《概率论(计算)习题要点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论(计算)习题要点.docx（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、概率论计算：1已知在 10 只晶体管中有2 只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（ 1）两只都是正品？（ 2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（ 4）第二次取出的是次品？解：设 A1、 A2 表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有： (1)P (A A )P(A ) P( A| A )12121872810945(2)P ( A1 , A 2 )P( A1 )P( A2 | A1)21110945P( A A)P ( A A )1212(3)P (A1)P (A 2 | A1) P ( A1)P (A2 | A1)P( A2 )211218228(4)1P(
2、A )P (A| A ) P ( A )P (A| A )10910982211161091095452某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的， 根据以往记录有如下数据 设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （ 1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设 Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第 I 厂产品的事件， A 表示任取一只是次品的事件。（ 1）由全概率公式P( A)P( B ) P( A | B )P(B2)11P ( A | B2 )P(B3) P( A | B3)（
3、2）由贝叶斯公式0 .50.020.800.010.050.030 .0125P (B1)P (A | B1)P(B1 | A)P( A)0.150 .020.240.01253房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求： （ 1）最小号码为 5 的概率；（2）最大号码为 5 的概率。解：由等可能概型有：21（ 1）C5;312PC10C 2（ 2） P 4 1C103 2046 件产品中有 4 件正品和 2 件次品，从中任取3 件，求 3 件中恰为 1 件次品的概率。21解：设 6 件产品编号为C4C2 31， 2 6，由等可能概型 P53C
4、65设随机变量 X 具有概率密度 f ( x)ke3x, x 0 。（ 1）确定常数 k；（ 2）求 P（X0.1 ）0,x 01ke 3xdxke3xd 3x3解：（ 1）由f (x)dx 1 有00（ 2）k所以 k33P(x 0.1)3e 3xdx 0.74080.16一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（ 1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3 个设备被使用的概率是多少？（3）至少有 1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以 X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则Xb(5,0.1)，于是（ 1）P(X
5、2)C 20.120.930.07295（ 2）P( X3)P (X0)P( X 1)P ( X2)P( X3)1P (X3)1 P (X4)P (X5)1C44C555 0 .1 0.950 .10.9995（ 3）P( X1)1P (X0)0051 C5 0 .1 0.90.40951x,0 x 4,7设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) 80,其它求 P(1x3)P (1x 3)3 xdx解：8128由某机器生产的螺栓的长度（ cm）服从参数 =10.05， =0.06 的正态分布，规定长度在范围 10.05 0.12 内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。解：由题意，所以为1P
6、(10.05 0.12 x10.050.12)1( 0.12 )(0 .12 )0.060.062 1( 2)0 .04562）求：（1） P(2设XN （3，x 5), P( 4 x 10),92P(| x |2), P (x 3)（ 2） P( xc)P (xc)解：（ 1）P(4 x10)P(2x5)( 53 )( 23)1034322(1)( 0.5)()()220.5328(3. 5)(3.5)0 .9996P(| x |2)1 P (| x | 2)1P ( 2x2)1( 23 )(23 )220 .6977P( X3)1(0)0.5（ 2）由 Pc=P(xc)，即1c3c3()(
