的方程为y=kx
13、+2，这个方程与抛物线 C的方程联立，得方程组4y 2y = 6x当k=0时，由方程组得6x =4.x.可知此时直线l与抛物线相交于点(2 .2).33当k #0时，由方程组消去x,得方程,2 一 一一ky -6y 12 = 0.(*)关于y的二次方程(*)的判别式 =36-48k .由 =0,得k=3 .可知此日直线l与抛物线C有一个公共点 4即它们相切.直线l的方程为3x-4y+8=0.当直线l的斜率不存在时，直线l就是y轴，其方程为x=0.所以，直线l的方程为3x-4y+8=0,或x=0.12 .已知椭圆 x_+4=i(a b 0)的一个焦点在直线l：x=i上，其离心率e = 1.设P、
14、Q为椭圆上不同的两a2 b22点，且弦PQ勺中点T在直线l上，点R(14 .0).(1)求椭圆的方程；(2)试证：对于所有满足条件的 P、Q恒有| RP=| RQ【解】(1)椭圆的一个焦点在直线 l :x=1上，所以c=1.又因为离心率e = l jp c =1 .所以a=2,从而b2=3l2 a 2所以椭圆的方程为 W-=1. 43(2)证明：设 T(1 ,y。)P(x1 M) Q(x2 皿).则 RT =(3 y。)PQ =(x2 -x y2 -y1)3RT PQ =3(x2 -x1)y(y2 -y)又因为P Q都在椭圆 +贵=1上 432222所以a +y=1与+多=1两式相减得 434
15、31(x1 -x2)(x 2) 1(y1 -y2)(y1 72) =0 43因为点T是PQ的中点，所以x1 +x2 - 2 .y1 + y2 - 2yo.于是 1(x1 -x2) 2y0(y1 一y2) 二0 23所以 3(x1 W) y0(y1 -y2) =0 4T T T即RT PQ =0,所以RT _L PQ ,即RT是线段PQ勺垂直平分线，所以恒有| RP=| RQ2213.已知椭圆Ci：与+冬=1(a b 0)的右顶点为A(l,0),过Ci的焦点且垂直长轴的弦长为1.a b求椭圆Ci的方程.(2)设点P在抛物线C2 :2y=x2+h( hWR)上C2在点P处的切线与C1交于点MN当线
16、段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.b =1【解】(1)由题意.,得，baa = 2从而b =12因此，所求的椭圆方程为 二+x2 =1.42(2)设 M(X .y1).N(x2 .y2) .P(t t +h),则抛物线C2在点p处的切线斜率为y I x生=2t.2.直线MN勺方程为y=2tx-t h I将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2+(2txt2+h)24 = 0.即 4(1 +t2)x2 -4t(t2 -h)x +(t2 -h)2 -4=0.因为直线 MNW椭圆Ci有两个不同的交点， 所以式中的1 =16T4 +2(h +2)t2 -h2 +4 0. 设线段MN勺中
17、点的横坐标是 x3 .则，2,、Xi X2t(t -h)x3 =2TT5.设线段PA的中点的横坐标是 x4 .则x4 = 吟.由题意，得x3 = x4.即 t2 +(1 +h)t + 1=0.由式中的 42 =(1+h)2 4之0.得h之1 .或h 3.当 h时,h +2 04-h2 b 0), a bc = 1a 2 -由 2a =42.2 .2a =b +c椭圆方程为x2 y-43=1.(2)由题意知，直线|1的斜率存在且不为零1 11: y=kx+2,I2: y = _1x +2 .k2 V2 x . y 1由彳至一1 .消去y并化简整理，y =kx 2得(3 4k2)x2 16kx 4
18、 =0.根据题意 4=(16k)2 -16(3+4k2) 0 .解得 k2 14同理得T)2.4必4- 4 二 k2 :二4 k (一2 -1) . (2 .2).设 A(x1 ,y1) B(x2 j2)M(X0 %),那么x1x2 -16kyo = kxo 2 =3 4k26x1 x28k同理得N(即N(23 4k228k23 4k23 4k223 4 k2).-8( -1)3 4(-1)2 3 4(-1)2 kk)4k2OM ON8k3 4k2 3k _6A 3 4k2 k2283 -4 k225 12(k2 j)1 k2 42 k2 +c17一 1794k24725 12(k228即OM ,ON的取值范围是_4 一右).