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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013辽宁，理1)复数的模为()A B C D22(2013辽宁，理2)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，则AB()A(0,1) B(0,2 C(1,2) D(1,23(2013辽宁，理3)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A B C D4(2013辽宁，理4)下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列a
2、n3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2 Bp3，p4 Cp2，p3 Dp1，p45(2013辽宁，理5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A45 B50 C55 D606(2013辽宁，理6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos A，且ab，则B()A B C D7(2013辽宁，理7)使(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D78(2013辽宁，理8)执行如图所示的
3、程序框图，若输入n10，则输出S()A B C D9(2013辽宁，理9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3 BC D10(2013辽宁，理10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A B C D11(2013辽宁，理11)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(
4、x)的最大值为B，则AB()A16 B16 Ca22a16 Da22a1612(2013辽宁，理12)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()A有极大值，无极小值 B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13(2013辽宁，理13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_14(2013辽宁，理14)已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25
5、x40的两个根，则S6_.15(2013辽宁，理15)已知椭圆C：(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_.16(2013辽宁，理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013辽宁，理17)(本小题满分12分)设向量a(，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2
6、)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值18(2013辽宁，理18)(本小题满分12分)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值19(2013辽宁，理19)(本小题满分12分)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望20(2013辽宁，理20)(本
7、小题满分12分)如图，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为. (1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)21(2013辽宁，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos x当x0,1时，(1)求证：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所
8、选题目对应题号下方的方框涂黑。22(2013辽宁，理22)(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明： (1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.23(2013辽宁，理23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值24(2013辽
9、宁，理24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：B解析：，|z|，故选B.2答案：D解析：0log4x1log41log4xlog441x4，即Ax|1x4，ABx|1x2故选D.3答案：A解析：与同方向的单位向量为，故选A.4答案：D解析：如数列为2，1,0
10、,1，则1a12a2，故p2是假命题；如数列为1,2,3，则1，故p3是假命题故选D.5答案：B解析：由频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为(0.0050.01)200.3，故该班的学生人数为50.故选B.6答案：A解析：根据正弦定理：asin Bcos Ccsin Bcos A等价于sin Acos Csin Ccos A，即sin(AC).又ab，AC，B.故选A.7答案：B解析：展开式中的第r1项为(3x)nr，若展开式中含常数项，则存在nN，rN，使0，故最小的n值为5，故选B.8 A B C D答案：A解析：当n10时，由程序运行得到.故选A.9答案：C解析：若B为直角，则，即
11、a2a3(a3b)0，又a0，故；若A为直角，则，即b(a3b)0，得ba3；若O为直角，则不可能故ba30或ba30，故选C.10 答案：C解析：过C点作AB的平行线，过B点作AC的平行线，交点为D，同理过C1作A1B1的平行线，过B1作A1C1的平行线，交点为D1，连接DD1，则ABCDA1B1C1D1恰好成为球的一个内接长方体，故球的半径r.故选C.11答案：B解析：f(x)g(x)2x24ax2a282x(a2)x(a2)，可求得H1(x)的最小值Af(a2)4a4，H2(x)的最大值Bg(a2)4a12，AB16.故选B.12答案：D解析：令F(x)x2f(x)，则F(x)x2f(x
12、)2xf(x)，F(2)4f(2).由x2f(x)2xf(x)，得x2f(x)2xf(x)，f(x).令(x)ex2F(x)，则(x)ex2F(x).(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)的最小值为(2)e22F(2)0.(x)0.又x0，f(x)0.f(x)在(0，)单调递增f(x)既无极大值也无极小值故选D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13 答案：1616解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱
13、柱，故体积为2242241616.14答案：63解析：因为x25x40的两根为1和4，又数列an是递增数列，所以a11，a34，所以q2.所以S663.15答案：解析：如图所示根据余弦定理|AF|2|BF|2|AB|22|AB|BF|cosABF，即|BF|216|BF|640，得|BF|8.又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cos ABF，得|OF|5.根据椭圆的对称性|AF|BF|2a14，得a7.又|OF|c5，故离心率e.16答案：10解析：设5个班级的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则，4，即5个整数平方和为20，最大的数比7大不能超过3，否则方差超过4，故最大
14、值为10，最小值为4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由|a|2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以.(2)f(x)abcos xsin2x，当时，取最大值1.所以f(x)的最大值为.18(1)证明：由AB是圆的直径，得ACBC.由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC.所以平面PBC平面PAC.(2)解法一：过C作CMAP，则CM平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线C
15、B，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系因为AB2，AC1，所以BC.因为PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(x，y，z)，则所以不妨令y1，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)设平面ABP的法向量为n2(x，y，z)，则所以不妨令x1，则n2(1，0)，于是cosn1，n2.所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.解法二：过C作CMAB于M，因为PA平面ABC，CM平面ABC，所以PACM，故CM平面PAB.过M作MNPB于N，连接NC，由三垂线定理得CNPB.所以CNM为二面角CP
16、BA的平面角在RtABC中，由AB2，AC1，得BC，CM，BM，在RtPAB中，由AB2，PA1，得PB.因为RtBNMRtBAP，所以，故MN.又在RtCNM中，CN，故cosCNM.所以二面角CPBA的余弦值为.19解：(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3).所以X的分布列为：X0123P所以E(X)01232.20解：(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，
17、故切线MA的方程为.因为点M(，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是，.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，.切线MA，MB的方程为，.由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为，.因为点M(x0，y0)在C2上，即4y0，所以.由得，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足.因此AB中点N的轨迹方程为.21(1)证明：要证x0,1时，(1x)e2x1x，只需证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex，则h(x)x(exex)，当x(0,1)时，h(x)0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0
18、.所以f(x)1x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，只需证明exx1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1(2)解法一：f(x)g(x)(1x)e2x1xax12xcos xx(a12cos x)设G(x)2cos x，则G(x)x2sin x.记H(x)x2sin x，则H(x)12cos x，当x(0,1)时，H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，G(x)G(0)0，故G(x)在0,1上是减函数于是G(x)G(0)2，从
19、而a1G(x)a3.所以，当a3时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)，记I(x)，则I(x)，当x(0,1)时，I(x)0，故I(x)在0,1上是减函数，于是I(x)在0,1上的值域为a12cos 1，a3因为当a3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3解法二：先证当x0,1时，1x2cos x1x2.记F(x)cos x1x2，则F(x)sin xx.记G(x)sin xx，则G(x)cos x1，当x(0,1)时，G
20、(x)0，于是G(x)在0,1上是增函数，因此当x(0,1)时，G(x)G(0)0，从而F(x)在0,1上是增函数因此F(x)F(0)0，所以当x0,1时，1x2cos x.同理可证，当x0,1时，cos x1x2.综上，当x0,1时，1x2cos x1x2.因为当x0,1时，f(x)g(x)(1x)e2x(a3)x.所以当a3时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为f(x)g(x)(1x)e2x，所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足f(x0)g(x0)即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3请考生在
21、第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22证明：(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而 EABEBF；又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.23解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得.所以解得a1，b2.24解：(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则由|h(x)|2，解得.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.2013 辽宁理科数学 第16页