7、)22(c 31)22c3所以 c30,210设随机变量 X 的分布律为X -0132 1P 2111111651530求 Y=X 2 的分布律。解： Y=X 2 的全部取值为 0，1，4，9 且 P（Y=0） =P（X=0 ）= 1 ，5P（Y=1 ）=P（ X=-1 ） +P（ X=1）= 117，61530P（Y=4 ）=P（ X=-2 ） = 15 ，P（Y=9 ）=P（ X=3）= 1130故 Y 的分布律为X0 149P1711153053011设二维随机变量（ x ，y）具有概率密度 f (x) 2e(2 x y),x 0, y 0 （1）求分布函数 F（x，y）；0,其它（ 2
8、）求概率 P（Y X ）解：（ 1）F (x, y)xyf (x, y) dxdyyx(2 x y)dxx0, y0dy2e（ 2）000,其它(1e2x)(1 e y),x0, y00,其它P(YX )f ( x, y)dxdy2e (2x y)dxdy103y12已知（ X ，Y ）的联合分律为01XY11/81/421/43/8求 X 及 Y 的边缘分布律。解： X 的分布律为X01P3588Y 的分布律为X12P358813设随机变量（ X ，Y ）的联合概率密度为f (x, y)6,0 x 1，边缘概率密度 f x(x), f y( y) 。0,其它解：f x( x)f (x, y)
9、dyxx2 6dy,0x10,其它6(xx2 ),0x10,其它f y( y)f (x, y)dxy 6dx,0y1y0,其它6(y y),0y10,其它k(6 x y),0x 2,14设（ X ，Y ）的概率密度为 f ( x, y)2y 40,其它（ 1）确定常数 k；（2）求 P（X1 ，Y30），S 近似服从正态分布N( ， /2n) 的 100（ r 2）%的置信区间为SS1Z x /2n1Z x / 2n22解 : 证 :S近似服从 N (,2 / 2n )S近似服从 N(0,1)/2n则PZSZ1xx2nx/22Z xSZ x/ 2n22即SS1Z x / 2n1Z x /2n2
10、2S2116(ZiZ) 2.试求满足161i 1P( X uks)0 .95的K值解 : P( Xuks)2） X1, X2 ,.Xn 是来自总体区的容量2是样本方差PZuk 1632总体 XN（ ，n=16 的样本， Ss/16P (t (161)4k )0. 95P t (15)1. 75 0 .95有 1.75 4kk 0.437533已知离散型随机变量2kK 1, 2. 求 X=3X-2 的数学期望 E（X ）。X 服从对数为 2 的泊松分布，即 P(Z K )1K解 :E ( X ) 2E ( X )E(3 X 2) 3E (X ) 23224E ( X )434设随机变量 X 与
11、Y 独立，且 XN（1，2）YN （0，1）试求 X=2X-Y+3的概密度。解 : E( X )E( 2XY3)2E( X ) E( Y) 35D( X ) D (2X Y3)4D( X ) D (Y) 91( x5) 2f z(g )18e3235设随机变量的分布律为 P（Z=K ）= ak(k 0,1,2.)0 ，确定 a。k1解 :P (ZK )1k0aka1k aek0k1k 0 kiae36设（ X ，Y ）的密度函数为 f ( x, y)e y, x 0, yx 求 X ， Y 的边缘密度函数判别其独立性。0,其它解 : 当X0时,f z( X )f (x, y)dyxe y dy
12、e xf (x, y)ex, x00, 其它同理f y( y)yey, y00,其它f (x, y)f z(x) f y (y)Z与Y不独立37设随机变量（ X ，Y ）的概率密度为 f ( x, y)Ce (3 x 4y) , x 0, y 0 求：常数 C 及联合分布主数 F（X ，Y ）。0,其它解 :f ( x, y)dxdy 1f ( x, y)dxdyCe3x dxc00e ydy12C12F (x, y)f (x, y)dxdy(1 e3x)(1e4 y)F (x, y)(1e 3x)(1e4y) x 0, y 00,其它38设二维随机变量 （X ，Y ）的联合分布函数F ( x
13、, y)1 3 x 3 y 3 x y当x 0, y 0 求二维随机变量 （ X ，Y ）的联合 （x,y）0, 其它解：可验证 F（x,y ）是连续型二维随机变量的分布函数，则(x, y)2Fx yFx ln 33x y ln 33X2F3 x y(ln 3) 2x y(x, y)3xy(ln3)2, x 0, y 00,其它39测定某种溶液中的水份，它的 10 个测定值给出 S=0.037%，设测定值总体为正态分布， 2 为总体方差试在水平 a=0.05 下检验假设H0:=0.04%, H1:a0.04%。解 : H0 : 10 0.04%H1 :0 0. 04%拒绝域为x2x 2(n 1)x2(9 ) 3.3251 x0.05现在